УПРАВЛІННЯ  ОСВІТИ  ЛУЦЬКОЇ  МІСЬКОЇ  РАДИ

КОМУНАЛЬНИЙ ЗАКЛАД  «ЛУЦЬКА  ГІМНАЗІЯ №4

 ІМЕНІ  МОДЕСТА  ЛЕВИЦЬКОГО 

ЛУЦЬКОЇ МІСЬКОЇ  РАДИ ВОЛИНСЬКОЇ ОБЛАСТІ»

 

 

                                                                         Дудик Л. М.

 

 

 

 

Розв’язування задач з параметрами

(методичні рекомендації для курсу за вибором

для 8 класу за програмою Апостолової В.Г.)

 

 

 

ЛУЦЬК – 2015

Рекомендовано до друку колегією науково – методичного центру

Луцької гімназії №4 імені Модеста Левицького

( протокол №5  від  12 лютого 2015 року)

 

Дудик Л. М.

Розв’язування задач з параметрами (методичні  рекомендації) – 63 ст.

 

       Традиційно розв’язування різного виду задач вважалось і предметом навчання математики, і ефективним засобом формування математичних знань і вмінь, інтелектуального розвитку і виховання учнів.  В останні роки в шкільній практиці навчання математики спостерігається значний інтерес до задач з параметрами, оскільки вони представляють високу діагностичну і прогностичну цінність, за допомогою них  можна перевірити знання основних розділів шкільної математики, володіння певним набором методів та ідей, рівень логічного мислення, навички дослідницької діяльності.

       В посібнику поданий теоретичний матеріал  до факультативного курсу  «Розв’язування задач з параметрами» ( автор Апостолова В. Г.),  наведені зразки розв’язання задач, подані вправи для домашнього завдання а також зразки залікових робіт.

     Для вчителів математики, учнів.

 

Рецензенти:

С.Б. Гембарська – кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри диференціальних рівнянь і математичної фізики

 

Н.В. Шеретюк – голова методичного об’єднання вчителів математики Комунального закладу «Луцька гімназія №4 імені Модеста Левицького Луцької міської ради Волинської області»

 

ЗМІСТ

 

 

Вступ………………………………………………………………………………4

Систематизація та узагальнення основних понять про функцію………….9

§2. Основна символіка теорії множин у записі математичних тверджень…..11

§3. Поняття про сімейство розв’язків рівняння відносно пквної змінної.    Алгоритм розв’язування відносно  рівняння   і його застосування..14

§4. Розв’язування лінійних рівнянь, що містять параметр у знаменнику……20

§5. Розв’язування системи двох лінійних рівнянь з параметрами……………22

§6. Раціональні рівняння з параметрами……………………………………….29

§7. Квадратні рівняння з параметрами…………………………………………34

§8. Рівняння, які зводяться до квадратних……………………………………..45

Співвідношення між коренями квадратного рівняння……………………52

Залікова робота №1…………………………………………………………….59

Залікова робота №2……………………………………………………………..60

Список використаної літератури……………………………………………….62

 

 

 

 

 

 

   ВСТУП

        Бурхливий розвиток науки, техніки, інших галузей народного господарства неможливий без подальшого розвитку математики. Математичні методи та ідеї є провідними в багатьох галузях людської діяльності, тому підвищення рівня математичної освіти в Україні – одне з найважливіших завдань у роботі    як вищої, так і середньої школи. Однак математична освіта в загальноосвітній школі спрямована в основному на засвоєння учнями алгоритмів розвязування типових навчальних задач, а цього недостатньо для потреб практики і розвитку здібностей до самостійного математичного мислення.

        Одне з актуальних завдань сучасної школи — пошук нових шляхів зацікавлення учнів навчанням, підвищення їх розумової активності, спонукання до творчості, виховання школяра як життєво і соціально компетентної особистості, здатної здійснювати самостійний вибір і приймати відповідальні рішення в різноманітних життєвих ситуаціях, вироблення вмінь практичного і творчого застосування здобутих знань. Це означає, що вчитель у своїй діяльності має орієнтуватися на використання таких педагогічних технологій, з допомогою яких не просто поповнювалися б знання й уміння з навчального предмета, а й розвивалися такі якості учня, як пізнавальна активність, самостійність, уміння творчо підходити до виконання завдань.

        Суспільство потребує висококваліфікованих фахівців з творчими здібностями. Тому навчальний процес повинен бути організований так, щоб випускники могли не лише  адаптуватися в швидко змінному світі, але й були здатними до перетворення цього світу. Підготовка молоді до творчої праці неможлива без впровадження в навчальний процес сучасної школи навчально-дослідницької праці як важливого засобу формування в учнів стійкого інтересу й готовності до творчої діяльності. Сформовані на ранніх етапах навчання пізнавальний інтерес, творчі здібності, дослідницькі вміння є міцним фундаментом формування майбутніх кваліфікованих фахівців.

        Під час орієнтування навчання на  повномасштабне застосування дослідницьких методів слід враховувати, що схильність учнів до дослідницької діяльності в значній мірі індивідуальна. Вона виявляється у своєрідності розвитку їхніх пізнавальних інтересів, аналітичних здібностей, змісту й обсягу знань, спостережливості, пам'яті, уваги, гнучкості мислення, багатства уявлень, працьовитості, волі, спроможності до зосередженої й відповідальної праці. Застосування дослідницького підходу в навчанні спрямоване на становлення в школярів досвіду самостійного пошуку нових знань і використання їх в умовах творчості.

