Матеріал до уроку."Використання формул половинного та кратних аргументів"
Даний матеріал розширить знання з математики. Підстановка буде ефективною при спрощенні виразів, які містять у собі складові вигляду, що безпосередньо випливає із формул для тригонометричних функцій подвійного аргументів
Використання формул половинного та кратних аргументів
Підстановка буде ефективною при спрощенні виразів, які містять у собі складові вигляду, що безпосередньо випливає із формул для тригонометричних функцій подвійного аргументів
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Знаходимо ОДЗ і маємо, . Вводимо підстановку
,
Рівняння набуде нового вигляду:
,
=
.
Нехай .
=
,
.
Маємо: 1)
2)
,
3),
,
. ,
Відповідь.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Область допустимих значень: Виконаємо підстановку
і отримаємо рівняння
,
. Оскільки на проміжку
то
Використаємо формули зведення
та перетворення різниці косинусів двох аргументів у добуток, маємо
Останнє рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:
1)
2)
На відрізку маємо корені
. Отже, знаходимо корені рівняння:
.
Відповідь. ;
Приклад 3. Розв’язати рівняння 8
Розв’язання. Розділимо ліву та праву частину рівняння на 2. Маємо 4. Оцінимо ліву та праву частину рівняння.
Відповідь..
Приклад 4. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Шляхом введення заміни запишемо рівняння так:
Після введення підстановки
знову приходимо до рівняння 4
Серед коренів
,
, які одержали в попередньому рівнянні, лише
Отже,
Відповідь.
Якщо рівняння має вигляд , то шляхом введення підстановки
t, зводимо до рівняння, рівносильного даному
:
=
, розв’язком якого є ті значення
для яких
:
.