ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вчитель  математики

та інформатики

ОЗ Орлівський НВК

Шамов  Микола Григорович

 

 

 

 

Зміст

ВСТУП

РОЗДІЛ 1 Лінійні системи диференціальних рівнянь

.....1.1. Означення лінійної диференціальної системи та деякі властивості розв’язків цих систем

1.2. Теорія Флоке для лінійної однорідної періодичної системи

1.3. Нормальна форма розв’язків лінійної однорідної періодичної системи

РОЗДІЛ 2 Означення неоднорідної періодичної системи

2.1. Функція Гріна для лінійної періодичної системи

2.2. Означення функції Гріна крайової задачі для лінійного диференціального рівняння n-го порядку

2.3. Приклади побудови функції Гріна для деяких диференціальних рівнянь

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

 

Актуальність дослідження визначається тим, що однією з найважливіших тем у вивчені лінійної періодичної диференціальної системи є теорія Флоке та теореми про розв’язок лінійної однорідної і неоднорідної системи. Метод, яким ми будемо користуватися при розв’язуванні диференціальної системи, полягає в тому, що лінійні однорідні і неоднорідні системи можна розв’язувати за допомогою теорії Флоке та використовуючи функцію Гріна. Набудемо навичок, що до розв’язання однорідної і неоднорідної системи.

Конкретне означення теорії Флоке відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв’язок при будь-якій неоднорідності. Використовується в  математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці. 

Мета– розгляд питання теорії Флоке та теореми про розв’язок лінійної однорідної і неоднорідної системи.

Поставлена мета дослідження дозволила визначити завдання роботи:

• розгляд властивостей лінійної неоднорідної системи;
• визначення нормальної форми рішення лінійної однорідної системи використовуючи теорію Флоке;
• розгляд прикладів класичних задач на метод функції Гріна для диференціальних рівнянь.

Об’єктом дослідження виступає теорія Флоке, а предметом – розв’язок лінійної однорідної і неоднорідної системи.

Гіпотеза роботи полягає у наступному: питання можливості умови існування розв’язків лінійної однорідної і неоднорідної системи, побудова частинного розв’язку неоднорідної системи безпосередньо пов’язане із можливістю розв’язання відповідні диференціальної системи використовуючи теорію Флоке.

Робота містить два розділи. Перший розділ присвячений неоднорідній періодичній системі, також наведені властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем, які виступають базою для розв’язання задач, наведено приклади побудови частинного розв’язку неоднорідної системи. Розглянуто теорію Флеке. нормальну форму рішення лінійної однорідної системи. В Другому розділі розглядаємо застосування означення неоднорідної періодичної системи.Розглядаємо функцію Гріна в неоднорідній системі та побудова функції Гріна для деяких диференціальних рівнянь.

Матеріал роботи може бути використаний студентами та викладачами вузів, а також вчителями гімназій та ліцеїв для проведення факультативних занять.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 1
ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

 

 

1.1. Означення лінійної диференціальної системи та деякі властивості розв’язків цих систем

 

Розглянемо лінійну диференціальну систему

.      (1.1)

де тобто коефіцієнти системи і вільні члени неперервні в інтервалі число, або символ Якщо не обумовлено протиріччя, то функції вважають дійсними. Що стосується рішень то будемо вважати їх комплексними.

Вважатимемо функції кусково неперервними на В цьому випадку під рішенням розуміємо неперервні на функції, які задовольняють рівняння (1.1) в інтегральній формі:

(j=1,…, n; t₀ Є І⁺; c_j - постійні)

Введемо векторно-матричне позначення

систему (1.1), запишемо простіше:

                                       (1.2)

де 

Для лінійної системи (1.2) справедлива теорема існування і єдності рішення для будь якої системи чисел існує рішення системи (1.2) визначене для всіх і задовольняє початковій умові

                                            (1.3)

рішення з такими властивостями єдине в

Нехай

                      (1.4)

фундаментальна матриця (фундаментальна система рішень, в виді матриці) яка відповідає одній диференціальній системі

                                            (1.5)

тобто матриця, складається із  лінійно незалежних рішень

перший індекс позначає номер координати, а другий номер рішення, так що в фундаментальній матриці (1.4) рішення розмішені по стовбцям.