           Отже, зміст шкільного курсу математики має містити такі питання, які б допомогли реалізувати творчий потенціал  учнів, сприяли активному залученню до дослідницької діяльності з метою формування дослідницьких умінь.  Таким  матеріалом можуть стати, зокрема, задачі з параметрами.

         Розв’язування таких вправ  дозволяє повною мірою перевірити глибину знань основних розділів шкільної математики, з'ясувати рівень логічного мислення, первинні навики дослідницької діяльності учнів. Розв’язування задач з параметрами є одним із засобів реалізації наступності навчання  у ланці "школа – ВНЗ". Проблеми, що виникають у школярів  при розв’язуванні таких завдань викликані як  їх відносною складністю, так і тим, що в школі, як правило, завданням з параметрами приділяється недостатня увага.

        Задачи с параметрами майже не представлені в шкільному курсі математики. Між тим вони зустрічаються  на підсумковій  атестації та на ЗНО. Для розв’язування задач с параметрами не вимагається  володіння знаниями, які виходять за рамки шкільної програми. Однак незвичність формулювання бентежить учнів, які  не мають досвіду розв’язування подібних задач.

        Задачі з параметрами – це по суті тест на перевірку рівня математичної культури, на її присутність чи відсутність.

        Розв’язуванню задач з параметрами, як правило, присвячують заняття факультативів та курсів за вибором.

        Питання організації факультативів з математики завжди залишалося в центрі уваги методичних досліджень. Це пов’язано з важливою роллю, яка припадає саме на факультативи в розвитку творчої особистості учня, завдяки можливістю врахування психологічних особливостей талановитих учнів під час таких занять.

         В той же час, організації факультативів для учнів класів з поглибленим вивченням математики присвячена незначна кількість досліджень. Але досвід функціонування таких класів та фізико-математичних профільних навчальних закладів показує, що такі факультативи стають однією з головних ланок у системі освіти учнів класів з поглибленим вивченням математики. Той факт, що учні опинились у математичному класі, ще не завжди свідчить про зацікавленість учнів математикою, яка має тенденцію різко спадати, особливо при зростанні навчального навантаження на учнів та посилення складності завдань. Тому першою метою роботи факультативів повинна стати підвищення мотивації навчання. Ця мета повинна досягатися, перш за все,  завдяки популяризації математичних знань та застосувань математики з одного боку, з іншого, спрямованістю факультативу на самореалізацію творчої особистості.

         У  посібнику подано методичні рекомендації до факультативного курсу                               «Розв’язування задач з параметрами»  для  8 класу  за програмою   Г.В. Апостолової .

       Метою курсу є поглиблення й розширення знань учнів з певних тем шкільного курсу математики, формування в них умінь й навичок розв’язування  більш складних і різноманітних задач, що сприятиме подальшому успішному складанню відповідного рівня вступних випробувань (зовнішнього незалежного оцінювання) та майбутньому навчанню у технічних вищих навчальних закладах.

         Задачі з параметрами традиційно входять до завдань вступних іспитів з математики до вищих навчальних закладів (зовнішнього незалежного оцінювання) з метою перевірки рівня логічного й абстрактного мислення абітурієнтів, здатності до аналізу й узагальнення, необхідних для подальшого

навчання у технічних вищих навчальних закладах.

        Розв'язування задач з параметрами вимагає певного рівня розвитку відповідних типів мислення. Формування у школярів здатності до роботи з такими завданнями вимагає часу й послідовної методичної роботи вчителя. Останнє майже неможливо здійснити під час вивчення програмного матеріалу або на позакласних заняттях з підготовки до зовнішнього оцінювання в останній рік навчання в школі.

        Завдання курсу — поступова адаптація учнів до розв'язування задач з параметрами, формування в них елементарних навичок роботи з відповідними завданнями, мислення розгалуження, а пізніше й пошукового абстрактного мислення, вміння моделювати та лаконічно і прозоро записувати розв'язання таких задач.

Орієнтовний розподіл навчального часу

№ уроку	Тема уроку
1,2	Систематизація та узагальнення основних понять про функцію. Розв’язування рівнянь виду . Поняття про сімейство розв’язків рівняння відносно певної змінної.
3,4	Основна символіка теорії множин у записі математичних тверджень.
5-7	Алгоритм розв’язування відносно лінійного рівняння і його застосування.
8-11	Розв’язування лінійних рівнянь, що містять параметр у знаменнику.
12-14	Розв’язування системи двох лінійних рівнянь з параметрами.
15	Залікова робота
16-19	Раціональні рівняння. Розв’язування рівнянь з параметрами, що зводяться до лінійних.
20	Алгоритм розв’язування відносно рівняння
21-23	Квадратні рівняння з параметрами.
24-28	Рівняння з параметром, які зводяться до квадратних.
29-33	Співвідношення між коренями квадратного рівняння.
34	Залікова робота.
35	Підсумковий урок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ТА УЗАГАЛЬНЕННЯ ОСНОВНИХ ПОНЯТЬ ПРО ФУНКЦІЮ

 

        Правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної  змінної можна знайти єдине значення залежної змінної, називають функцією, а відповідну залежність однієї змінної від другої – функціональною.

       Зазвичай незалежну змінну позначають буквою , залежну – буквою , функцію (правило) – буквою . Якщо змінна функціонально залежить від змінної , то цей факт позначають так: . 

       Незалежну змінну ще називають аргументом функції.

       Для функції   кожному значенню аргументу відповідає деяке значення залежної змінної  .  Значення залежної змінної називають також значенням функції та позначають .

       Усі значення, яких набуває аргумент, утворюють область визначення функції. Усі значення, яких набуває залежна змінна, утворюють область значень функції.

       Функція вважається заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за допомогою якого можна за кожним значенням незалежної змінної знайти значення залежної змінної.

       Оскільки функція – це правило, то її можна задати за допомогою речень. Такий спосіб задання функції називають заданням функції описом.

       Найпоширенішим способом  задання функції є задання за допомогою формули.

       Ще одним способом задання є табличний. Усі числа, записані в першому рядку таблиці, складають область визначення даної функції;  у другому рядку записують відповідні значення функції.

       Графіком функції  називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – значенням функції .

       Коли якась фігура є графіком функції  , то виконуються дві умови:

1) якщо – деяке значення аргументу, а  – відповідне  значення функції, то точка з координатами (;) обов’язково належить графіку;

2) якщо (; ) – координати довільної точки графіка, то і  – відповідні значення незалежної та залежної змінних функції  , тобто =(.

      Фігура може бути графіком деякої функції, якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фігурою не більше за одну спільну точку.

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1. Дано функцію

Знайдіть ; ; ; ; ; .

2.  Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції:

    1)                           3) 

    2)                            4)               

3. Побудуйте графік функції, якщо відомо, що для всіх цілих значень аргументу значення функції дорівнює 1, а для нецілих дорівнює   –1.

4.  Графік функції   перетинає осі координат у точках  М(2;0) і К(0; –3).  Знайдіть значення            

 5.  Графіки функцій   та    перетинаються в одній точці. Знайдіть значення  Побудуйте в одній системі координат графіки цих функцій.

 6.   Побудуйте графік функції 

 7. При якому значенні точка перетину прямих належить осі абсцис?

 8.  Побудуйте графік рівняння:

1)

2)

 

ОСНОВНА СИМВОЛІКА ТЕОРІЇ МНОЖИН У ЗАПИСІ МАТЕМАТИЧНИХ ТВЕРДЖЕНЬ

 

        Поняття множини є одним з початкових математичних понять. Під множиною розуміють будь-яку сукупність, будь-який набір певних елементів.  Об’єкти, з яких складається множина, називають її елементами. Запис означає, що є елементом множини  .  Якщо не є елементом , то символічно це записують так ∉ . За означенням існує єдина множина, яка не містить жодного елемента. Знак ∅ завжди означає цю  множину. Вона називається порожньою множиною. 

       Найчастіше  множину задають одним із таких двох способів.

       Перший спосіб полягає в тому, що вказують всі її елементи. Записують це так .  Але не кожну множину можна так задати. Наприклад, множину парних чисел так задати не можна.

       Другий спосіб полягає в тому, що задається характеристична властивість елементів множини, тобто властивість, яка притаманна всім її елементам і тільки їм. Якщо  – довільний елемент множини , яку задано за допомогою характеристичної властивості її елементів, то пишуть  .  Після вертикальної риски вказують умову, якій має задовільняти елемент   , щоб належати множині  .

       Наприклад,

– множина натуральних чисел, кратних 3;  

– множина коренів рівняння  .  Ця множина дорівнює множині , яку, в свою чергу можна задати за допомогою іншої характеристичної властивості:

 .

        Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів. В останньому прикладі .

       Множину називають підмножиною множини , якщо кожний елемент множини є елементом множини . Це записують так ⊂B.

        Перетином множин Називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині і множині .

       Перетин множин   позначають так: . З означення випливає, що =. Якщо множини не мають спільних елементів, то їх перерізом є порожня множина, тобто  =∅.

      Об’єднанням множин  називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині або множині .

        Об’єднання множин позначають .  З означення випливає,  що  =.

       Розглянемо нерівність . Їй задовільняють всі числа, які більші за 15. Цю множину називають числовим проміжком і позначають (15; +). Точки координатної прямої, які зображують розв’язки цієї нерівності розміщені праворуч від точки, яка зображає число 15, і утворюють промінь, у якого «виколото» початок. 

        Нерівності  задовольняють всі числа, небільші за 12. Вони утворюють числовий промінь, який позначають .

       Точки, координати яких задовольняють нерівність утворюють відрізок. Тому числовий проміжок називають числовим відрізком.

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1. Запишіть множину розв’язків рівняння:

1) ;                              2)

2. Запишіть переліком елементів множину:

1) ;     2) .

3. Чи рівні множини  :

1) ,  ;

2)  , .

4. Знайдіть перетин множин  , якщо

1)  ,  {x|x∊N, x11};

2) )  , .

5. Знайдіть об’єднання множин :

1) , ;

2) , .

6. Запишіть усі цілі числа, які належать проміжку:

1) ;    3) .

7. Зобразіть на координатній прямій і запишіть перетин проміжків:

1) і ;                         4) і (2,8; +);

2)     і  (3;8);                           5) (9; +) і (11,5; +);

3)   і  (2,5; +);              6)  і

8.  Відомо, що . Який з наведених проміжків є перетином проміжків (m;n) і  (n;k):

1) (m;n);  2) (k;p);  3) (n;k);   4) (m;p)?

 

 

ПОНЯТТЯ ПРО СІМЕЙСТВО РОЗВ’ЯЗКІВ РІВНЯННЯ ВІДНОСНО ПЕВНОЇ ЗМІННОЇ.   АЛГОРИТМ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ВІДНОСНО    РІВНЯННЯ    І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

 

       Нехай задане рівняння

      Якщо ставиться задача відшукати всі такі пари , які задовольняють дане рівняння, то це рівняння з двома змінними . Але відносно даного рівняння можна поставити й іншу задачу. Справа в тому, що якщо надати яке-небудь фіксоване значення, то рівняння  можна розглядати як рівняння з однією змінною  . Розв’язок цього рівняння, звичайно, визначається вибраним значенням 

      Якщо  ставиться задача для кожного значення із деякої числової множини    розв’язати рівняння  відносно  , то це рівняння  називають рівнянням із змінною і  параметром  а множину – областю зміни параметра.

