Методичні коментарі, щодо вивчення теми: «Числові нерівності» в дев’ятому класі основної школи.

Методичні коментарі, щодо вивчення теми: «Числові нерівності» в дев’ятому класі основної школи.

Тема «Нерівності» містить традиційні питання, що стосуються властивостей числових нерівностей та розв’язування лінійних нерівностей і їх систем.

У програмі тема «Числові проміжки. Об’єднання та переріз числових проміжків» знаходяться між пов’язаними темами «Розв’язок нерівності» і «Розв’язування нерівностей». У такий спосіб відбувається поступове ознайомлення учнів з різними способами подання розв’язків нерівностей. Спочатку учні подають розв’язок нерівності через найпростішу нерівність і зображають його на координатній прямій, а згодом – записують відповідь у вигляді числових проміжків. Учням бажано показати різні способи геометричної інтерпретації числових проміжків, їх об’єднань та перерізів (за допомогою штриховки і дуг). Це допоможе старшокласникам краще орієнтуватися в математичних текстах під час роботи з додатковою літературою.

За бажанням вчителя, або відповідно до підручника, тему «Числові проміжки»  можна розглядати кількома уроками раніше чи пізніше. Кожен із варіантів має свої переваги.

Основна мета вивчення теми: «Числові нерівності та їх властивості» (8год)

•       Освітня

1.         Домогтися засвоєння учнями змісту поняття: числова нерівність, доведення нерівності; змісту властивостей числових нерівностей і теорем про почленне додавання та множення числових нерівностей, а також способів їх обґрунтування.
2.         Сформувати в учнів уявлення про способи застосування вивчених теорем при розв’язуванні вправ на доведення нерівностей, а також при оцінюванні значень числових виразів.
3.         Виробити вміння: а) відтворювати вивчені означення та властивості; б) доводити числові нерівності; в) оцінювати значення виразів із використанням властивостей нерівностей.
4.         Повторити: а) способи перетворень цілих і дробових виразів (у тому числі формули скороченого множення та алгоритми дій з многочленами, вивчені у 7 і 8 класах); б) властивості степеня з парним показником.

•       Розвиваюча
  1.                    Домогтися опанування учнями системи математичних знань, навичок і умінь, потрібних у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, достатніх для успішного оволодіння іншими освітніми галузями знань і забезпечення безперервної освіти.
  2.                    Розвинути розумові операції (прийом створення образу, моделі, перенесення знань, узагальнення, аналіз).
  3.                    Формувати в учнів науковий світогляд, уявлення про методи математики, її роль у пізнавальній діяльності.
  4.                    Інтелектуальний розвиток учнів (логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури, пам’яті, уваги, інтуїції).

•       Виховна

Виховувати у дітей поважне ставлення один до одного, до предмету, вчити нормам поведінки, охайності в записах, точності, стриманості у спілкуванні.

Урок 1

На першому уроці вивчення матеріалу починається з формулювання за­гального означення понять «більше», «менше» або «дорівнює», яке є узагальненням правил порівняння різних видів дійсних чисел, які було вивчено протягом попередніх років навчання в школі. При ви­вченні цього питання слід наголосити на тому, що сформульоване означення є універсальним, тобто може бути використане не тільки для порівняння будь-якого виду чисел, але й для порівняння вира­зів (перед формулюванням означення на етапі актуалізації опорних знань та вмінь доцільно виконати з учнями усні вправи на порівняння чисел, числових виразів).

Після формулювання означення вчитель має провести роботу зі систематизації знань учнів про види нерівностей: вони поді­ляються за знаком та за змістом. При цьому можна провести паралелі з видами числових рівностей (до речі, такі паралелі бажано проводити і під час вивчення влас­тивостей числових нерівностей), тобто учні мають усвідомити, що нерівності, так само, як і рівності,— це записи певного виду, але за змістом вони поділяються на правильні та неправильні.

З розгляду видів нерівностей цілком логічно випливає питання про доведення того факту, що дана нерівність є правильною (або визначення правильності чи неправильності даної нерівності). Та­ким чином формулюється уявлення учнів про зміст поняття «до­вести нерівність», а також про послідовність дій для доведення нерівності (алгоритм доведення нерівності), яка далі ілюструється відповідним прикладом на доведення числової нерівності.

Так, наприклад, можна запропонувати учням записати та вивчити такий алгоритм:

Алгоритм доведення числових нерівностей

Щоб довести, що нерівність f(x)<g(x) (f(x)>g(x)) правиль­на при будь-яких значеннях змінних, треба:

1. знайти різницю лівої та правої частин нерівності: f(x)-g(x);
2. перетворити (спростити, виділити повний квадрат тощо) різницю так, щоб можна було визначити її знак (< 0, > 0; = 0);

скориставшись означенням, зробити висновок.