Покажемо, що матриця задовольняє матричне рівняння

                                           (1.6)

Дійсно, так як функція задовольняє  рівнянню системи (1.5), маємо

                                       (1.7)

Перемноживши матриці отримаємо:

що і потрібно було довести.

Зауважимо, що при доведенні не знадобиться неособливої матриці Тому будь-яка матриця стовбці якої являють собою рішення лінійної однорідної системи (1.5), задовольняє матричному рівнянню (1.6).

Зворотно, якщо задовольняє матричне рівняння (1.6), то її стовбці:

є розв’язками лінійної однорідної системи (1.5). Якщо при цьому , то матриця являється фундаментальною.

Маємо, , де Перемножимо справа на рівняння (1.6), отримаємо

тобто

Якщо фундаментальна матриця системи (1.5), кожне рішення цієї системи може бути записане в виді

                                                (1.8)

де деяка постійна матриця-стовбець.

Нехай рішення задовольняє початковій умові Покладемо в (1.8) t= отримаємо звідси Слідує,

Вводимо матрицю Коші

отримаємо

                                           (1.9)

Якщо фундаментальна матриця нормована при t= тобто де тоді формула (1.9) матиме вигляд

                                           (1.10)

Зауважимо, що матриця Коші не залежить від вибору фундаментальної матриці Дійсно, якщо є другою фундаментальною матрицею системи (1.1), то саме де постійна неособлива матриця. Звідси і слідує,         

Будь-яке рішення неоднорідної системи може мати вигляд

 де деяке її фіксоване рішення і постійний вектор. Якщо така, що то очевидно

слідує,

 

1.2. Теорія Флоке для лінійної однорідної періодичної системи

 

Розглянемо лінійну систему            

                                                                        (1.11)                           

з неперервною (частково-неперервною) на періодичною матрицею

                               

Теорема1.1(Флоке). Для лінійної системи (1.11) з періодичною матрицею нормована при фундаментальна матриця рішень (матрицант) має вигляд

                        

де Φ(t) - класа C¹ (або частковорівна) періодичною неособлива матриця, причому Φ(0) і постійна матриця.

Доведення. Нехай нормована фундаментальна матриця рішень системи (1.11), де

                        

Матриця також являється фундаментальною. Дійсно на основі тотожності    маємо

Звідси слідує, що є фундаментальною матрицею рішення для системи (1.11).

Звідси отримаємо

                                         (1.15)

де постійна неособлива матриця. Покладемо в тотожності (1.15) і враховуючи умову (1.14), знаходимо C= X(ω).

Таким чином,

                                                                (1.16)

Матриця називається матриця монохромії.

Очевидно,

Покладемо

LnX(ω)=                                                   (1.17)

 звідси

                                                     (1.18)

Тотожність

                                             (1.19)

де Φ(t) = X(t)^-λt.

Маємо Φ(t+ω)=X(t+ω)e^-λ(t+ω)= X(t+ω)e^-λωe^-λt

Звідси, враховуючи (1.16) і (1.18), маємо

Φ(t+ω)= X(t)e^λωe^-λωe^-λt= X(t)e^-λt= Φ(t)

тобто матриця Φ(t)- періодична з періодом Крім того, якщо то з тотожності (1.19), отримуємо

Φ(t)= X(t)e^-λtϵC¹(-∞;+∞), причому Φ(0)= E i detΦ(t)=detX(t)dete^-λt≠0.

Теорема доведена.

Зауваження 1.1. Матриці і Φ(t)= X(t)e^-˄t загалом кажучи комплексні. Можна обмежитись дійсними перетвореннями, якщо скористаємося матрицею Але при цьому судженню значно ускладнюється умова матриці перетворення.

Власне значення матриці тобто корні векторного рівняння називаються характерними показниками системи (1.11). Матриця не являється строго визначеною, так як значення багатозначне.

Для того, щоб не отримати непорозуміння потрібно врахувати, що характеристичні показники лінійної періодичної системи не ідентичні з характеристичними показниками Ляпунова нетривіальних рішень цієї системи: перші, загалом кажучи, являються комплексними числами, а другі дійсними числами, представляється дійсними частинами перших.

Власні значення матриці тобто корні векторного рівняння (характеристичного рівняння)

                                (1.20)

Називаються мультиплікаторами. Із формули (1.20) виводимо

   і  

Оскільки то Із формули (1.17) на основі відомих властивостей значень логарифма матриці отримаємо:

               (1.21)

де ціле число підбирається належним чином. Тому характеристичні показники визначаються з точністю до мінімальний складників 2kПi/ω.

Легко отримуємо більш загальні формули для матричного рішення лінійної періодичної системи (1.11).

Нехай нормована фундаментальна матриця тієї ж системи. Очевидно, маємо 

Оскільки  являється рішенням періодичної системи (1.11), то справедлива тотожність 

де постійна матриця. Припустимо, що отримаємо

Матрицю подібну матриці монохромії будемо називати основною для матриці  Покладемо  і 

Уточнюючи вибір неважко переконатися, що можна взяти

                                (1.22)

Дійсно використовуючи властивості експоненціала матриці, маємо

Із формули (1.22) маємо

Використовуючи основну формулу (1.13), отримуємо

Таким чином, 

X₁(t)= Φ₁(t)e^λ1t                                           (1.23)

де Φ₁(t) = Φ(t) X₁(0)- ω - періодична матриця і

Теорема 1.2. Для будь-якого мультиплікатора (множника) існує нетривіальне рішення періодичної системи (1.11), задовольняє умову

                                (1.24)

(так назване нормальне рішення).

Зворотно, якщо для деяких нетривіального рішення виконана умова (1.24), то число являється мультиплікатором  даної системи.

Доведення. 1) Візьмемо за початковий  вектор виберемо власний вектор монохромії який відповідає власному значенню Маємо

і

Звідси 

Слідує, що виконана умова (1.24).

2) Зворотно, нехай для деякого нетривіального рішення

  виконується умова (1.24). Тоді покладемо із (1.24) отримаємо    тобто  

Таким чином, являється власним вектором матриці монохромії а число є коренем векторного рівняння

це означає, мультиплікатор.

Наслідок. Лінійна періодична система (1.11) має нетривіальне рішення періоду тоді і тільки тоді, коли меншій мірі один із мультиплікаторів її дорівнює одиниці.

Дійсно, якщо то для деякого рішення має місце співвідношення

                                             (1.25)

слідує, періодичне рішення системи (1.11).

Зворотно, із тотожності (1.25) витікає, що існує мультиплікатор дорівнює одиниці.

Зауваження 1.2. Нехай і

                                            (1.26)

Із формули (1.24) отримаємо

  тобто 

Слідує, що нормальне рішення періодичної системи має вигляд (1.26), де періодична векторна-функція класа і

 характеристичним показником системи.

Зауваження 1.3. Мультиплікатору якщо він існує і відповіднає так назване анти періодичне рішення періоду тобто

Звідси маємо   таким чином, є періодичним рішення з періодом 2ω.

Аналогічна, якщо то періодична система має періодичне рішення з періодом

Провідність періодичної лінійної системи

Теорема 1.3 (Ляпунова). Лінійна система з неперервною періодичною матрицею провідна.

Доведення. Згідно формулі (1.13) нормована матриця рішення періодичної системи (1.11) має вигляд де Φ(t) ϵC¹(-∞;+∞), причому Φ(t+ω)= Φ(t).

В силу періодичності і обмежені  на

Крім того, так як Φ(t)= X(t)e^-˄t і X(t) - неособлива матриця, то Φ(t) -теж неособлива матриця. Враховуючи періодичність Φ(t) отримаємо

при

Слідує, що є матриця Ляпунова.  В силу теореми Єругіна періодична система (1.11) провідна.

Зауваження 1.4. Приводячи в рівняння (1.11) заміну змінних

отримаємо

   =                                               (1.27)

Таким чином, характеристичні показники матриці являються коренями векторного рівняння матриці системи (1.27).

Звідси маємо наступні умови стійкості періодичної системи.

Теорема 1.4. 1) Лінійна однорідна періодична система з неперервною матрицею стійка тоді і тільки  тоді, коли всі її мультиплікатори розміщенні в середині замкнутого одиничного кола оскільки мультиплікатори які лежать на околі мають прості елементарні дільники, якщо їх розглядати як власні значення відповідної матриці монохромії.

2) Для асимптотичної стійкості періодичної системи необхідно і достатньо, щоб всі мультиплікатори іі знаходились в середині одиничного кола

Дійсно, так як характеристичні показники мають зв'язок з мультиплікаторами співвідношення то при маємо Звідси випливає теорема.

Для визначення області асимптотичної стійкості виводимо умову,забезпечуючи належність корнів полінома

                                       (1.28)

Одиничному колу покладемо що матриця дійсна.

Перевіримо, що дрібнолінійне перетворення   одиничне коло площини λ.

Таким чином, рівняння (1.28) замінюємо на або

                                   (1.29)

Поліном повинен бути поліномом Гурвіца, причому знак в формулі (1.29) потрібно вибрати такий, щоб поліном був стандартним, тобто повинно виконуватися

.

Приклад 1.1. За якої умови корні полінома де і дійсні числа і лежать в середині кола

Нехай,

Оскільки,  повинен бути поліномом Гурвіца, то звідси отримаємо шукану умову:

   або   

Друга система нерівності суперечить умові,отже слідує, що

 

1.3. Нормальна форма розв’язків лінійної однорідної періодичної системи

 

Згідно теорії Флоке для ω – періодичної системи (1.11) існує фундаментальна матриця виду

                                           (1.30)

де  – ω – періодична матриця і Λ – постійна матриця. Нехай () – характеристичні показники системи, тобто власне значення матриці Λ. Приведемо матрицю Λ до канонічної форми Жордана

де неособлива постійна матриця і відповідні клітки Жордана. Із формули (1.30) отримуємо

Оскільки, добуток фундаментальної матриці на неособливу постійну матрицю є також фундаментальною матрицею виду

де  неособлива неперервна матриця періоду ω.

Нехай і Візьмемо

де    і

,

отримаємо часткові рішення які відповідають кореню :

……………………………………………..

Систему рішень можливо записати більш простіше.

Нехай і

Позначимо через операцію диференціювання по за умовою, що постійні, тобто

Тоді групу часткових рішень, відповідній решітці Жордана  , можемо записати наступним чином:

                               (1.31)

де матричний поліном типу від  степеня коефіцієнт якого ω – періодичні матриці – стовбці.

Аналогічну форму мають групи часткових рішень, які відповідають іншим решіткам Жордана

Із формули (1.31) випливає, що для кожного характеристичного показника однорідної періодичної системи існує її нормальний розв’язок ваду де неперервно диференційована ω – періодична векторна функція.

Якщо всі мультиплікатори періодичної системи прості, тоді існує її фундаментальна система нормальних рішень, яка має вигляд

де неперервно диференційовані ω – періодичні вектор – функції  і

Приклад 1.2. Розглянемо скалярне рівняння

                                  (1.32)

де і неперервні  ω – періодичні функції. Нехай отримаємо лінійну періодичну систему

                          (1.33)

Нехай і мультиплікатори системи (1.32)  і

Так як тоді можна прийняти .

або , але їм відповідають прості елементарні деталі, тоді рівняння (1.32) буде мати фундаментальну систему рішень:

де і ω – періодичні функції класса і

РОЗДІЛ 2
ОЗНАЧЕННЯ НЕОДНОРІДНОЇ ПЕРІОДИЧНОЇ СИСТЕМИ

 

2.1. Функція Гріна для лінійної періодичної системи

 

Нехай

 

де і неперервні матриці з загальним періодом

Теорема 2.1. Якщо однорідна періодична система

                                  

не має нетривіальних періодичних  рішень, тобто всі мультиплікатори її відрізняються від одиниці , то відповідна неоднорідна періодична система має єдине періодичне рішення періоду

Доведення. Використовуючи метод Лагранжа, із рівняння (2.1) маємо:

 

де нормована при фундаментальна матриця однорідної системи (2.2). В силу теореми про єдиність рішення будемо мати:

або

Так як в сулу умови вікового рівняння

немає кореня то

з цього слідує існування

Таким чином, отримаємо:

На основі формули (2.3) знаходимо періодичне рішення

Те, що періодичне рішення єдине, випливає із тієї обставини, що різниця двох різних періодичне рішення неоднорідного рівняння (2.1) являється нетривіальним періодичне рішення однорідного рівняння (2.2), а в останньому випадку виключаємо.

Зауваження 2.1. Періодичне рішення неоднорідної системи (2.1) може бути записана у вигляді

              

де

                              (2.7)

при і

при

Дійсно, із формули (2.5) отримаємо:

Звідси враховуючи, що

і

Отримаємо формулу (2.1.6).

Неважко перевірити, що функція визначається формулами і (2.8 і має наступні властивості:

1.              
2.              
3.              