      Рівняння – це, по суті, короткий запис сімейства рівнянь. Так, рівняння , в якого область зміни параметра є множина  , є короткий запис наступного сімейства рівнянь:

      Домовимося надалі під областю зміни параметра розуміти (якщо немає ніяких зауважень) множину всіх дійсних чисел, а задачу розв’язання рівняння з параметром формулювати таким чином: Розв’язати рівняння (із змінною і  параметром  ) – це означає на множині дійсних чисел розв’язати сімейство рівнянь, які можна отримати із  рівняння при всіх дійсних значеннях параметра.

     Зрозуміло, що виписати кожне рівняння із нескінченного сімейства рівнянь неможливо.  Проте кожне рівняння сімейства повинно бути розв’язаним. Зробити це можливо, якщо, наприклад, за деякою доречною ознакою розбити множину всіх значень параметра на підмножини і розв’язати потім задане рівняння на кожній із цих підмножин.

      Для розбиття множини значень параметра на підмножини зручно скористуватися тими значеннями параметра, при яких або при переході через які відбуваються якісні зміни рівняння.  Такі значення параметра будемо називати контрольними.

      Розглянемо рівняння  ax=b, де х – зміна, а і b – числа.  При розв’язуванні лінійного рівняння ax=b зручно здійснювати за такою схемою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Приклад 1.   Розв’язати рівняння

    Розв’язання.

Тут контрольними будуть ті значення параметра, при яких коефіцієнт при змінній перетворюється в 0. Такими значеннями є . При цих значеннях неможливе ділення обох частин рівняння на  коефіцієнт при  . В той же час при значеннях параметра ці ділення можливе.  Отже доцільно множину всіх дійсних значень параметра розбити на підмножини   і розв’язати рівняння на кожній із цих підмножин.  Розглянемо ці випадки.

1) При рівняння набуває вигляду 0.  Це рівняння не має коренів.

2)  При  рівняння набуває вигляду 0. Коренем рівняння є будь-яке дійсне число.

3) При і отримаємо .

Відповідь: якщо , то ;  якщо – будь-яке дійсне число; якщо   то 

Приклад 2.

При якому значенні параметра рівняння   має безліч розв’язків?

Розв’язання.  Звідки    Отже,

Відповідь:

Приклад 3. 

При якому значенні параметра рівняння не має розв’язку?

Розв’язання. Перетворивши дане рівняння, маємо

Останнє рівняння не має розв’язку. Якщо  

Звідки      Отже, 

Відповідь:

Приклад 4.  Дано рівняння з параметром а.

а) Для яких значень а рівняння не має коренів?

б) Чи існують значення а, для яких рівняння має більше, ніж один корінь?

Розв’язання.

а) Виконаємо тотожні перетворення даного рівняння та приведемо його до виду

, 

Якщо і рівняння не має розв’язку,

якщо і тоді рівняння має один корінь.

Відповідь: а) при а=8 рівняння  не має розв’язку,

б) не існує значення а, для яких рівняння має більше, ніж один корінь.

Приклад 5.  Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Перетворимо рівняння:

Якщо , то .

Якщо , то  0, то

а) якщо , будь-яке число;

б) якщо  , , то ,  розв’язку немає.

Відповідь: якщо , то  ;   якщо , будь-яке число;  якщо  , , то розв’язку немає.

Приклад 6.  При яких значеннях t рівняння  має  додатні  розв’язки?

   Розв’язання.

     

Оскільки  Відповідь:   t ∊ ( ; + ).

Приклад 7.   Визначити, при яких значеннях параметра рівняння має корінь, більший ніж  1.

 Розв’язання.  

 Відповідь:  

Приклад 8.  При яких значеннях   рівняння   має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Перетворивши рівняння, маємо:. Дане рівняння має єдиний розв’язок, якщо

Відповідь:

Приклад 9.  Знайти всі цілі корені рівняння , які кратні трьом ( – будь-яке ціле число, що не дорівнює 5).

Розв’язання. Перетворимо рівняння: .

Оскільки , то .   За умовою корені повинні бути кратні 3, тобто

, де , звідки .

Відповідь:     для 

Приклад 10.

Для яких натуральних значень параметра рівняння +1 має парні корені?

Розв’язання. Перетворимо рівняння:

                                                            

– парне число, якщо дріб  – непарне число. Оскільки  – натуральне число, то

Відповідь:

Приклад 11.  Розв’язати рівняння  .

Розв’язання.    Маємо: .  Якщо , .

Якщо , то  і рівняння має безліч розв’язків.

Відповідь: при  , ;  при  , рівняння має безліч розв’язків.

Приклад 12.

Розв’язати рівняння  відносно змінної .

Розв’язання. Маємо: звідки  .

При будь-яких значеннях рівняння має єдиний розв’язок.

Відповідь: при ,   .

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1. Розв’яжіть рівняння:

1) 2=;                                      4)

2)                             5)

3)                           6)

7)

8)

9) (

2. При якому значенні параметра рівняння має безліч розв’язків?

3.  При якому значенні параметра рівняння

     має безліч розв’язків?

4. При якому значенні параметра рівняння   не має розв’язку?

5. При якому значенні параметра рівняння    не має розв’язку?

