Лінійні нерівності з однією змінною.

Тема уроку. Лінійні нерівності з однією змінною.

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту понять: лінійна нерів­ність з однією змінною, рівносильні нерівності, рівносильні перетворення нерівності та способів рівносильних пере­творень нерівностей; схеми розв'язування лінійних нерівно­стей з однією змінною. Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять та алгоритмів; виконувати дії відповідно до схеми розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною і найпростіші рівносильні перетворення нерівностей із застосуванням властивостей числових нерівностей та наслідків із них.

Тип уроку: формування знань, вироблення первинних умінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 8.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Оскільки вправи домашнього завдання є вправами репродук­тивного (в основному) характеру, то перевірку домашнього завдан­ня можна здійснити або частково (тільки в учнів, що потребують додаткової педагогічної уваги), або можна запропонувати учням перевірити відповіді (правильні відповіді заздалегідь записані за дошкою або роздані як картки для самостійного опрацювання), або провести діагностичну самостійну роботу [8, самостійна робо­та № 3, завдання 1] з наступною перевіркою.

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення нового ма­теріалу можна певним чином створити проблемну ситуацію: за­пропонувати учням спочатку виконати завдання на перевірку того, чи є дане число розв'язком нерівності з однією змінною, а потім розв'язати ту саму нерівність (нагадавши попередньо, що розв'язати нерівність означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає). Усвідомлення учнями неможливості розв'язання конкретної задачі із застосуванням тих знань та вмінь, якими вони володіють, створює мотивацію до вивчення питання про види та способи розв'язування найпростіших нерівностей з однією змін­ною. Таким чином формулюється дидактична мета уроку, а також виділяються завдання для учнів на урок.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1. Яке із чисел: -2; 3 — є розв'язком нерівності:

1) (х – 1)(х + 2) > 0;  2) 2х – 3 < 0?

2. Чи належить проміжку [-3; 5,2) число:

1) -3;  2) 0;  3) 5;  4) 5,2; 5) 6?

3. Відомо, що 5 < а < 7. Оцініть значення виразу:

1) а + 1; 2) 3а;  3) а – 3; 4) -3а; б) – 1; 6) .

4. Спростіть вираз:

1) 4(x – 3) + 1;   2) 12 – 3(1 – 2x);

3) 5(2z + 7) + 14(5 – z);  4) х² – 3х – 8 – х(х + 2).

5. Розв'яжіть рівняння:

1) 3х = 6;  2) 0х = 0;  3) 0х = -3.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Поняття рівносильних нерівностей. Рівносильні перетворення нерівностей.
2. Поняття лінійної нерівності з однією змінною.
3. Схема розв'язування лінійної нерівності з однією змінною.
4. Як розв'язати нерівність з однією змінною, що зводиться до лінійної. Приклади.

Методичний коментар

Відповідно до даного плану викладання матеріалу формування знань учнів на даному уроці розпочинається з вивчення означен­ня рівносильних нерівностей з однією змінною і продовжується вивченням формулювань основних теорем рівносильності (які да­ються без доведення та пояснюються на прикладах). Для кращого розуміння учнями цього фрагменту матеріалу уроку можна запро­понувати їм порівняти властивості числових рівностей та нерівно­стей і таким чином виявити як схожі, так і відмінні їхні риси. Ре­зультатом такого порівняння буде усвідомлення учнями існування певних аналогій між поняттями «рівняння та його розв'язання» і «нерівність і її розв'язання» та засобів розв'язування як одних, так і інших (та акцентувати увагу на відмінностях — при множен­ні або діленні обох частин нерівності на від'ємне число). Звернемо увагу, що в різних джерелах означення лінійної не­рівності з однією змінною даються дещо по-різному: у традицій­них підручниках останніх років це нерівність виду ax > b (ax < b, ах ≥ b, ах ≤ b), а наприклад, у таблицях з алгебри для 7—11 кла­сів [7] це нерівність виду ax + b > 0 (ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0). Учням можна продемонструвати обидва означення і показати, що відмінність першого полягає тільки в тому, що описувану нерів­ність уже зведено до виду, аналогічного виду лінійних рівнянь з однією змінною (ах = b).