Для кращого засвоєння учнями змісту матеріалу уроку ре­комендується при виконанні відповідних вправ неодноразово по­вторювати означення (включаючи також і умову рівності чисел). Важливо відпрацювати вміння виконувати порівняння чисел че­рез геометричні уявлення в прямому і зворотному порядку (одне число більше за друге, якщо воно лежить на координатній прямій правіше, і навпаки, якщо число лежить правіше на координатній прямій, то воно більше). При відпрацюванні вмінь застосовувати алгоритм доведення числових нерівностей слід вимагати від учнів чітких і послідовних записів у зошитах та докладних коментарів при усних поясненнях. Оскільки даний урок є першим у цій темі, то на ньому розв'язуються вправи на доведення нерівностей, які передбачають отримання певного числового значення різниці лівої та правої частин нерівності (більш складні випадки, що передба­чають виділення повного квадрата, або інші способи визначення знака різниці лівої та правої частин нерівності, будуть розглянуті на наступному уроці).

Урок 2

Тема уроку. Числові нерівності. Доведення числових нерівностей.

На цьому уроці необхідно домогтися засвоєння учнями змісту: додаткових нерівностей для суми взаємно обернених додатних чисел та середнього арифметичного двох невід’ємних чисел (у порівнянні з їх середнім геометричним) та доведення цих нерівностей; способу застосування доведених нерівностей при доведенні інших числових нерівностей.

Доведення нерівностей шляхом застосування нерівностей для середнього арифметичного двох невід'ємних чисел і через порівняння з нулем виразу, що дорівнює різниці лівої та правої частин нерівності, з попереднім виділенням квадрата двочлена з утвореного виразу є одним із питань, які передбачені програмою з математики і мають досить широке практичне застосування. Саме тому вже на даному, другому, уроці, присвяченому вивченню способів доведення нерівностей, розглядаються питання:

• про доведення нерівностей у випадку, коли різниця лівої та правої частин нерівності є виразом, що містить букви;
• про застосування для доведення нерівностей співвідношень між середнім арифметичним та середнім геометричним двох невід'ємних чисел і сумою двох взаємно обернених додатних чисел.

Для успішного сприйняття матеріалу уроку на етапі актуалізації опорних знань та вмінь учнів рекомендується виконати усні вправи на порівняння з нулем буквеного виразу та на повторення формул скороченого множення, зокрема квадрата двочлена. Після розв'язання цих вправ цілком логічним є доведен­ня нерівності для суми двох додатних взаємно обернених чисел і для середнього арифметичного та середнього геометричного двох невід'ємних чисел (під час доведення акцентуємо увагу учнів на те, що при порівняння з нулем різниці лівої та правої частин нерівності виділяємо квадрат двочлена). Також важливо звернути увагу учнів на те, що крім ілюстрації загального способу доведення нерівностей (шляхом виділення квадрата двочлена у виразі, що по­даний як різниця лівої та правої частин даної нерівності) доведені нерівності можуть бути використані як засіб доведення інших нерівностей. Для цього розглядається приклад, що ілюструє спосіб міркувань при розв'язуванні подібних прикладів.

Урок 3

На етапі мотивації навчальної діяльності учнів уроку доречним буде слово вчителя про те, що:

• вивчення будь-якого математичного поняття включає в себе вивчення означення, властивостей та ознак цього поняття (якщо такі існують), а також питання про зв'язок поняття, що вивчається, із вивченим раніше матеріалом;
• незважаючи на досить велику зовнішню відмінність, що існує між рівностями і нерівностями, вони мають дуже багато спільних властивостей (у цьому місті доречно буде продемонструвати кілька найпростіших прикладів з числовими рівностями та відповідними числовими нерівностями), але при цьому мають суттєві відмінні властивості (також можна навести кілька прикладів з числовими рівностями та нерівностями).

Тому цілком логічно буде сформулювати завдання на урок як вивчення властивостей числових нерівностей (через їх порівняння з відповідними властивостями числових рівностей); доведення цих властивостей із використанням вивченого на попередніх уроках означення, а також опанування учнями прийомів застосування доведених властивостей для розв'язування задач на доведення нерівностей.

Як варіант роботи на цьому етапі уроку (за умови відповідного рівня інтелектуальної активності учнів) моделюємо проблемну ситуацію (порівняти числа), розв'язання якої неможливе без вивчення властивостей числових нерівностей. У цьому разі завданням уроку є розв'язання протиріччя між обсягом знань учнів, які в них є, та тими знаннями, які є необхідними для розв'язання поставленого завдання.

Одним із найважливіших базових умінь учнів, передбачених програмою з математики, є вміння здійснювати аргументовані міркування щодо оцінки значень виразів. Роботу з вироблення таких умінь було розпочато на попередніх двох уроках, проте на цих уроках для аргументації дій учнів були використані лише означення порівняння чисел та в окремих випадках опорні нерівності. На даному уроці учні мають взяти на озброєння більш різноманітний перелік способів, представлених основними властивостями числових нерівностей. При формуванні знань учнів про ці властивості (слід звернути увагу на такі моменти, які сприятимуть більш свідомому засвоєнню учнями навчального матеріалу:

• доведення властивостей числових нерівностей ґрунтується на означенні порівняння чисел (тобто ведеться через порівняння з нулем різниці лівої та правої частин деякої нерівності);
• зміст властивостей бажано викласти як математичною мовою (у вигляді серії логічно пов'язаних між собою нерівностей), так і в словесній формі;
• властивість 5 (Теорема 5) виконується в даному вигляді тільки у випадку, коли числа додатні;
• закріплення змісту кожної з доведених властивостей слід провести на певному конкретному прикладі.

Виходячи з вище сказаного, формування знань учнів бажано провести із якомога широким залученням учнів до роботи з доведення властивостей числових нерівностей.

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1.   порівняти значення виразів, які містять змінні а і b, якщо відомо, наприклад, що, а< b;
2.   використовуючи властивості числових нерівностей, записати правильні числові нерівності, що випливають з даної числової нерівності;
3.   довести числову нерівність, спираючись на властивості числових нерівностей.

Набір вправ, що дається для закріплення знань властивостей числових нерівностей і вироблення вмінь їх застосовувати для по­рівняння виразів, є традиційним. Традиційними залишаються вимоги, яких мають дотримуватись учні під час розв'язування цих вправ. Такими обов'язковими вимогами є:

• чітке та повне відтворення відповідних властивостей числових. нерівностей під час коментування учнями своїх дій при розв'язуванні запропонованих вправ;
• обов'язкове покрокове письмове обґрунтування дій при застосуванні властивостей числових нерівностей.

Урок 4.

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення основного питання уроку (використання властивостей числових нерівностей для оцінки значення виразу) можна виконати відповідне завдання практичного змісту, яке вимагало б від учнів дій, пов'язаних з оці­нюванням значення виразу з використанням даної подвійної не­рівності та властивостей числових нерівностей. Аналізуючи зміст та можливі шляхи розв'язання цього завдання, учні мають при­йти до висновку про існування певного виду практичних завдань, виконання яких вимагає від них умінь застосовувати властивості числових нерівностей. Таким чином формулюється мета уроку: сформувати уявлення про вид завдань (на оцінювання значення виразу) та загальну схему дій при їх розв'язуванні.

При формуванні уявлення учнів про зміст поняття «оцінити значення виразу» вчитель має нагадати їм про те, що на відміну від абстрактних ситуацій, що розглядаються в математичних зада­чах, у реальному житті ми в основному маємо справи не з точними значеннями величин (які ми можемо отримати при виконанні об­числень), а з наближеними значеннями величин (які ми можемо отримати в результаті вимірювань). Саме тому при розв'язуванні практичних задач краще ставити питання не про обчислення зна­чення виразів, а про оцінювання значення виразів, тобто про ви­значення границь (чисел), за які не виходитиме наближене значен­ня певної величини. Таким чином формулюється уявлення учнів про зміст поняття «оцінити значення виразу» і його відмінність від змісту завдання «знайти значення виразу».

Для кращого засвоєння учнями послідовності дій при розв'язу­ванні відповідного завдання на оцінювання значення виразу перед вивченням матеріалу уроку на етапі актуалізації опорних знань та вмінь учнів бажано розв'язати усні вправи на повторення змісту властивостей, числових нерівностей та способів міркувань при їх застосуванні для порівняння виразів і доведення нерівностей.

Урок 5

Для свідомої участі учнів у формулюванні мети уроку можна запропонувати їм практичні завдання геометричного змісту (наприклад, на оцінювання периметра та площі прямокутника, довжини суміжних сторін якого оцінено у вигляді подвійних нерівностей). Під час бесіди вчитель має спрямувати думку учнів на той факт, що хоча завдання є схожими на ті, що були розв'язані на попередньому уроці (оцінити значення виразів), проте навідміну від названих не можуть бути розв'язані тими самими засобами, бо необхідно оцінити значення виразів, що містять дві (а в перспективі й більше) букви. Таким чином учні усвідомлюють існування протиріччя між знаннями, які вони отримали до цього моменту, та необхідністю розв'язання певної задачі.