6. При яких значеннях рівняння   має від’ємні розв’язки?

7. При яких значеннях параметра корені рівняння  кратні 5?

8. При яких значеннях параметра рівняння  має корінь, більший за   ?

Відповіді: 

1. то  ;  5) ,   6) ; 7) якщо , то розв’язків немає, якщо , то , якщо 8) якщо , то , якщо , ;  9) якщо , то , якщо , то розв’язків немає,   якщо , .   2.  .  3. . 

4..  5. .  6. 7. .  8.

 

 

РОЗВ’ЯЗУВАННЯЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ, ЩО МІСТЯТЬ ПАРАМЕТР У ЗНАМЕННИКУ

 

При розв’язуванні рівнянь з параметрами область зміни параметра може бути заданою. Якщо межі зміни параметра не задані, то вважається, що параметр  набуває усіх своїх допустимих значень.

Приклад 1.  Розв’язати рівняння

Розв’язання. Допустимі значення параметрів ,  , 

тоді

1) Якщо    ,    тоді маємо рівняння 0, – будь-яке число.

2) Якщо    ,    тоді маємо рівняння 0,  яке не  має коренів.

3) Якщо     , то

Відповідь: якщо    ,    то  – будь-яке число; якщо    ,  то немає коренів;  якщо     , то

Приклад 2.  Розв’яжіть рівняння  

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді :

Оскільки жодна з величин не дорівнює 0, то .  Тому обидві частини отриманого рівняння помножимо на  :

=0.

Якщо , то розв’язками рівняння будуть усі дійсні числа.

Якщо , то  , звідки випливає, що задане рівняння має єдиний корінь .

Відповідь: якщо , то – будь-яке число;  якщо , то  .

Приклад 3.  Розв’язати рівняння  .

Розв’язання. Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то =0 не належить області допустимих значення параметра .

Перетворимо рівняння:  ,   .

Для  розглянемо два випадки:

1.               Коефіцієнт при х дорівнює нулю, тобто , , .

Тоді маємо рівняння: , що не має коренів.

2.               Коефіцієнт при не дорівнює нулю, тобто  , . Тоді .

Відповідь:  якщо , то рівняння коренів немає;

якщо , то .

 

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

   Розв’язати рівняння:

1)                                 4)   ;             

2) ;                              5)  

3)                6) 

 

Відповіді:  1) якщо , то рівняння коренів немає; якщо , то 2) якщо , то рівняння коренів немає;  якщо , то ;     3) якщо , то рівняння коренів немає;    якщо , то  

4) якщо , то рівняння коренів немає;  якщо  то   5)  якщо , то рівняння коренів немає;  якщо  то ;  6)  якщо , то рівняння коренів немає;       якщо , то .

 

 

РОЗВ’ЗУВАННЯ СИСТЕМИ ДВОХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ

 

       Системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими називається система рівнянь виду  де – довільні дійсні числа.

        Дослідити систему означає за її коефіцієнтами встановити, який із нижче наведених випадків має місце:

1. Система має єдиний розв’язок (визначена).

2.  Система не має розв’язку (несумісна).

3.  Система має безліч розв’язків.

       Система має єдиний розв’язок, якщо графіки рівнянь мають одну спільну точку, координати якої і є розв’язками даної системи.

       Система не має розв’язків, якщо графіки рівнянь є взаємно паралельними прямими.

       Система має безліч розв’язків, якщо графіки рівнянь збігаються (одна й та сама пряма).

       Крім того система має єдиний розв’язок, якщо виконується умова , тобто коефіцієнти при відповідних невідомих не пропорційні між собою.

В цьому випадку 

      Якщо , то розв’язків немає. При    система має безліч розв’язків.

  Приклад 1.    Знайти, при яких значеннях параметра  система рівнянь    має безліч розв’язків, не має розв’язків.

Розв’язання.

Система має безліч розв’язків, якщо   Звідки

; 

Коли , то дістанемо , тобто система має безліч розв’язків.

Коли , то дістанемо , тобто система також має безліч розв’язків. В інших випадках, тобто при система має єдиний розв’язок.

Відповідь: ;  значення , при яких система не має розв’язків не існує.

Приклад 2.    Знайти всі значення параметра , при яких система рівнянь  не має розв’язків.

Розв’язання.  Дана система несумісна, тоді і тільки тоді, коли .

Із рівняння знаходимо .

Із рівняння   знаходимо . Тобто умова  виконується, якщо

Із системи   знаходимо,  .

Відповідь:

Приклад 3. Визначити, при яких значеннях параметра  система   не має розв’язку.

Розв’язання. Система не має розв’язку, якщо    З рівняння   маємо       звідки .  Перевіримо умову .

Підставивши в останній вираз замість його значення , отримаємо:

Відповідь:

Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Домножимо перше рівняння на та додамо до другого рівняння, матимемо: ,  звідки 

1) Якщо , то Отже,  ; – будь-яке число.

2) Якщо , то отримаємо систему яка має  безліч розв’язків виду (), де  – будь-яке число.

3) Якщо , система не має розв’язків.

Відповідь: якщо , то  , де  ; якщо , то ; , де ; якщо , то  немає розв’язків.

Приклад 5. Для яких значень параметра система має додатні розв’язки?

Розв’язання. Домножимо перше рівняння на та додамо до другого рівняння, матимемо . Звідки, якщо , то система розв’язків не має, а для   .

Умова виконується для .

Знайдемо значення +3 =6; 

Умова виконується, якщо  , звідки або .

Отже, , , якщо .

Відповідь: .

