Математика в оригамі

Київський університет імені Бориса Грінченка. Презентація з спеціальності «Математика»на тему : «Математика в орігамі»

Епіграфом до нашого маленького дослідження ми обрали слова японської народного прислів’я :«Великий квадрат не знає меж»1. Аксіоми орігаметрії2. Використання методу орігамі під час розв’язання задач із шкільних підручників геометрії3. Розв’язання геометричних задач методом перегину паперу4. Розв’язання нерозв’язних за допомогою циркуля і лінійки задач методом орігамі5. Наші роботи з модульного орігамі.6. Майстер-клас виготовлення модуля за допомогою орігаметрії

Види орігамі{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}{72833802-FEF1-4 C79-8 D5 D-14 CF1 EAF98 D9}Звичайне. Модульне. Мокре. Патерн

Аксіома 1. Існує єдиний перегин, що проходить через дві дані точки Аксіоми орігаметріїАксіома 2.Існує єдиний перегин, що суміщає дві дані точки

Аксіома 3.Існує перегин, що суміщає дві дані прямі Аксіома 4.Існує єдиний перегин, що проходить через дану точку і перпендикулярний даній прямій

Аксіома 5.Існує перегин, що проходить через дану точку і зміщує іншу дану точку на дану пряму Аксіома 6.Існує перегин, що зміщує кожну з двох даних точок на одну з двох даних пересічних Аксіома 7.Існує перегин, який зміщує дану точку на пряму і є перпендикулярним до іншої прямої

Проаналізувавши підручники з геометрії для 7-11 класів, ми знайшли задачі, які можна розв’язати, використовуючи орігамний метод. Дані дослідження ми оформили в вигляді таблиці. Використання методу орігамі під час розв’язання задач із шкільних підручників геометрії

Задача. Побудувати кут, тангенс якого дорівнює 2. Розв’язання:1. Виконати перегин по лінії АВ.2. Виконати перегин по лінії АК. Розв’язання геометричних задач методом перегину паперу

Задача: Побудувати правильний п’ятикутник. Побудова:1. Намітити на квадраті дві діагоналі і зігнути його в трикутник. Намітити середину висоти.2. Намітити четверть висоти. Лінія перегину проходить між позначеними точками.3. Перегин ділить кут навпіл.4. Завернути ліву частину назад. Перегин ділить кут навпіл.5. Лінія відрізу утворює прямий кут зі стороною

Задача 1. Поділити кут на три рівні частини. П'єр Лоран Ванцель у 1837 році довів, що задача розв'язна тільки тоді, коли розв'язне в квадратних радикалах рівняння: Дану задачу можна розв’язати методом орігамі. Це розв’яння запропонував Хісасі Абе. Розв’язання1. Взяти аркуш паперу квадратної форми і позначити його як . На стороні позначити довільну точку Р і провести відрізок . Потрібно розділити кут на три рівні кути (рис.34а).2. На сторонах і позначити точки так, щоб лінія була паралельною . Позначити за допомогою перегину. (рис.34б)3. Сумістити сторону з лінією . Лінію, отриману в результаті перегину, позначити як (рис.34в)4. Зробити такий перегин, щоб точка Е дотикалася лінії і точка дотикалась лінії (рис.34г).5. Перегнути аркуш по перпендикуляру до лінії , що проходить через точку . На стороні позначаємо точку (рис.34д).6. Відгинаємо кут назад (рис.34е).7. Довести лінію, що виходить з точки до точки . Сторону сумістити з лінією (рис.34 є).8. Лінії і ділять кут на три рівні частини (рис.34 ж) Розв’язання нерозв’язних за допомогою циркуля і лінійки задач методом орігамі

Задача 2. Побудувати куб з об’ємом в 2 рази більше об’єму даного. Задача зводиться до розв'язання рівняння Розв'язок має вигляд Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною У 1837 році було доведенощо ця задача не може бути розв'язана за допомогою , циркуля та лінійки. Використаємо розв’язання, яке запропонував Петер Мессер. Спочатку побудувати квадрат АВСD, який поділений на 3 рівні частини за допомогою перегинів р і q. Скласти аркуш паперу таким чином, щоб точка В потрапила в точку В' на стороні АD, а точка Х в точку Х' на відрізку ЕF. Тоді Доведення: Нехай ∠В'ВА=α, а ВХ=1. Тоді (оскільки) ∠АВ'В= π/2 – α) ∠ЕВ'Х' = 2α. Так як q∥p, а Х'Х ∥ В'В, то ∠ХХ'F = α. Тому ЕХ' = sin⁡2α, FХ' = ctg α. Звідси бачимо, що sin⁡〖2α+ 〗ctg α = EF = 3. Нехай t = ctg α. Тоді sin⁡2α = 2t/(1+t^2 ) , і ми отримуємо рівняння відносно t:2t/(1+t^2 ) + t = 3, звідки t^3 - 3t^2+ 3t – 3 = 0, 〖(t-1)〗^3 = 2, t∛2 + 1. Далі, АВ' =3tg α, DB' = 3 - 3tg α, і DB'/AB' = (3 - 3tg α)/(3tg α) = ctg – 1 =∛2.

А тепер разом створимо модуль