Результатом виконаної роботи є формулювання мети уроку: вивчити питання про такі властивості нерівностей, які можуть бути застосовані у випадках, подібних до описаних у запропонованому учням завданні; для чого слід чітко сформулювати математичною мовою та у словесному вигляді, а потім довести відповідні властивості числових нерівностей та навчитися використовувати їх у комплексі з вивченими раніше властивостями числових нерівностей для розв'язування типових задач.

Подавати новий матеріал доцільно за таким планом:

1. Властивість про почленне додавання числових нерівностей (з доведенням).
2. Властивість про почленне множення числових нерівностей (з доведенням).
3. Наслідок. Властивість про почленне множення числових нерівностей (з доведенням).
4. Приклади застосування доведених властивостей.

Для свідомого сприйняття нового матеріалу вчитель може на етапі актуалізації опорних знань та вмінь учнів запропонувати розв'язування усних вправ із відтворенням відповідно означення порівняння чисел та вивчених на попередніх уроках властивостей числових нерівностей, а також розгляд питання про відповідні властивості числових нерівностей.

Зазвичай учні добре засвоюють зміст теорем про почленне додавання та множення числових нерівностей, проте спостереження свідчать про схильність учнів до певних хибних узагальнень. Тому з метою попередження помилок при формуванні знань учнів з цього питання шляхом демонстрацій прикладів та контрприкладів учителеві слід зробити наголос на таких моментах:

• свідоме застосування властивостей числових нерівностей не можливе без уміння записувати ці властивості як математичною мовою, так і в словесному вигляді;
• теореми про почленне додавання та множення числових нерівностей виконуються тільки для нерівностей однакових знаків;
• властивість про почленне додавання числових нерівностей виконується за певної умови для будь-яких чисел, а теорема про почленне множення тільки для додатних чисел;
• теореми про почленне віднімання та почленне ділення числових нерівностей не вивчаються, тому у випадках, коли необхідно оцінити різницю або частку виразів, ці вирази подаються у вигляді суми або добутку відповідно, і далі вже за певних умов використовують властивості про почленне додавання та множення числових нерівностей.

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1. додати та перемножити почленно дані числові нерівності;

2. оцінити значення суми, різниці, добутку та частки двох виразів за даними оцінками кожного з цих чисел;
3. оцінити значення виразів, що містять дані букви, за даними оцінками кожної з цих букв;
4. довести нерівність із використанням теорем про почленне додавання та множення числових нерівностей і з використанням класичних нерівностей;
5. на повторення властивостей числових нерівностей, вивчених на попередніх уроках.

Письмові вправи, що пропонуються для розв'язання на цьому етапі уроку, мають сприяти виробленню сталих навичок почленного додавання і множення нерівностей у простих випадках. (При цьому відпрацьовується дуже важливий момент: перевірка відповідності запису нерівностей до умови теореми та правильний запис суми і добутку лівої та правої частин нерівностей. Підготовча робота проводиться під час виконання усних вправ.) Для кращого засвоєння матеріалу слід вимагати від учнів відтворення вивчених теорем при коментуванні дій.

Після успішного опрацювання учнями теорем у простих випадках вони можуть поступово переходити до більш складних випадків (на оцінювання різниці та частки двох виразів і більш складних виразів). На цьому етапі роботи вчителеві слід уважно слідкувати за тим, щоб учні не припустилися типових помилок, намагаючись різницю та частку оцінювати за власними хибними правилами.

Також на уроці (звісно, якщо дозволяє час та рівень засвоєння учнями змісту матеріалу) слід приділити увагу вправам на застосування вивчених теорем для доведення більш складних нерівностей.

Урок 6

Якщо під час перевірки домашнього завдання вчитель бачить, що учні роблять типові помилки, то мета уроку (закріплення знань властивостей числових нерівностей та відпрацювання навичок їх застосування) формулюється з усвідомлення учнями необхідності виправлення помилок та прове­дення роботи з профілактики подібних помилок надалі. Якщо ж більшість учнів виконують завданнями на «відмінно», мотивація до роботи може бути створена вчителем за допомогою завдання підвищеної складності або завдання такого типу, яке не було розглянуто на попередньому уроці (створюємо проблему). У будь-якому разі вчитель має налаштувати учнів на необхідність формування більш стійких знань властивостей числових нерівностей та їхніх наслідків, а також на роботу з вироблення навичок роботи з цими властивостями.