при Ці властивості однозначно визначають функцію

Якщо однорідна система (2.2) має нетривіальне періодичне рішення (резонансний випадок), то відповідна неоднорідна система (2.1) допускає періодичне рішення назавжди.

Теорема 2.2. Нехай лінійна однорідна періодичне рішення (2.1) допускає лінійно незалежних періодичне рішення Тоді

1.               спряжена система

Має також лінійно незалежних періодичних рішень

2.               відповідна неоднорідна система (2.1) має періодичне рішення тоді і тільки тоді, коли виконуються умови ортогональності:

але в цьому випадку періодичне рішення неоднорідної системи образу параметричне сімейство інтегральних кривих.

Доведення.  1) Нехай початкова умова нетривіального  періодичного рішення однорідної системи (2.2). Якщо нормована матриця системи (2.2), то

звідси отримаємо умову періодичності:

тобто

Так як в силу умови теореми однорідна система (2.11) має лінійно незалежних рішень, то

Нормованою фундаментальною матрицею спряженої системи (2.9) являється:

де позначає ермітово–спряжену матрицю. Тому початкова умова нетривіальних періодичних рішень спряженої системи (2.9) повинні задовольняти умову:

звідси помноживши на , отримаємо:

Враховуючи, що ранг матриці не міняється при її ермітовому трансформуванні, послідовно отримаємо:

Тому алгебраїчна система (2.1.12) має

лінійно незалежних рішень, які відповідають лінійно незалежних періодичних рішень спряженої системи (2.9).

2) Доведемо спочатку необхідність умови (2.10). Нехай деяке періодичне рішення неоднорідної системи (2.1). Із умов періодичності (2.4) слідує, що початкове значення задовольняє умову:

Нехай деяке періодичне тривіальне рішення спряженої системи (2.9) Тоді

слідує,

0=([ E-X(ω)]*ψ_s(0),y₀)=

= (ψ_s(0),[E-X(ω)]y₀₎₌ψ_s(0),X(ω)         (t)f(t)dt=

=( [X(ω)]*ψ_s(0),        (t)f(t)dt)=

=     (ψ_s(0),X^-1(t)f(t)dt)=     ([X^-1(t)]*ψ(0),f(t)dt.

 

Але

Тому                                    (ψ_s(t),f(t)dt=0    (s=1,…,k).

3) Доведемо тепер достатню умову (2.10). Нехай умова (2.10) виконується. Тоді, якщо власний вектор матриці  який відповідає єдиному мультиплікатору тобто

то

слідує,

Таким чином система

                                           (2.14)                                    

еквівалентна системі

                           (2.15)

Означає, що ранги матриць цієї системи однакові. Звідси враховуючи що матриця системи (2.15) відрізняється від матриці системи (2.14) лиш на векторний рядок для ранга системи (2.13) матимемо вираз:

Оскільки система (2.13), визначає початкові умови періодичного рішеня неоднорідної системи (2.1), сумісна і має лінійно незалежних рішень.

Теорема доведена.

Існування періодичного рішення лінійної періодичної системи пов’язано з наявністю обмежених рішень її

Теорема 2.3 (Массера). Якщо лінійна неодноріднаперіодичного система (2.1) має обмежене рішення , то у цій системі існує періодичне рішення.

Доведення. Використовуючи метод варіаційної постійної, обмежене рішення неоднорідної системи (2.1) нехай має вид:

де і (нормована фундаментальна матриця однорідної системи (2.2). Звідси

                                (2.16)

де

Так як вигляд періодичності системи (2.1) є також рішенням цієї системи, то використовуючи початкові умови отримаємо

або в більш загальному вигляді,

       (2.17)

Нехай система (2.1) не має періодичного рішення. Тоді лінійна алгебрагічна система

                                     (2.18)

виконуючи умову періодичності, несумісна і в часному випадку

Звідси в силу відомої теореми алгебри виводимо, що існує ненульовий вектор , який являється рішенням спряженої алгебрагічної системи

                                    (2.19)

причому цей вектор не ортогональний до правої частини системи (2.18), тобто

                                            (2.20)

Із рівняння (2.19) отримаємо ,отже,

          (2.21)

Помноживши рівняння (2.17) справа на отримаємо

Звідси, враховуючи відношення (2.21), знаходимо

 

що суперечить обмеженню розв’язку

Отже слідує, що в наших умовах система (2.18) сумісна, таким чином , існує принаймні одне періодичне рішення, то всі рішення цієї системи необмежені як на півосі , так і на півосі

 

2.2. Означення функції Гріна крайової задачі для лінійного диференціального рівняння n-го порядку

 

Нехай дано диференціальне рівняння n-го порядку:

             (2.22)

де функції , ,…, неперервні на [a,b], на [a,b], і крайові умови:

(2.23)

де лінійні форми від є лінійно незалежними.

Представимо, що однорідна крайова задача (2.1)-(2.2) має тільки тривіальне рішення 

Означення 1.1. Функцією Гріна краєвої задачі (2.11)-(2.12) називається функція , побудована для будь-якої точки і має наступні властивості:

1.               неперервна і має неперервні похідні по до

  порядку включно при

2.               похідна по в точці має розрив 1-го роду, якщо скачок дорівнює тобто .        (2.24)
3.               В кожному з інтегралів [a,] і [,b] функція розглядаетьсяч як функція від , являється рішенням рівняння:                        

                                                                                    (2.25)                                     

4.               задовольняє граничним умовам (2.23):        

                                                       (2.26)                 

Теорема 2.4. Якщо крайова задача має лише тривіальне рішення то має оду і тільки одну функцію Гріна .

Доведення. Нехай лінійно незалежні рішення рівняння Тоді в силу властивості 3 шукана функція на інтервалах [a,] і [,b] повинна мати вигляд:

де деякі функції від Неперервність функції і її перших похідних по в точці з цього маємо відношення:

……..…………………………………………………………

а властивість 3 матиме вигляд:

Нехай тоді отримаємо систему лінійних рівнянь відносно :

                  (2.27)

Визначник системи (2.27) дорівнює значенню в точці , а тому відмінний від нуля. Тому систему (2.27) однозначно визначає функція Для визначення функцій і скористаємося крайовою умовою (2.23). Запишемо у вигляді:

                                                                 (2.28)

де

Тоді в силу умови (2.26) отримаємо:

         

 Враховуючи, що маємо

Звідси з (2.28) маємо:

                                                  (2.29)

Зауважимо, що система (2.29) є лінійною відносно величин Визначник цієї системи відмінний від нуля:

В силу представлення про лінійну незалежність форм

Отже, слідує, що система рівнянь (2.29) має єдине рішення відносно   , а оскільки тоді і величини визначені однозначно. Тим самим існування і единість функції Гріна   доведені і одночасно дано метод її побудови.

Зауваження 2.2. Якщо крайова задача самоспряжена, тоді функція Гріна являється симетричною тобто:

Справедливе і обернене твердження.

Зауваження 2.3. Якщо на одному із кінців відрізка [a,b] коефіцієнт при старшій похідній перетворює в нуль,наприклад: то дійсною граничною умовою обмеженості рішення при а на іншому кінці задає звичайну граничну умову.

Розглянемо побудову функції Гріна для диференціального рівняння другого порядку виду:

з граничними умовами

Нехай, є розв’язком рівняння (2.31), визначене початковою умовою:

це рішення, не обов’язково задовольняє другій граничній умові, тому нехай Але функція виду   де довільна постійна, очевидно явна рішення рівняння (2.31) і задовольняло граничній умові:

Аналогічно знаходимо нульове рішення рівняння (2.2.10), але для того щоб воно задовольняло другій граничній умові, тобто:

                                           (2.34)

Ця ж умова буде задовольняти всі рішення сімейства де довільна постійна.

Функцію Гріна для задачі (2.31)-(2.32) знаходимо в вигляді:

                         (2.35)

Постійні і вибираємо так, щоб виконувались властивості 2.2 і 2.3, тобто щоб функція була неперервна по при фіксованому , і частково неперервна в точці

І щоб в точці має скачок, який дорівнює  

Запишемо два останніх рівняння так:

Визначник системи (2.36) є визначником Вронського обчислений в точці , для лінійно незалежних розв’язків  рівняння (2.31), а це означає що він відмінний від нуля:

Так що величини  і  із системи (2.36) швидко визначаються:

                              (2.37)

Представимо вираз для і  в (2.35), отримаємо:

                             (2.38)

Зауваження 2.4. Вибираємо наші рішення і рівняння (2.31) є лінійно незалежними, якщо

