Математика в одній задачі. Підготовка до ЗНО

При підготовці до ЗНО кожен учень задається питанням : «Як

швидко повторити курс алгебри чи геометрії 7 або 8 класу, якщо

на черзі ще інші предмети?»

І тут я пропоную учням всього одну задачу:

Геометрія 7 класу в одній задачі:

Для пари паралельних прямих a i b проведено січну с, яка перетинає дані прямі в т. А і D відповідно. З т. Сb (т. С≠D) проведена пряма, яка проходить через т. О – середина АD і перетинає а в точці В. У ΔВАО кути відносяться як 1 : 2 : 3. Знайти градусні міри кутів ΔСОD, довжину відрізків ОD і DС, якщо ВА = 14см.                                      

Розв’язання:

1. Розглянемо ∆ВАО,

      , нехай k= x, тоді Оскільки сума кутів любого трикутника дорівнює 180°, то маємо рівняння:

х + 2х +3х = 180°

6х = 180°

х = 180° : 6

х =30°

Тоді: .

2. ОА =ОD – за умовою;

ВОА = ODC – як вертикальні;

ВАО = ОDC – як внутрішні односторонні при двох паралельних прямих а і b та січній с.

Тому ∆ВОА = ∆ОDC за стороною та прилеглими кутами. Як відомо, у рівних трикутників відповідні кути і сторони рівні.

Отже, ВА = DC = 14 см, В = С = 30°, А = D =60°, О = 90°.

3. Розглянемо ∆ ODC: D = 90°, С = 30°, DC – гіпотенуза прямокутного трикутника і дорівнює 14 см. Як відомо, в прямокутному трикутнику навпроти кута 30° лежить катет, який дорівнює половині гіпотенузи.

Отже, ОD = DC; ОD = 14 : 2 = 7 см.

Підсумок. Задача розв’язана. Які ж основні елементи ми використовували?

1. Рівність трикутників. Якщо ви це згадали, то тоді як бонус – всі елементи одного трикутника  дорівнюють усім елементам другого трикутника. А також дуже важливим у цієї теми є поняття відповідність сторін і кутів.

2. Використали одну з найважливішу теорему про суму кутів трикутника.

3. Повторили задачі на пропорційний поділ.
4. Використали властивість паралельних прямих і січної та утворених куті

5. Ще використали властивість прямокутного трикутника, у якого один кут дорівнює 30°.

Геометрія 8 класу в одній задачі:

У чотирикутнику АВСD (ВС ││АD),  ВС = 8см, а бісектриса кута D попадає у точку В і утворює зі стороною ВС кут 30°, а з бічною стороною АВ  - кут 90°. Знайти відстань від точки В до АD, діагональ ВD, площу даного чотирикутника АВСD.

Розв’язання:

Зверніть увагу на умову, тут не говориться про вид чотирикутника. Зробимо аналіз умови. Важко розуміти задачу без малюнка. Проведемо дві паралельні прямі ВС і АD. Ось що ми отримали. Пригадаємо, що тільки у чотирикутника-трапеції дві сторони паралельні.

1. Так як ВС ││ АD (за умовою), то чотирикутник  АВСD – трапеція.
2. Пригадаємо, що називається відстанню від точки до прямої. Якщо у нас є деяка точка і ми хочемо з неї «попасти» на деяку пряму, то це буде найкоротша відстань. Відстанню в математиці називають довжину перпендикуляра, це є самий короткий шлях. Отже, шукана відстань ВН.
3. Використаємо паралельність прямих ВС і АD, ВD – січна, то - як внутрішні різносторонні, а так як DВ – бісектриса, то . Ми тепер можемо знайти .
4. Розіб’ємо дану фігуру на менш прості. А що може бути простіше трикутника? ВСD трикутник, у якого кути при основі рівні. Це можливо лише у рівнобедреного трикутника. Бічні сторони прилеглі до рівних кутів. ВС = СD = 8 см.
5. Розглянемо ∆ АВD: , тоді . Нагадую, що в прямокутному трикутнику на два гострих кута припадає 90°.