Приклад 6.  Знайти всі значення параметра , для кожного з яких числа та задовольняють систему рівнянь і нерівність

Розв’язання. Розв’язавши систему методом додавання, отримаємо

.

За умовою , тому , звідки .

Відповідь: .

Приклад 7. Для яких значень параметра прямі перетинаються?

Розв’язання. Умову задачі можна переформулювати так:  для яких значень параметра система має єдиний розв’язок?

Очевидно,  . Звідки  .

Відповідь: .

Приклад 8.  Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. З першого рівняння системи знайдемо значення .

Підставимо його в друге рівняння системи:

Розглянемо такі випадки.

1) Нехай , тоді рівняння перетворюється в тотожність 0, тобто – будь-яке число.  З другого рівняння системи матимемо , звідки . Отже, система має розв’язки  .

2) Нехай ; тоді  0. Отже, система розв’язків не має.

3) Нехай та ; тоді  .

Відповідь: якщо  і ; то  ;

якщо , то система розв’язків не має;  якщо , то ,, де .

Приклад 9.  Дослідити і розв’язати систему

Розв’язання. Система має єдиний розв’язок, якщо ,

звідки .  Знайдемо невідомі  . Застосуємо метод додавання. Отримаємо ;  .

Дослідимо систему при  .

Нехай   Тоді система набуває вигляду: тобто вона має безліч розв’язків виду ,

Нехай   , тоді маємо:   Дана система розв’язків не має.

Відповідь:  якщо , то  ; 

 якщо , то безліч розв’язків , ; якщо , то розв’язків немає.

 

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

 1.  При якому значенні параметра система   має безліч розв’язків?

2. При якому найбільшому значенні параметра система не має розв’язків?

3.  При яких значеннях   m та  n система рівнянь має безліч розв’язків

4.  При якому значенні параметра система не має розв’язків

5. Розв’язати систему рівнянь з параметром :

6. Дослідити і розв’язати систему рівнянь

7.  Дослідити і розв’язати систему рівнянь

8.  При якому значенні параметра система   має:

а) єдиний розв’язок і знайти його; б)  безліч розв’язків; в) не має розв’язків.

9. Дослідити і розв’язати систему рівнянь

10. При якому значенні параметра система   має:

а) єдиний розв’язок і знайти його; б)  безліч розв’язків; в) не має розв’язків.

 

11. При яких значеннях m система рівнянь  має додатні розв’язки?

Відповіді: 

1. 2.   3.   4.   5.  якщо безліч розв’язків , ; якщо a; 6. якщо безліч розв’язків ; якщо , то немає розв’язків; якщо 7. якщо безліч розв’язків ; якщо , то немає розв’язків;  якщо   8.  при ; при  безліч розв’язків; при  немає розв’язків;  9.  при  безліч розв’язків  ; при  немає розв’язків;  при ;  10.  при  при безліч розв’язків , при    немає розв’язків;  11.  .

 

 

 

 

 

 РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИ

 

Приклад 1.    Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння     

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі   Звідки

Відповідь: якщо  , то ;  якщо  , то рівняння не має розв’язків.

Приклад 2.  Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння     .

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі   Звідки

Відповідь: якщо  , то – будь-яке число, крім 3; якщо і  , то

; якщо  , то рівняння розв’язків не має.

Приклад 3.  Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння     

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі

Відповідь:  якщо  , то =6;   якщо  , то =6 або .

Приклад 4. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння     

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі

При     тобто   рівняння не має розв’язків.

Відповідь: якщо  , то рівняння не має розв’язків; якщо  , то .

Приклад 5. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння     

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі

При тобто   рівняння має розв’язок  .

При тобто рівняння має розв’язок .

При   і Рівняння має розв’язки .

Відповідь: якщо  то ;   якщо  , то ; якщо   і ,  то .

Приклад 6. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння       

Розв’язання. Маємо:    Рівняння рівносильне системі

Якщо , то коренем рівняння є будь-яке число, крім 2.

Якщо , то коренем є число

Відповідь: якщо , то ; якщо , то

Приклад 7.  Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння       

Розв’язання. Маємо: =0;     Рівняння рівносильне системі   

Рівняння не має коренів, якщо   , тобто  .  У всіх інших випадках

Відповідь: якщо  , то коренів немає;   якщо 

, то 

Приклад 8.  Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння       

Розв’язання.  Маємо:   Рівняння рівносильне системі

Рівняння не має розв’язків при, при  , тобто    і при   Звідки  і   При   матимемо рівняння  0, тобто коренем заданого в умові рівняння буде будь-яке число, крім 2. Якщо ж .

Відповідь:  якщо  ,  коренем рівняння є будь-яке число, крім 2;

якщо  ; , то  рівняння не має розв’язків; 

якщо .

Приклад 9.  При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі   Отже єдиний розв’язок буде, якщо

Відповідь:

Приклад 10. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі 

Рівняння має єдиний розв’язок якщо , тоді ;

якщо , тоді    і коли  , тоді 

Відповідь: при

Приклад 11. При яких значеннях параметра рівняння   має єдиний розв’язок?

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі    Рівняння матиме єдиний розв’язок,  якщо , тоді  ;  якщо , тоді ; якщо , тоді ; якщо , тоді ; якщо , тоді .

Відповідь: при ; 

Приклад 12.  Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння

Розв’язання.  Маємо:   Рівняння рівносильне системі   

Якщо   то рівняння системи, а отже, і задане рівняння коренів не має.

Якщо   то

Знайдемо ті значення параметра , при яких значення виразу   дорівнює 0 або 1.     при  ;    при  .  Отже, при  рівняння розв’язків не має.

Відповідь:  якщо   або    або  , то рівняння розв’язків не має;  якщо ;  ; , то 

Приклад 13.  Розв’язати рівняння

Розв’язання.   Область визначення даного рівняння  Для таких обмежень маємо:     

Якщо  , то , що неможливо, тобто рівняння розв’язків не має.

Якщо , то    З’ясуємо, для яких значень параметра  корінь рівняння буде задовольняти область визначення, тобто

Відповідь: якщо    то  ; 

якщо   то розв’язків немає.

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1.  Для кожного   значення параметра розв’яжіть рівняння:

1)                                4)

2)                             5) 

3)                        6)  

2.  При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок:

1)                         2) 

 

Відповіді:   1. 1) якщо , то коренів немає, якщо , то ;

2)  якщо , то коренів немає, якщо , то ;

3) якщо , то ,  якщо , то , якщо то   або     4)  якщо , то , якщо , то ;

5)  якщо , то коренів немає, якщо ,, то ;

6)  якщо , то коренів немає, якщо ,, ,  то  

2.  1)  ;  2)    .        

 

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИ

 

         Рівняння виду – дійсні числа і  , називається квадратним і розв’язується за формулою  .

Якщо , то рівняння є лінійним   

Якщо і  , то рівняння має два дійсні корені.

Якщо і  , то рівняння має єдиний корінь  (іноді кажуть: два однакові корені).

Якщо  і  , то рівняння не має  дійсних коренів.

Для коренів квадратного рівняння   виконується теорема Вієта 

Приклад 1.  

При якому значенні параметра рівняння має єдиний корінь?

Розв’язання.  Розкривши дужки та звівши подібні доданки, отримаємо:

Останнє рівняння має єдиний розв’язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто

Тоді

Відповідь: 

Приклад 2.  Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Оскільки для будь-яких значень    , то рівняння має два розв’язки.

                                               

Відповідь:   

Приклад 3.   Розв’язати рівняння

Розв’язання.  Слід розглянути два випадки.

1) Для   дане рівняння є лінійним:

2) Для   рівняння є квадратним. Його дискримінант

   Оскільки  для довільного то рівняння має два корені:  .

Відповідь: якщо , то   якщо    .

Приклад 4.  Розв’язати рівняння

Розв’язання. Оскільки 

два випадки.

1)  Якщо то

2) Якщо то отримаємо рівняння  ,  яке не має розв’язків.

3) Якщо   то і отримаємо

 

Якщо 0, тобто , то рівняння має два розв’язки:

 .

Якщо , тобто , то рівняння не має розв’язків.

Якщо , тобто , то рівняння не має розв’язків.

Відповідь:  якщо , то розв’язків немає; якщо то ; якщо , ,  то  .

Приклад 5.      Знайти   всі   значення   параметра ,   при   яких    рівняння

   має два різні корені.

Розв’язання. Оскільки за умовою рівняння має два різні корені, то воно є квадратним, отже, ,  .  Знайдемо дискримінант За умовою  , тобто 

.  Тоді .

Відповідь: рівняння має два різні корені при

Приклад 6. Для яких значень параметра сума коренів квадратного рівняння дорівнює нулю?

Розв’язання.  За теоремою Вієта

Тоді

 Але з того, , ще не випливає, що – дійсні корені. Потрібно, щоб виконувалася умова: .  Тому    Цю нерівність не обов’язово розв’язувати. Достатньо перевірити її виконання, якщо   Перевіркою встановлюємо, що значення  не задовольняє нерівність.

Відповідь: 

Приклад 7. Для яких значень  рівняння  та мають принаймні один спільний корінь?

Розв’язання.  Якщо – спільний корінь обох рівнянь, то сумісною буде система     Віднімемо від першого рівняння друге:  .   Підставимо значення  у перше рівняння:

,

,

,

.

Відповідь:   .

Приклад 8. При скількох цілих значеннях параметра m сума коренів рівняння є в проміжку (?

Розв’язання. За теоремою Вієта   

Тоді    Звідки  .

Отже, параметр набуває таких значень: 5; 6; 7; 8; 9.

Відповідь: 5.

Приклад 9. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння

 .

Розв’язання.   Дане рівняння є квадратним. Кількість його розв’язків залежить від значення дискримінанта. ,

                                                                    

                                                                     .

Якщо  , то і рівняння має один корінь  .

Якщо  , то ,  тоді; 

;   ;

.

Відповідь: якщо    ; 

якщо  , то .

Приклад 10 .  Розв’язати рівняння

Розв’язання.   Дане рівняння має зміст при будь-яких дійсних значень параметра .  Розглянемо три випадки.

1) Нехай Рівняння набере вигляду Отже, воно має один корінь

2) Нехай Рівняння набере вигляду Воно має один корінь

3) Нехай і . Знайдемо дискримінант:

;      .

Тоді  ;      та   .

Відповідь: коли ,   коли , коли і , ,   .

Приклад 11 . Розв’язати рівняння

Розв’язання. Дане рівняння має зміст при будь-яких дійсних значень параметра .  Розглянемо два випадки.

1) Нехай Рівняння набере вигляду Воно має один корінь

2) Нехай   Тоді .  Звідки: .

Отже, при , рівняння не має дійсних коренів;

 при   .

Відповідь:  , рівняння не має дійсних коренів; коли , ;  коли ,   .

Приклад 12 . Розв’язати рівняння

Розв’язання. Нехай . Рівняння набере вигляду  .