Порівнюючи лінійні нерівності з однією змінною та лінійні рів­няння з однією змінною, слід зауважити, що з огляду на існуючу відмінність рівносильної властивості (див. множення або ділення обох частин нерівності на те саме від'ємне число), залежно від зна­ка нерівності, можна скласти не одну схему розв'язування лінійної нерівності з однією змінною (особливо це стосується випадку, коли число а дорівнює 0), тому акцент треба робити не на заучуванні схем, а на розумінні дій, які скриті за цими схемами).

Завершальний етап вивчення нового матеріалу є практичною частиною (яка може бути подана як відповідь на запитання, по­ставлене на початку уроку): на прикладі нерівності з однією змін­ною під час коментування складається орієнтовна схема дій при розв'язуванні нерівності з однією змінною, що зводиться до ліній­ної. Під час коментування також доречним буде проведення пара­лелей з розв'язуванням відповідного рівняння з однією змінною.

Опорний конспект № 8

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1. Визначте й обґрунтуйте, чи рівносильні дані нерівності.
   1) 3х > 3 і х > 3;   2) 3х > 3 і х > 1;

3) 3 + х > 5 і х > 5;   4) 3 + х > 5 і х > 2.

2. Розв'яжіть нерівність:

1) 3х > 3;  2) х + 3 > 5;  3) -3х > 3;  4) х – 3 > 5; 

5) –х < 6;  6) 0х < 7;  7) 0х > 7.

3. Спростіть вираз:

1) 8х – (х + 2); 2) 8х – 5(х + 2); 3) 9(х – 3) – 5(х + 2).

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1. перевірити, чи є дані дві нерівності рівносильними (викорис­тавши властивості рівносильності нерівностей);
2. розв'язати нерівності з однією змінною, що зводяться до ліній­них нерівностей з однією змінною шляхом застосування одного з вивчених рівносильних перетворень;
3. розв'язати нерівності з однією змінною, що зводяться до лі­нійних нерівностей з однією змінною шляхом застосування кількох (або всіх) вивчених рівносильних перетворень;
4. на повторення: рівняння з однією змінною, що зводяться до лінійних рівнянь з однією змінною шляхом попереднього мно­ження (або ділення) обох частин рівняння на те саме число — найменший спільний знаменник усіх дробів (або найбільший спільний дільник усіх коефіцієнтів).

Методичний коментар

Розв'язання вправ на цьому етапі уроку слід розпочати з вправ, що сприяють закріпленню учнями змісту понять «рівносильні не­рівності» та «рівносильні перетворення нерівностей». При цьому в процесі розв'язування таких вправ слід вимагати від учнів свідомо­го коментування своїх дій з використанням вивченої термінології.

Наступна група завдань має на меті сприяти закріпленню в учнів знань щодо схеми розв'язування лінійних нерівностей з од­нією змінною та виробленню в учнів сталих умінь як розв'язувати лінійні нерівності з однією змінною, так і виконувати рівносильні перетворення нерівностей з однією змінною.

Тільки переконавшись у тому, що основні навички розв'язу­вання найпростіших нерівностей з однією змінною в учнів вироблено, можна переходити до більш складних прикладів, які сприяють вдосконаленню навичок тотожних перетворень.

Щоб підготувати учнів до сприйняття матеріалу наступного уроку (розв'язування нерівностей, що містять дроби з числовими знаменниками), на даному уроці учням пропонується кілька при­кладів на повторення: на розв'язування рівнянь відповідного виду.

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1. Які дві нерівності називають рівносильними?
2. Як (якими способами) можна з даної нерівності (з однією змін­ною) утворити рівносильну їй нерівність?
3. Нерівності якого виду називають лінійними нерівностями з од­нією змінною? Наведіть приклади.
4. Які розв'язки може мати нерівність ах > b, якщо:

1) а > 0; 2) а < 0; 3) а = 0, b > 0; 4) а = 0, b < 0?

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити зміст тверджень, розглянутих на уроці (див. опорний конспект № 8).
2. Розв'язати вправи на закріплення змісту поняття «рівносильні перетворення нерівностей» і на вироблення вмінь розв'язувати лінійні нерівності з однією змінною та такі, що зводяться до лі­нійних шляхом найпростіших рівносильних перетворень (ана­логічні за змістом та рівнем складності вправам класної роботи).
3. На повторення: розв'язати рівняння (аналогічні розв'язаним у вправах на повторення — див. класну роботу) та розв'язати вправи на знаходження ОДЗ раціональних виразів.