У трапеції , тому трапеція АВСD рівнобічна, АВ = СD =8 см.

6. Розглянемо ∆АВН, Н=90°, за тригонометричним співвідношенням маємо:

ВН = 8·sin60° = 8· см. За т. Піфагора: АН == 4см.

7. За метричним співвідношенням  в прямокутному трикутнику АВD маємо:

ВА² = АН · АD

64 = 4 · АD

АD= 16 см.

8. Розглянемо ∆АВD і ∆АВН, , - спільний.

Отже,  ∆АВD   ~  ∆АВН за двома кутами. Якщо трикутники подібні, то можна скласти пропорцію відповідних сторін:

,      ,    BD = см.

9. Площу трапеції знайдемо за формулою: .

Підсумок. Які головні теми ми повторили, розв’язавши всього одну задачу?

1. Розглядали різні види чотирикутників (паралелограми, прямокутники, ромби, квадрати, трапеції) і встановили потрібний вид чотирикутника.
2. Розібралися з подібними трикутниками.

3. Розглянули пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

4. Пригадали що таке sin, cos, tg, ctg, які використовують лише в прямокутному трикутнику.

Тепер вся геометрія  8 класу у вас в кишені!

Алгебра 7 класу в одній задачі:

(1)

(2)

Розв’язати дану систему рівнянь усіма способами.

Спочатку спростимо кожне рівняння. Позначимо їх (1) і (2):

2.

Маємо систему рівнянь:

1. Розв’яжемо дану систему способом підстановки. Для цього виразимо в першому рівнянні одну змінну через іншу:

   Підставимо вираз у друге рівняння замість у:

Відповідь: (-1;-5)

2. Розв’яжемо дану систему способом віднімання. Для цього від (1) – (2):

_____________

         Підставимо знайдено значення    х   у друге рівняння :

Відповідь: (-1;-5)

3. Для розв'язання системи графічним способом будують графіки всіх рівнянь, які входять в систему. Координати точок перетину є розв'язком цієї системи.

Графічний спосіб є зручним для знайдення числа розв'язків системи (тобто скільки точок перетину графіків, стільки й розв'язків має система), але не зручний при обчисленні координат точок (тобто значення координат можна отримати лише наближені).

Виразимо одну змінну через іншу:

Щоб побудувати графіки лінійних функцій в одній системі координат, нам потрібні координати двох точок, що належать графікам функцій.

Складемо таблицю значень функцій:

Побудуємо графіки лінійних функцій в одній системі координат:

Ці прямі  перетинаються в точці А(-1;-5). Координати цієї точки одночасно є розв’язком і першого і другого рівнянь системи:

Іноді в задачах просять не розв’язувати систему, а встановити скільки розв’язків має система. Як це зробити не будуючи графіки?

Кількість розв’язків системи лінійних рівнянь  

можна визначити  за співвідношенням коефіцієнтів.

Якщо , то система має безліч розв’язків.

Якщо , то система не має розв’язків.

Якщо , то система має один розв’язок.

Алгебра 8 + 9 класи в одній задачі:

(1)    Позначимо кожну нерівність (1), (2), (3), (4) та розв’яжемо їх окремо.

(2)

(3)

(4)

    ДОЗ: ; D = b² – 4ac = 4 – 16 = -12<0

Даний тричлен розв’язку не має. При любих значеннях х знаменник ≠ 0.

2. │х - 4│< 3

-3 < х – 4 < 3

-3 + 4 < х < 3 + 4

1 < х < 7

3. 2

2 │х│≤ 13

│х│≤ 6,5

-6,5 ≤ х ≤ 6,5

4. ,    ОДЗ: R, крім х – 6 ≠ 0, х ≠ 6.

Отже, дана система має вигляд:

Побудуємо розв’язки кожної нерівності на координатній прямій :

Відповідь: [5; 6) (6; 6,5).

Якщо все засвоїли, то домашнє завдання: