Методичні матеріали для практичного заняття "Ряди"

Про матеріал

Дані методичні матеріали теми "Ряди" дають можливість знати означення числового ряду, часткової суми ряду, збіжного ряду, необхідну та достатні ознаки збіжності числових рядів, мати поняття про знакозмінні та абсолютно та умовно збіжні числові ряди, знати ознаку Лейбніца та вміти досліджувати на збіжність числові ряди, використовуючи необхідну та достатні умови збіжності. Знати означення функціонального ряду, області збіжності функціонального ряду, степеневого ряду, знати означення ряду Тейлора та Маклорена, вміти розкладати елементарні функції в ряд Тейлора і Маклорена, знати означення тригонометричного ряду, ряду Фур’є, вміти розкладати простіші функції в ряд Фур’є. Матеріали корисні учням старших класів, студентам та викладачам вищих навчальних закладів.

Перегляд файлу

РЯДИ

Практичне заняття

Розв’язування задач на ряди

Мета. Знати означення числового ряду, часткової суми ряду, збіжного ряду, необхідну та достатні ознаки збіжності числових рядів, мати поняття про знакозмінні та абсолютно та умовно збіжні числові ряди, знати ознаку Лейбніца та вміти досліджувати на збіжність числові ряди, використовуючи необхідну та достатні умови збіжності. Знати означення функціонального ряду, області збіжності функціонального ряду, степеневого ряду, знати означення ряду Тейлора та Маклорена, вміти розкладати елементарні функції в ряд Тейлора і Маклорена, знати означення тригонометричного ряду, ряду Фур’є, вміти розкладати простіші функції в ряд Фур’є.

Теоретичні відомості

Найпростіші властивості рядів

(Необхідна умова збіжності ряду). Якщо ряд збіжний, то .
(Достатня умова розбіжності ряду). Якщо , то ряд розбіжний.
На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання до нього скінченої кількості членів.
Ряд збіжний тоді, коли збіжний довільний його залишок , де .
Якщо ряди і збіжні, причому , а , то

Ряд збігається і;
Ряд збігається і ;
Якщо для всіх тоді .

Завдання 1

Знайти загальний член ряду:

а)

б)

в)

Записати перших п’ять членів ряду та перевірити необхідну умову збіжності ряду:

а)

б)

в)

Теоретичні відомості

Достатні умови збіжності знакододатніх рядів

Інтегральна ознака Коші). Якщо , де – значення при деякої функції , неперервної, додатної і не зростаючої при , то ряд збігається, якщо існує скінчена границя і розбігається, якщо границя прямує до нескінченності.
(Ознака порівняння). Нехай дано два ряди з невід’ємними членами і і для всіх виконується нерівність , тоді, якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд , якщо ряд розбіжний, то розбіжний і ряд .
(Гранична ознака порівняння). Якщо всі члени рядів і додатні і існує границя , де , то ці ряди одночасно збігаються або розбігаються.

(Ознака Даламбера.) Якщо для знакододатного ряду існує границя відношення наступного члена до попереднього при необмеженому зростанні номера члена, тобто

то при ряд збігається, а при – розбігається. (При ряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

(Ознака Коші).Якщо всі члени ряду невід’ємні і існує границя , то при ряд збіжний, а при – розбіжний. (При ознака Коші не дає зробити висновок про поведінку ряду).

Для знакочергових рядів має місце достатня

ознака збіжності Лейбніца

Якщо в знакочерговому ряду абсолютні величини членів спадають: і загальний член прямує до нуля: , то ряд збігається, причому його сума додатна і не перевищує першого члена ряду.