Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на множники

Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Алгебра, 8 клас𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄  

Завдання.{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Квадратний тричлен. Корені квадратного тричлена. Розклад квадратного тричлена𝒚𝟐−𝟏𝟎𝒚+𝟐𝟒𝑦1=4, 𝑦2=6(y-4)(y-6)𝒎𝟐+𝟑𝒎+𝟐??𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟖??𝒕𝟐−𝟖𝒕+𝟏𝟔??{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Квадратний тричлен. Корені квадратного тричлена. Розклад квадратного тричлена(y-4)(y-6)??????Знайдіть певну закономірність у першому рядку наведеної таблиці, а потім, застосовуючи цю закономірність, визначити, які вирази потрібно записати замість знаків питання в інших рядках таблиці:

Квадратним тричленом називають многочлен вигляду 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 , де x – змінна, a, b, c - числа, причому a≠𝟎. Наприклад:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Квадратний тричлен. Коефіцієнти квадратного тричлена𝑥2−2𝑥+1                                       𝑎=1,  𝑏=−2,  𝑐=1 𝑥2+8𝑥−9                                        𝑎=1,  𝑏=8,  𝑐=−9 6𝑥2−7𝑥+1                                     𝑎=6,  𝑏=−7,  𝑐=1 −3𝑥2+6𝑥−3                                 𝑎=−3,  𝑏=6,  𝑐=−3 

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення тричлена дорівнює нулю. Наприклад:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Квадратний тричлен. Квадратне рівняння𝑥2−2𝑥+1                                          𝑥2−2𝑥+1=0 𝑥2+8𝑥−9                                            𝑥2+8𝑥−9=0 6𝑥2−7𝑥+1                                       6𝑥2−7𝑥+1=0  −3𝑥2+6𝑥−3                                  −3𝑥2+6𝑥−3=0 

Розкладання квадратного тричлена на множники. Якщо 𝑥1 та 𝑥2 - корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐  (𝑎≠0), то його можна розкласти на множники за формулою 𝑎𝑥−𝑥1𝑥−𝑥2.𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐),де 𝒂≠𝟎,     𝒙𝟏, 𝒙𝟐- корені тричлена 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄  

Алгоритм розкладання квадратного тричлена 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄  (𝒂≠𝟎), на лінійні множники. Знайдіть корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, тобто розв’яжіть відповідне квадратне рівняння 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. Якщо рівняння має корені 𝑥1 та 𝑥2, то:при 𝒙𝟏≠𝒙𝟐 маємо: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=    =𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐);при 𝒙𝟏=𝒙𝟐=𝒙𝟎 маємо: 𝒂(𝒙−𝒙𝟎)𝟐. Якщо рівняння не має коренів, то квадратний тричлен неможливо розкласти на лінійні множники. 

Приклад. Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝒙𝟐−𝟔𝒙−𝟕. Розв’язання:𝑥2−6𝑥−7 Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=1,  𝑏=−6,   𝑐=−7. 2) Знайдемо корені квадратного тричлена 𝑥2−6𝑥−7: 𝑥2−6𝑥−7=0,За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=6,𝑥1𝑥2=−7,⇒𝑥1=−1,𝑥2=7. 3) Розкладемо тричлен на множники, скориставшись формулою 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2):𝑥2−6𝑥−7=(𝑥−7)(𝑥+1) Відповідь:  (𝑥−7)(𝑥+1) 

Приклад. Розкладіть на множники квадратний тричлен −𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟓. Розв’язання:−2𝑥2+3𝑥+5 Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=−2,  𝑏=3,   𝑐=5. 2) Знайдемо корені квадратного тричлена −2𝑥2+3𝑥+5: −2𝑥2+3𝑥+5=0,За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−3−2,𝑥1𝑥2= 5−2,⇒𝑥1+𝑥2=1,5,𝑥1𝑥2=−2,5.⇒𝑥1=−1,𝑥2=2,5 3) Розкладемо тричлен на множники, скориставшись формулою 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2):−2𝑥2+3𝑥+5=−2𝑥+1𝑥−2,5. Помноживши перший у розкладі множник −2 на двочлен 𝑥−2,5. Матимемо: (x+1)(5-2x). Відповідь: 𝑥+15−2𝑥. 

