Раціональні числа, ірраціональні числа, дійсні числа, числові множини, етапи розвитку числа.

Тема. Раціональні числа, ірраціональні числа, дійсні числа, числові множини, етапи розвитку числа.

Мета: систематизувати, узагальнити знання учнів щодо поняття числа та видів чисел, сформувати уявлення про множину дійсних чи­сел; сформувати вміння учнів відтворювати означення та властивості видів чисел, вивчених на уроці, виконувати найпростіші дії з дійсними числами (зокрема порівняння), використовувати вивчені властивості та означення для розв'язування задач на класифікацію чисел та дове­дення того факту, що дане число є числом певного виду, знаходити на­ближені значення квадратних коренів із чисел за чотиризначними ма­тематичними таблицями.

Тип уроку: застосування знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Дійсні числа».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Перевірку виконання домашнього завдання в разі необхідності (якщо на попередньому уроці учні не дуже добре засвоїли матеріал) проводимо за методикою перевірки за зразком. У цьому разі учням, які добре засвоїли матеріал, пропонується індивідуальне завдання.

Якщо на попередньому уроці всі учні добре опанували навчальний матеріал, то виконується тестове завдання.

Тестове завдання № 7

1. Розв'яжіть рівняння х² – 21 = 0.

2. Знайдіть корінь рівняння 3у² – 4,8 = 0.

3. Виберіть правильне твердження. Рівняння .

III. Формулювання мсти і завдань уроку

З метою створення відповідної мотивації діяльності учнів учитель пропонує учням завдання:

Розв'яжіть рівняння: х² = 9, х² = -1, х² = 2. Виконайте зображення чисел, що є коренями цих рівнянь, на числовій прямій.

Виконання завдання створює певне протиріччя між знаннями учнів (вони знають, що при будь-якому а > 0 рівняння х² = а має два корені) та неможливістю їх застосування (учні не знають, що являють собою числа , отже, не знають, як їх побудувати на координатній прямій).

Означення цих чисел, вивчення їх найпростіших властивостей та з'ясування того, в яких логічних відношеннях знаходяться ці числа з відомими учням числами, складають основну дидактичну мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку перед вивченням нового матеріалу слід активізувати такі знання і вміння учнів: виконання арифметичних дій з раціональними числами; піднесення до квадрата, і навпаки, добу­вання квадратного кореня з деяких раціональних чисел; зна­ходження допустимих значень виразів, що містять квадратний корінь із числа; розв'язування рівнянь виду х² = а, а також застосування основної тотожності для квадратного кореня.

Виконання усних вправ

1. Знайдіть значення виразів: 7²; (-7)² ; -7²; ; ; (-11)²; 0².
2. Обчисліть: ; ; ; ; ; ; ; .
3. Розв'яжіть рівняння: а² = 16;  у² = 0,81; х² = -4; х² = 5, с² = 8.

V. Застосування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Систематизація відомостей учнів про числові множини, відомі учням з курсу 5—6 класів.
2. Уявлення про раціональні числа, ірраціональні числа. Порівняння раціональних та ірраціональних чисел.
3. Співвідношення між вивченими числовими множинами.
4. *Знаходження наближених значень квадратних коренів за чотири­значними математичними таблицями.

 На цьому уроці теми «Квадратні корені» уточнюються наявні в учнів уявлення про числові множини (поняття числової мно­жини сприймається учнями на інтуїтивному рівні). У ході ви­вчення навчального матеріалу уроку учні мають повторити означення видів чисел, вивчених у попередніх класах (нату­ральні числа – це числа, що застосовуються при лічбі, цілі – це натуральні, їм протилежні числа і нуль, раціональні числа – це числа, які можна подати у вигляді , де т — ціле число, а п — натуральне), та співвідношення між множинами цих чисел (будь-яке натуральне число є цілим, будь-яке ціле число – раціональне).

Для уведення поняття дійсного числа існують різні підходи, однак усі вони достатньо складні для восьмикласників. Тому в курсі 8 класу обмежуються лише початковими, найбільш зрозумілими уявленнями про множини дійсних чисел та підмножини – множини раціональних та ірраціональних чисел (множина ірраціональних чисел є доповнен­ням множини раціональних чисел до множини дійсних чисел).

Повторивши означення та властивості раціональних чисел (будь-яке раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періо­дичного десяткового дробу — див. «Математика, 6 клас», автори: Мер­зляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.), учні знайомляться з понят­тям нескінченного неперіодичного десятковою дробу (традиційно в цьому місці наводиться приклад, єдиного, відомого учням на цей мо­мент, ірраціонального числа — число л); в учнів формується уявлення про ірраціональне число. При цьому важливо підкреслити: ірраціо­нальні числа — свого роду антипод раціональних чисел (раціональні числа можна подати у вигляді нескінченних періодичних десяткових дробів, а ірраціональні числа, навпаки, можна подати у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів).

На цьому етапі розглядається питання про означення виду чисел (учні мають зрозуміти, що ці числа, а також подібні до таких чис­ла, є прикладами ірраціональних чисел) та їх побудову (на жаль, з при­чини недосконалості програми, побудова відрізка, довжина якого дорівнює ірраціональному числу виду , переноситься на той час, коли на уроках геометрії вивчатиметься теорема Піфагора — див. Програма з геометрії, 8 клас).