Насправді, всі лінійно незалежні від рішення мають вигляд і слідує, що при  не перетворюється в нуль в точці , в якій перетворюється в нуль рішення

 Зауваження 2.5. Крайова задача для рівняння другого порядку виду:

і крайових умов:

 

зводимо до розгляду задач (10)-(11) так:

1) Лінійне рівняння (2.39) зводиться до виду (2.31) шляхом множення (2.39) на (в якості потрібно взяти

2) Крайова умова (2.40) зводиться до нульової умови (2.32) лінійною заміною змінних:

При цій заміні рівняння (2.39) не змінюється, але на відміну від рівняння (2.31) тепер отримаємо рівняння з правою частиною де

Функцію Гріна будуємо для однорідної крайової задачі

  яка повністю співпадає з задачами (2.31)-(2.32).

 

2.3. Приклади побудови функції Гріна для деяких диференціальних рівнянь

 

Приклад 2.1. Побудувати функцію Гріна для однорідної крайової задачі:

Розв’язання. Спочатку покажемо, що крайова задача (2.41)-(2.42) має лише тривіальне рішення. Насправді фундаментальна система рішення рівняння має вигляд:

так, що його загальне рішення має вид:

де  довільні постійні. Крайова умова (2.42) дає нам чотири відношення для визначення

Звідси маємо

Отже, задача (2.41)-(2.42) має тільки нульове рішення а це означає, що для неї можна побудувати (єдину) функцію Гріна

Побудуємо функцію Гріна. Використовуючи фундаментальну систему рішень (2.43), подаємо функцію Гріна в вигляді:

де поки, що невідомі функції від Покладемо і випишемо систему лінійних рівнянь для знаходження функції

Розв’язавши цю систему, отримаємо:

Далі скористаємося властивістю 4. функції Гріна, а саме тим, що вона повинна задовольняти крайову умову (2.42), тобто:

В нашому випадку це відношення прийняло вид:

Використовуючи, що , із (2.47) і (2.48) знаходимо:

Нехай значення коефіцієнтів із (2.49) в (2.44) і (2.45), отримаємо шукану функцію Гріна:

Останній вираз легко зводиться до вигляду:

так, що тобто функція Гріна симетрична. Це можна було дослідити раніше, так як крайова задача (2.41)-(2.42) самоспряжена.

Приклад 2.2. Побудувати функцію Гріна для диференціального рівняння

при наступних умовах: 

Розв’язання. Знайдемо спочатку загальне рішення рівняння (2.50) і впевнимося, що умова (2.51) виконується лише тоді коли

Позначимо отримаємо звідси

  а це в свою чергу означає, що:

Очевидно, що визначається формулою (2.52) і задовольняє умову (2) тільки при а значить функція Гріна для задачі (2.41)-(2.42) можна побудувати.

Запишемо в вигляді:

Із неперервності в точці отримаємо

а стрибок в точці дорявнює  так, що

Нехай    

 

отримаємо       

звідси

Використовуємо умову (2). Границі дають нам а з умови отримаємо Враховуючи (2.55)-(2.56), отримаємо значення всіх коефіцієнтів в (2.53):

Отже,

                                (2.56)

Приклад 2.2. Знайти функцію Гріна крайової задачі

Розв’язання. Легко переконатися в тому, що рішення задовольняє крайову умову  а рішення умовно і вони являються лінійно незалежними. Знайдемо значення визначника Вронського для і в точці

Зауважимо, що в нашому прикладі згідно (2.56), отримаємо:

ВИСНОВКИ

 

 

В ході розгляду основних питань отримані наступні важливі результати, що стосуються дослідження питання про лінійну періодичну диференціальну систему використовуючи теорію Флоке та функції Гріна.

Однією з найважливіших проблем у неоднорідній  диференціальній системі є встановлення критерію, що дозволяє відповісти на запитання: чи можна за допомогою теорії Флоке та методу функції Гріна отримати рішення в однорідній та неоднорідній диференціальній системі.

Для знаходження відповіді на запитання, теорія Флоке та метод функцій Гріна дозволяє отримувати рішення багатьох задач в областях різної форми. Однак для кожної області (а точніше, для кожного оператора, що стоїть в лівій частині граничної умови) і для кожного рівняння потрібно знаходити свою функцію Гріна, що є часто непростим завданням.