Приклад. Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝟑𝒙𝟐−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐. Розв’язання:3𝑥2−12𝑥+121) Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=3,  𝑏=−12,   𝑐=12. Відповідь:    3(𝑥−2)2. 2) Знайдемо корені квадратного тричлена 3𝑥2−12𝑥+12: 3𝑥2−12𝑥+12=0,За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−−123,𝑥1𝑥2= 123,⇒𝑥1+𝑥2=−4,𝑥1𝑥2=4.⇒𝑥1=2,𝑥2=2 3) Розкладемо тричлен на множники:3𝑥2−12𝑥+12=3𝑥−2𝑥−2=3𝑥−22. 

Приклад. Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓. Розв’язання:𝑥2−2𝑥+51) Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=1,  𝑏=−2,   𝑐=5. Відповідь: квадратний тричлен 𝑥2−2𝑥+5 на множники розкласти не можна 2) Знайдемо корені квадратного тричлена 𝑥2−2𝑥+5: 𝑥2−2𝑥+5=0, 3) Обчислимо дискримінант і визначимо кількість коренів:𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐𝐷=(−2)2−4∙1∙5=4−20=−16,оскільки, 𝐷<0 , то рівняння 𝑥2−2𝑥+5=0 коренів не має. Отже, квадратний тричлен 𝑥2−2𝑥+5 на множники розкласти не можна. 

Приклад. Скоротіть дріб 4𝑥2−2𝑥−2𝑥2−1. Розв’язання:4𝑥2−2𝑥−2𝑥2−1 Розкладемо на множники квадратний тричлен 4𝑥2−2𝑥−2:4𝑥2−2𝑥−2=0 За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−−24,𝑥1𝑥2= −24,⇒𝑥1+𝑥2=0,5,𝑥1𝑥2=−0,5,⇒𝑥1=1,𝑥2=−0,5. 4𝑥2−2𝑥−2=4𝑥−1𝑥+0,5. 2) Отже,4𝑥2−2𝑥−2𝑥2−1=4(𝑥−1)(𝑥+0,5)(𝑥−1)(𝑥+1)=4(𝑥+0,5)𝑥+1=4𝑥+2𝑥+1. Відповідь: 4𝑥+2𝑥+1. 

Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадратним тричленом 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 буває зручно подати його у вигляді 𝒂(𝒙−𝒎)𝟐+𝒏, де m і n - деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена з квадратного тричлена.  Приклад. Виділіть з тричлена 2𝑥2+16𝑥−7 квадрат двочлена. Розв’язання:2𝑥2+16𝑥−7=2𝑥2+8𝑥−3,5==2(𝑥2+2∙𝑥∙4+42−42−3,5)==2𝑥+42−19,5=2𝑥+42−39. Відповідь: 2𝑥+42−39. 

Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадратним тричленом 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 буває зручно подати його у вигляді 𝒂(𝒙−𝒎)𝟐+𝒏, де m і n - деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена з квадратного тричлена.  Приклад. Дано квадратний тричлен −4𝑥2+24𝑥−20 . При якому значенні x набуває найбільшого значення? Знайдіть це значення. Розв’язання:−4𝑥2+24𝑥−20=−4𝑥2−6𝑥+5=−4𝑥2−2∙𝑥∙3+32−32+5=−4𝑥−32−4=−4𝑥−32+16. −4(𝑥−3)2≤0, при 𝑥=3. Тому при x=3 значення даного в умові тричлена дорівноє 16 і є для нього найбільшим. Отже, квадратний тричлен −4𝑥2+24𝑥−20 набуває найбільшого значення, що дорівнює 16, якщо 𝑥=3. Відповідь: 16, якщо x=3. 

Домашнє завдання. Розкладіть тричлен на множники: Скоротіть дріб:

Дякую за увагу