Теоретико-історичні відомості для розв'язування тригонометричних рівнянь

Розділ 1:Теоретичні основи для розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей.

1. Історичні відомості.

1.1.1Загальні відомості

Зародки тригонометрії можна знайти в математичних рукописах стародавнього Єгипту, Вавилона і стародавнього Китаю. Задача  номер 56 з папірусу Рінда (II тисячоліття до н. е.) пропонує знайти нахил піраміди, висота якої дорівнює 250 ліктів, а довжина сторони основи — 360 ліктів.

Від вавилонської математики бере початок звичайне для нас вимірювання кутів градусами, мінутами і секундами. Введення цих одиниць у давньогрецьку математику зазвичай приписують Гіпсиклу, II століття до н. е.

Головним досягненням цього періоду стала теорема Піфагора; Ван дер Варден вважає, що вавилонці відкрили його між 2000 і 1786 роками до н. е.

Незрозуміло, чи знали загальне формулювання теореми стародавні єгиптяни, однак прямокутний «єгипетський трикутник» зі сторонами 3, 4, і 5 був там добре відомий і широко використовувався.

Загальне і логічно зв'язне викладення тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецькій геометрії. Грецькі математики ще не виділяли тригонометрію як окрему науку, для них вона буда частиною астрономії.

1.1.2 Походження основних тригонометричних функцій.

Синус.Вперша ця функція виникла у астрономів.Вона була потрібна для обчислення хорд дуг кола як спосіб полегшення обчислень.Були складені таблиці хорд,але до нас вони не дійшли.

Назву функції запровадив індійський математик Аріабхата.

Косинус.Вперше це поняття було запроваджене Аріабхатою.Математики Західної Європи користувались різними назвами косинуса,але остаточну назву йому дав Дж.Ньютон,яка й зараз використовується в математиці.

Тангенс та котангенс.Поняття синуса та тангенса виникли в результаті необхідності вимірювання висоти недоступного предмета та віддалі від нього.

Поняття синуса і косинуса буди взаємозалежні,тому астрономи довгий час користувадись тільки синусом,а в гномоніці тангенс і котангенс не залежали один від одного.Завдяки цьому обидва поняття розвивалис.

Найповнішу таблицю значень тангенса і котангенса склав Ретік.

2. Теоретичні відомості.

Тригонометричне рівняння — рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції.

Розв’язати рівняння – значить знайти всі значення невідомої величини,які його задовольняють,або показати,що рівняння розв’язків немає.

Якщо рівняння має розв’язки,то їх безліч. Множину розв’язків тригонометричного рівняння називають серією розв’язків.

Тригонометричні рівняння можуть немати розв’язків.

Наприклад:sin x = a,коли a >1.Рівняння немає розв'язків, бо sin x може приймати значення від -1 до 1.

При розв’язанні тригонометричних рівнянь,як і при розв’язанні алгебраїчних рівнянь слід визначити область допустимих значень невідомого.

Функції sin x  та cos  x визначені при всіх дійсних значеннях x .

Функції tg x  та ctg x визначені при x ≠ (2n+1),n = 0,±1,±2,… та x = k = 0,±1,±2,… відповідно.

При перетвореннях рівнянь область допустимих значень невідомого може змінюватись.При її звуженні ми можемо втратити корені,а при її розширенні можемо отримати сторонні корені.

Щоб при звужені допустимих значень невідомого не втратити коренів,потрібно перевірити чи серед тих значень на які звузилась ОДЗ  немає коренів.

Щоб при розширені області допустимих значень не отримати сторонніх коренів потрібно зробити перевірку одержаних значень за умовою рівняння.