Для розв'язання на цьому етапі уроку пропонуються вправи, що мають сприяти виробленню сталих навичок використання теорем про почленне додавання та множення нерівностей, а також інших властивостей числових нерівностей для оцінювання значень виразів і доведення більш складних нерівностей.

Також пропонуємо учням вправи, що передбачають подальше вдосконалення навичок порівняння виразів та доведення нерівностей із використанням означення порівняння чисел.

Урок 7

Основна дидактична мета уроку та завдання на урок цілком логічно випливають із місця уроку в темі — оскільки урок є підсумковим, то на порядку денному постає питання про повторення, узагальнення та систематизацію знань і вмінь, набутих учнями в ході вивчення розділу «Числові нерівності та їхні властивості» теми 1 «Нерівності». Таке формулювання мети створює відповідну мотивацію діяльності учнів.

Залежно від рівня підготовки учнів їхню роботу вчитель може організувати різними способами: або як самостійну роботу з теоретичним матеріалом (наприклад, за підручником або конспектом теоретичного матеріалу повторити зміст основних понять теми або ж скласти схему, що відображає логічний зв'язок між основними поняттями теми, тощо), або традиційно провести опитування (у формі інтерактивної вправи) за основними питаннями теми.

Наприклад такі усні вправи:

1. Коли число а більше від числа b; менше від числа b? (Дайте означення, наведіть приклади.)

2.                    Як розміщені на координатній прямій точки, що відповідають числам а і b, якщо а ≠ b Наведіть приклади.
3.                    Які нерівності називають строгими? нестрогими? Наведіть приклади.
4.                    Сформулюйте властивості числових нерівностей. Наведіть приклади.
5.                    Сформулюйте властивість про почленне додавання нерівностей. Наведіть приклади.
6.                    Сформулюйте властивість про почленне множення нерівностей. Наведіть приклади.
7.                    Сформулюйте наслідки з властивостей числових нерівностей. Наведіть приклади.

Зазвичай етап уроку, повторення та систематизація вмінь учнів, проводиться у формі групової роботи, мета якої полягає в тому, щоб учні самі сформували та випробували узагальнену схему дій, якої вони мають дотримуватися при розв'язуванні типових завдань, подібні до яких будуть винесені на контроль.

Типовими завданнями є такі:

1. порівняти дані числа за даним значенням різниці цих чисел та навпаки;
2. порівняти вирази, використовуючи дані співвідношення між змінними та властивості числових нерівностей, а також наслідки з цих властивостей;
3. оцінити значення виразів, використовуючи дані співвідношення між змінними та властивості числових нерівностей, а також наслідки з цих властивостей;
4. довести нерівності, використовуючи означення порівняння чисел та/або доведені допоміжні нерівності (для суми взаємно-обернених додатних чисел та для середнього арифметичного і середнього геометричного двох невід'ємних чисел).

Після формування списку основних видів завдань учитель об'єднує учнів у робочі групи (за кількістю видів завдань), і завдання кожної з груп формулюється так: «Скласти алгоритм розв'язування завдання...» (кожна з груп отримує своє особисте завдання). На складання алгоритму кожній із груп відводиться певний час, за який учасники групи мають: скласти алгоритм, записати його у вигляді послідовних кроків, підготувати презентацію своєї роботи. По закінченні відбувається презентація виконаної роботи кожною з груп. Після презентації — обов'язкове випробування алгоритмів, причому бажано, щоб групи обмінялись алгоритмами і перевірили їх застосування не на одному, а на кількох завданнях. Після випробування — обов'язкова корекція та підбиття підсумків.

Підсумком уроку узагальнення та систематизації знань і вмінь учнів є, по-перше, складені самими учнями узагальнені схеми дій при розв'язуванні типових завдань, по-друге, здійснення учнями необхідної частини свідомої розумової діяльності — рефлексії — відображення кожним учнем свого сприйняття своїх успіхів та, найголовніше, проблем, над якими слід ще попрацювати.

Урок 8

Метою на цьому уроці є перевірити рівень знань та вмінь учнів, набутих ними під час вивчення розділу «Числові нерівності та їх властивості» теми 1.

Перед початком самостійної роботи учнів учитель ще раз може наголосити, що метою тематичної контрольної роботи є демонстрація учнями своїх навчальних досягнень, а саме: знання змісту основних понять та алгоритмів, вивчених у розділі «Числові нерівності та їхні властивості» теми 1, а також уміння застосовувати набуті знання при розв'язуванні вправ.