Після чого доречно буде нагадати учням відомі їм правила порів­няння раціональних чисел та на їх основі скласти правила порівняння ірраціональних чисел. При цьому акцент робиться на тому, що оскільки ірраціональні числа подаються тільки у вигляді нескінченно­го неперіодичного десяткового дробу, то, виконуючи порівняння ірра­ціональних чисел, зазвичай використовують їх наближені значення з певною кількістю перших значущих цифр у їх записах. Атому цілком логічно буде ознайомити учнів принаймні зі способом знаходження наближених значень квадратних коренів і використанням чотири­значних математичних таблиць.

На закінчення вивчення матеріалу формується уявлення про чис­лову множину, що складається з множин раціональних та ірраціональ­них чисел — множину дійсних чисел, і узагальнюється уявлення учнів про співвідношення між названими числовими множинами (наочне уявлення про це співвідношення традиційно дається на кругах Ейлера або у вигляді схеми - див. опорний конспект 10).

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Наведіть приклади чисел, які є: а) цілими від'ємними; б) раціональними додатними; в) цілими невід'ємними.
2. Чи правда, що: а) будь-яке ціле число є дійсним;

б) будь-яке ірраціональне число є дійсним;

в) будь-яке дійсне число є раціональним?

3. Укажіть правильне твердження:

а) π — число дійсне; б) 2,222... — число раціональне;

в) 2,212211222111... — число раціональне; г) - 2 — число дійсне.

Виконання письмових вправ

Для досягнення основної мсти уроку письмово слід розв'язати вправи такого змісту:

1. Усвідомлення означень різних видів дійсних чисел; раціонального
   числа та ірраціонального числа.

1) Наведіть приклад:

а) раціонального числа; б) ірраціонального числа.

2) Серед чисел ; 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111... (кількість одиниць, яка ділить вісімки, кожний раз збільшується на 1); 4,2(51); 217; π укажіть раціональні та ірраціональні.

2. Порівняння раціональних та ірраціональних чисел; на виконання
   дій із раціональними числами.

1) Порівняйте числа: а) 8,998... і 9,113; б) -0,382... і 5,117...;

в) -32,144... і -12,543...; г) -2,724... і -2,725...

2) Яке з чисел більше:

а) 0,6 чи ; б) -0,327 чи ; в) 0,579... чи 0,58;

г) 2,72 чи 2,(72); д) 1,7 чи ; є) 1,8 чи ; ж) чи -3; з) чи -2?

3) Запишіть у порядку зростання числа: 2,(7); 0,82; -1,95...; -0,03...; .

4) Знайдіть наближене значення суми х + у, округливши доданки до
сотих: а) х = 3,849.., у =1,1020...; б) х = 102,3120..., у =23,1023...

3. Вправи, що передбачають формування вмінь учнів працювати з чотиризначними математичними таблицями (квадратних коренів).

Порівняйте числа: а) і ; б) 2 і ; в) і -1,4(3).

4. Вправи на доведення того, то задане число с ірраціональним. Доведіть, що — ірраціональне число.
5. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Дано числа: -25; 3,8; 8; 0; -2,1; ; ; 0,(6); ; 1; -2; π; 0,10110111011110...   (кількість одиниць  послідовно  збільшується на 1). Випишіть:

а) усі натуральні числа; б) усі цілі числа; в) усі раціональні числа; г) усі ірраціональні числа.

2) Вставте пропущений вираз:

6. На повторення: розв'язування рівнянь виду х² = а, найпростіших ірраціональних рівнянь та таких, що зводяться до названих видів (шляхом найпростіших рівносильних перетворень).

1) Знайдіть значення змінної х, при якому Правильна рівність:

а) ; б) ; в) .

2) При яких значеннях а рівняння має один корінь:
а) х² = а² – 2а; б) ?

 Вправи зазначеного змісту сприяють закріпленню означень раціонального та ірраціонального чисел, а також дозволяють нагадати про єдиність подання раціонального числа у вигляді нескоротного дробу з цілим чисельником та натуральним зна­менником.

Особливу групу складають вправи на повторення правил та понов­лення обчислювальних навичок: вправи на порівняння і виконання арифметичних дій з наближеними значеннями чисел.

Особливу увагу приділяємо розв'язуванню вправ на доведення того, що дане число є ірраціональним на основі уявлення про те, що раціональне число можна подати у вигляді нескоротного дробу виду , де т — ціле, а п — натуральне число.

VII. Підсумки уроку

Яке з наведених тверджень правильне?

а) Число — раціональне; б) число — ірраціональне;

в) число  — дійсне; г) 0,6 = 0,(6).

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. опорний конспект 10).
2. Розв'язати вправи на застосування вивчених понять (змісту, аналогічного до змісту вправ класної роботи).
3. На повторення: повторити означення квадратного кореня, арифме­тичного квадратного кореня, основну тотожність для квадратного кореня; розв'язати вправи на застосування названих понять.