 Існує ряд прикладів задач, що можна розв’язати за допомогою теорії Флоке та функції Гріна. До них належать найпростіші диференціальні рівняння. Крім того, можна відзначити, що існують приклади функції Гріна для диференціальної системи. Зокрема відзначаємо означення неоднорідної періодичної системи.

В результаті проведеного дослідження, відповідно до зазначеної мети було виконано такі завдання:

• розглянуто властивості лінійної неоднорідної системи;
• визначено нормальні форми рішення лінійної однорідної системи використовуючи теорію Флоке;
• розглянуто приклади класичних задач на метод функції Гріна для диференціальних рівнянь

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

1. Боль П., О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применяемых в механике, Юрьев, 1900.  – 345 с.
2. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. – М.: Моск.    ун–та, 1989. – 156 с.
3. Вишик, М.И. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений: [сб. науч. ст.] Вип. 15 / М.И. Вишик, Л.А. Люстерник. М.: УМН, 1960. – №3. – С. 3-79.
4. Выноград Р. Э., Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных систем, УМН, 9:6, 1954.
5. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука, 1971.
6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.  – М.: Наука, 1967.
7. Горбачук О.Л., Воробець Б.Д. Вступ до вищої алгебри. – Львів: ЛДУ. –1976. – 88 с.
8. Гельфант И. М., Лекции по линейной алгебре, Гостехиздат, 1961.
9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.– М.: Наука, 1967. – 472 с.
10. Демидович Б. П., О некоторых свойствах характеристических показателей системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, Учен. зап. МГУ, 1952. . – № 6. – С. 123 – 132.
11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1976. – 354 с.
12. Еругин Н.П., Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, ИАН БССР, 1963. – 272 с.
13. Еругин Н.П. Книга для чтения по обмену курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1972. –325 с.
14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1980. – 524 с.
15. Зубова С.П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной: дис. канд. физ-мат. наук / С.П. Зубова. – Воронеж, 1973. – 127 с.
16. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
17. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений: сб. науч. ст.  Вып. 74. – М.: ДАН СССР, 1951. – №1. – С. 11-14.
18. Коддингтон Э. А. и Левинсон Н., Теория обикновенных дифференциальных уравнений, ЛИ, 1958. –475с.
19. Колмогоров А. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Колмогоров, С.В. Фомин: сб. науч. ст.  Вып. 1. – М.: МГУ, 1954. – 457 с.
20. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 192 с.
21. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1967. – 464 с.
22. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 103 с.
23. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – М.: Просвещение,          

1988. – 256 с.

24. Математическая энциклопедия. Т. 2. – М.: Советская энцыклопедия, 1979. – 470 с.
25. Персидский К.П. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений. – ИАН Казахской ССР. – 1950. – № 4 (97).
26. Петровский И. Г., Лекции по теории обикновеных дифференциальных уравнений, «Наука», 1954. – 274 с.
27. Постягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974. – 354 с.
28. Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Наука», 1965.
29. Плоткин Я.Д. Функция Грина возмущенной на спектре двухточечной краевой задачи в банаховом пространстве: сб. науч. ст.Вып. 27. – К.: УМЖ, 1975. – №2. – С. 183–192.
30. Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет . М.: Наука, 1978.
31. Судаков Р.С. Элементы непараметрической теории линейных систем. Научный сонет по комплексной проблеме / Р.С. Судаков // Кибернетика. – М.: АН СССР, 1983. – 154 с.
32. Смирнов В.А. Курс высшей математики, т. 2. – М.: Наука, 1974. – 357 с. 
33. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. 6 – е изд. – М.: Наука, 1979. – 285 с.
34. Судаков Р.С. Элементы непараметрической теории линейных систем. Научный сонет по комплексной проблеме / Р.С. Судаков // Кибернетика. – М.: АН СССР, 1983. – 654 с.
35. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959. – 352 с.
36. Тихонова А.Н., Ильина В.А., Свешникова А.Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. – 230 с.
37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 454 с.
38. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. – М., 1972. – ил. – 829 с.
39. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:Мир, 1964.
40. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, «Наука», 1966. – 430 с.
41. Федоров Г.Ф. Некоторые новые случаи решения систем двух линейных уравнений в конечном виде / Г.Ф. Федоров // Вестник ЛГУ. –. – 1953. – № 11, С. 57—65.
42. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. – М.: Наука, 1972. – 720 с.