Презентація "Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь"

Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був повязаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, розв'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку. Історичний розвиток

У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна комп'ютерна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату. Без сучасної теорії диференціальних рівнянь неможливо уявити собі жодної галузі сучасної науки.

З експерименту відомо, швидкість радіоактивного розпаду речовини пропорційна її кількості. Визначити півперіод розпаду речовини (час, за який розпадається половина речовини)Задача “Радіоактивний розпад ”

Нехай х (t)- кількість радіоактивної речовини в момент часу t, x(0)= x0 . 3 умови задачі випливає, що x’ (t)= -k x, k> 0 Розв'язок даного рівняння x=C∙ e –k t  Розв'язання

Швидкість розмноження бактерій у разі достатнього запасу їжі пропорційна їх кількості. Визначити, за який час кількість бактерій збільшиться в m разів порівняно з початковою кількістью. Задача “ Розмноження бактерій ”

Якщо А(t) – кількість бактерій в момент часу t, A(0)= A0 . З умови задачі випливає, що A’(t)= -k A, k>0 Розв'язок даного рівняння має вигляд. A= C∙e-k t Розв'язання

Відомо, що чим вище над рівнем моря, тим повітря розрідженіше – атмосферний тиск із висотою зменшується. Встановити залежність атмосферного тиску p від висоти над рівнем моря h (p=p(h))Задача “ Атмосферний тиск ”

Нехай густина повітря на висоті h дорівнює 𝜌(h), g- прискорення вільного падіння. З умови задачі випливаєp’(h) = -g ∙𝝆(h)Розв'язок даного рівняння має вигляд P=C∙e-k h Розв'язання

Метеорит, який перебуває у стані спокою, під впливом земного тяжіння починає прямолінійно падати на Землю з висоти h. Визначити, якою могла бути швидкість метеорита біля поверхні Землі, коли б не було земної атмосфери. Радіус Землі R=6377 км. Задача “ Падіння тіла ”

Нехай x(t) – відстань, яку метеорит пройшов із початку падіння, h - x - від метеорита в момент t до центра Землі. За умовою задачі маємо рівняння V `= Розв’язок даного рівняння має вигляд. V= Розв’язаня

У ставку живуть риби двох видів: карасі і щуки. Карасі харчуються зеленими рослинами ставка, а щуки - карасями. Визначити, як зміниться чисельність карасів і щук з плином часу. Задача “ Природний відбір ”

Якби щук у ставку не було, то карасі розмножувались б законом: X`=k x. Якщо x(t) – кількість щук у ставку, то слід врахувати кількість карасів, яких з'їли щуки. Нехай число зустрічей карасів і щук пропорційне як кількості карасів, так і кількості щук. X`= k x- a x y Де а – коефіцієнт пропорційності .,Що стосується щук, то без карасів, вони б вимерли. Y`(t)= -l y (t)Розв'язання