Метод підстановки у розв'язуванні тригонометричних рівнянь

3.2.1 Метод підстановки.

Вирішення довільних тригонометричних нерівностей зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою основних методів.Одним з таких методів є метод підстановки.

Нерівності вигляду

sin(x)< a, sin(x)>a,

cos(x)< a, cos(x)>a,

tg (x)< a, tg(x)>a,

ctg(x)< a, ctg(x)>a,

(х)- довільна алгебраїчна функція,

за допомогою заміни t = (x) зводиться до найпростіших тригонометричних нерівностей.

Потім вирішується найпростіша нерівність,а згодом звичайна алгебраїчна нерівність.

Розглянемо приклад.

Приклад 1.Розв’язати нерівність

2 cos( + π) + 1 ≥ 0

Розв’язання.Наша функція (х)= + π визначена не на всій числові прямій,а лише при х ≥ 0.Тому областю допустимих значень є множина D = [0; +∞ ).На цій множині зробимо заміну t = + π.То ді наша нерівність 2 cos( + π) + 1 ≥ 0

Набуде вигляду

2 cos + 1 ≥ 0;

cos≥ - .

Використавши розв'язок найпростішого тригонометричного рівняння cos≥ b , знаходимо t

-arccos(-+2πn ≤ t ≤ arccos(-+2πn,n- ціле число.

Відповідно

+2πn ≤ t ≤ +2πn,n- ціле число. 

Зробимо зворотню заміну

+2πn ≤ + π ≤ +2πn,n- ціле число,

+2πn ≤   ≤ +2πn,n- ціле число.

Тепер нам потрібно знайти всі розв’язки,які задовольняють умову х ≥ 0.

+2πn ≥ 0,

2πn ≥,

n  ≥.

Таким чином,нерівність задовольняють всі n  ≥ n- ціле число.

Тоді розв’язки рівняння можна записати у такому вигляді

+2πn ≤   ≤ +2πn,n- ціле число.

≤  x  ≤, n  ≥

Відповідь:[ n  ≥ n- ціле число.

За допомогою метода підстановки також можна розв’язати нерівності вигляду

(sin x) < a, (sin x)>a, 

(cos x)< a, (cos x)>a,

(tg x)< a, (tg x)>a,

(ctg x)< a, (ctg x)>a,

У яких тринонометрична функція стоїть під знаком іншої функції.

Шляхом заміни t = (x),(x)- тригонометрична функція ,нерівність зводиться до алгебраїчної нерівності вигляду (t) < a, (t)>a.

Якщо розв’язком  алгебраїчних нерівностей буде множина T = [t₁; t₂],то для розв'язання початкової нерівності потрібно буде розв'язати систему t₁≤ (x)≤ t_2.

Якщо алгераїчні нерівності розв’язку не мають,то і наше початкове рівняння розв’язку немає.