Презентація "Визначений інтеграл та його застосування"

Презентацію підготувала студентка 2-го курсу Боброва Анжеліка. Визначений інтеграл та його застосування

Мета: Навчальна: формування в учнів вміння застосовувати інтеграл до знаходження площ плоских фігур. Розвиваюча: розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу, математичну грамотність. Виховна: виховувати акуратність, наполегливість, інтерес до вивчення математики.

Невизначений інтеграл та його властивості. Сукупність усіх первісних функції f(х) називають невизначеним інтегралом і позначають символом ∫f(x)ⅆx . (читають: «інтеграл еф від ікс де ікс»).f(х) - підінтегральна функція х - змінна інтегрування. Таким чином:∫𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑭𝒙+𝑪, де, Fх− одна з первісних, C  — довільна стала. 

Основні властивості невизначеного інтеграла1. (∫f(x)dx)'=f(x)2. ∫F'(x)dx=F(x)+C3. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, якщо k≠0.4. ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx∫𝑓𝑥ⅆ𝑥  

Визначений інтеграл, його фізичний та геометричний зміст Визначений інтеграл функції f на відрізку [a; b] позначають 𝒂𝒃𝒇𝒙ⅆ𝒙 (читають: «інтеграл від a до b еф від ікс де ікс»). Отже, 𝒂𝒃𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑭𝒃−𝑭𝒂 (1), де F — довільна первісна функції f на відрізку [a; b] Нехай F — первісна функції f на проміжку I, числа a і b, де a < b, належать проміжку I. Різницю F(b) – F(a) називають визначеним інтегралом функції f на відрізку [a; b].

Геометричний зміст інтеграла полягає в тому, що Фізичний зміст інтеграла полягає в тому, що

Формула Ньютона-Лейбніца 𝒂𝒃𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑭𝒃−𝑭𝒂 Для обчислення визначеного інтеграла 𝑎𝑏𝑓𝑥ⅆ𝑥 за формулою Ньютона—Лейбніца потрібно: 1) знайти будь-яку первісну F функції f на відрізку [a; b]; 2) обчислити значення первісної F у точках x = b і x = a. 3) знайти різницю 𝐹𝑏−𝐹𝑎. Під час обчислення визначених інтегралів різницю F(b) – F(a) позначають 𝐹𝑥𝑎𝑏. 

Формула Ньютона—Лейбніца дає змогу встановити зв’язок між визначеним інтегралом і площею S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y = f (x) та прямими y = 0, x = a і x = b (a < b). Використовуючи теорему 1, можна записати:𝑆=𝑎𝑏𝑓𝑥ⅆ𝑥 Ця рівність виражає геометричний зміст визначеного інтеграла. Зауважимо, що в наведеній формулі розглядаються неперервні функції f, які на відрізку [a; b] набувають тільки невід’ємних значень.

Розглянемо теорему, яка дає змогу обчислювати площі криволінійних трапецій. Теорема 1. Площу S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y = f(x) і прямими y = 0, x = a і x = b (a < b), можна обчислити за формулою S = F(b) – F(a), де F — будь-яка первісна функції f на відрізку [a; b]. Доведення. Розглянемо функцію y = S(x), де x ∈ [a; b], яку визначено таким правилом. Якщо x = a, то S(a) = 0; якщо x ∈ (a; b], то S(x) — це площа криволінійної трапеції, показаної штриховкою на рисунку 2. Якшо доведемо, що S’R(x) = f (x) для всіх x ∈ [a; b], то маємо: 𝜟𝑺 = S(𝒙𝑶 + 𝜟𝒙) – S(𝒙𝑶). Отримуємо, що 𝛥𝑆 — це площа криволінійної трапеції, заштрихованої на рисунку 3. 

Обчислення площ плоских фігур Якщо функції f і g є неперервними на відрізку [a; b] і для всіх x ∈ [a; b] виконується нерівність f(x)≥g(x), то площу S фігури, яка обмежена графіками функцій f і g та прямими x = a і x = b, можна обчислити за формулою:𝑺=𝒂𝒃𝒇𝒙−𝒈(𝒙)ⅆ𝒙  

Нехай площина x = x0 перетинає тіло Ф по фігурі з площею S(x0), а проекцією тіла Ф на вісь абсцис є відрізок [a; b] (рис. 8). Якщо y = S(x) — неперервна на відрізку [a; b] функція, то об’єм тіла Ф можна обчислити за формулою𝑽=𝒂𝒃𝑺(𝒙)ⅆ𝒙  Якщо в результаті обертання навколо осі абсцис фігури, обмеженої графіком неперервної та невід’ємної на відрізку [a; b] функції f і прямими x = a, x = b, y = 0, утворюється тіло об’єму V (наприклад: рисунок 9), то𝑽=𝝅𝒂𝒃𝒇𝟐(𝒙)ⅆ𝒙  Обчислення об’ємів тіл обертання

Приклади

Формула Ньютона-Лейбніца

Площа криволінійної трапеції

Розв ’язання. У перетині утвореного тіла площиною утворюється круг (рис. 9), радіус якого дорівнює f(x0). Тоді площа цього круга дорівнює:𝑆𝑥0=𝜋𝑓2𝑥0=𝜋𝑥02+12=𝜋𝑥04+2𝑥02+1.𝑉=01𝑆𝑥ⅆ𝑥=01𝜋𝑥4+2𝑥2+1ⅆ𝑥=  𝜋𝑥55+2𝑥33+𝑥01= 𝜋15+23+1=28 𝜋15 Обчислення об’ємів тіл обертання

Історизми

У праці Лейбніца «Про приховану геометрію та аналіз неподільних» не тільки вперше з’явився символ інтеграла ∫, але й позначення ∫ydx усіх, причому він попереджав, що не слід забувати записувати множник сіх. Символ інтеграла - це нібито витягнута літера в, що є першою в латинському слові summa, що в перекладі означає - сума, а запис ydx нагадує доданки цієї суми.

Для Ньютона в побудові теорії інтегрального числення початковими стали поняття первісної або невизначеного інтеграла. У той же час для Лейбніца первісним поняттям для його теорії став визначений інтеграл. Обидва цих учених, незалежно один від одного, дійшли формули: 𝑎𝑏𝑓𝑥ⅆ𝑥=𝐹𝑏−𝐹𝑎, тому її і називають «формулою Ньютона. Лейбніца». 

Дякую за увагу!