Нехай . Тоді =

Якщо  , тобто або , то рівняння має один корінь .  При    ;  при    .

Якщо , тобто , то рівняння не має розв’язків.

Якщо , тобто , то рівняння має два корені .

Відповідь: якщо , то рівняння розв’язків не має;  якщо , то ;

якщо   то;  якщо    ;  якщо    .

Приклад 13 . Визначити, для яких значень сума квадратів коренів рівняння буде найменшою.

Розв’язання. За теоремою Вієта маємо Згідно з умовою, знайдемо

Вираз набуває найменшого значення, коли  .

Але   і для    , тобто рівняння дійсних коренів не має.  Необхідно з усіх значень яких  за яких вираз  набуває найменшого значення. Знайдемо, для яких значень виконується умова :  З усіх чисел, які належать даному об’єднанню проміжків, найближчим до 1 є .

Відповідь: .

Приклад 14 . 

Розв’язання.  Перетворимо рівняння:   ;

                                                                 .

Нехай . Рівняння набере вигляду  .

Нехай . Тоді

Якщо , тобто , рівняння має один корінь  

Якщо , тобто , то рівняння має два корені

;

;  .

.

Відповідь: якщо   або , то ;  якщо , то .

Приклад 15 .  Дослідити рівняння:

Розв’язання.

Нехай . Рівняння набере вигляду 4 .

Нехай . Тоді    

Якщо , тобто , то рівняння не має розв’язків.

Якщо , тобто , але , то рівняння має два корені

.

Відповідь: якщо , то рівняння розв’язків не має;  якщо ;

, але , то рівняння має два корені:  .

 

Приклад 16 .  Не розв’язуючи рівняння , знайти, для якого значення   один з його коренів у два рази більший за другий.

Розв’язання. Рівняння матиме два корені, якщо

  тобто .

За умовою   За теоремою, оберненою до теореми Вієта, маємо:    

Отже,     ,  ,

Відповідь: 

 

Приклад 17. Для яких значень параметра   різниця коренів рівняння дорівнює їх добутку?

Розв’язання. За теоремою, оберненою до теореми Вієта, маємо:   

  Оскільки .

Отже,   Рівність можлива, якщо , тобто   або .

За умовою ,   тому

Звідки   Обидва значення задовольняють умову

Відповідь:  

 

Приклад 18. Знайти всі значення параметра , за яких різниця коренів рівняння дорівнює 1.

Розв’язання. За теоремою, оберненою до теореми Вієта, маємо:     Оскільки .

За умовою

Оскільки рівняння має два дійсні корені, то

,

тобто Дану умову задовольняють всі знайдені значення .

Відповідь:

Приклад 19.  Для яких значень параметра сума чисел, обернених до дійсних коренів рівняння

Розв’язання.  За теоремою, оберненою до теореми Вієта, маємо:     За умовою

      .

Оскільки     – дійсні корені заданого рівняння, то

Знайдемо  ,   звідки .

Знайдену умову задовольняє .

Відповідь:

 

Приклад 20.  Для рівняння вказати таке значення , щоб відношення його коренів дорівнювало 2.

Розв’язання.   За  теоремою,  оберненою  до  теореми  Вієта,  за  умови

      

Нехай ,  а    . 

Тоді:               

Отже, 

 

Якщо     то задане рівняння перетворюється у лінійне і має один корінь.

Відповідь:

Приклад 21.  Для рівняння вказати таке значення , за якого корені  задовольняють умову

Розв’язання.  За  теоремою,  оберненою  до  теореми  Вієта,

Оскільки   то   Тоді ,

                                                                         7(

                                                                        

Отже,

Відповідь:

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння:

1) ;

2);

3)   .

2.  При яких значеннях параметра має один корінь рівняння:

1)  ;

2)  ;

3) 

4) 

3.  При яких значеннях параметра має два корені рівняння:

1) 

2)   

4.  При скількох цілих значеннях параметра добуток коренів рівняння є в проміжку

5. У рівнянні визначити , при якому відношення коренів цього рівняння дорівнює .

Відповіді:  

1. 1) якщо

2) якщо   ;

3)  якщо ;     .

2.  1)  2)   ;

3) 4)

3.    4. 

 

РІВНЯННЯ, ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ

 

Приклад 1.  Розв’язати рівняння   

Розв’язання. Зрозуміло, що   Тоді на області допустимих значень розв’яжемо рівняння:

. Так як  ,  то

Якщо , то.

Якщо , то

Обидва значення для не дорівнюють 0.

Відповідь: якщо  , то рівняння не має змісту;

якщо , то

Приклад 2.  Розв’язати рівняння   

Розв’язання.   Дане рівняння має зміст при всіх значеннях , крім , при цьому

Якщо , то рівняння після зведення до спільного знаменника набере вигляду: звідки на  області допустимих значень параметра виконується умова 

Дискримінант цього рівняння , а його корені

Враховуючи область допустимих значень невідомого, отримаємо:

, ,  

звідки   

Якщо , то     якщо , то

якщо , то    якщо , то

Відповідь:

 якщо  ,  то

якщо , то     якщо , то

якщо , то    якщо , то

Приклад 3.  Розв’язати рівняння   

Розв’язання.  Виконаємо  перетворення:

Рівняння рівносильне системі

Розв’яжемо рівняння .  

Після перетворень матимемо: ;

Якщо , то рівняння набере вигляду , коренем якого є число

Якщо , завжди  і рівняння має два корені:

.

Ці значення змінної будуть коренями даного рівняння тільки при виконанні таких умов:    Очевидно, що умови 4 та   виконуються завжди.

Якщо , тобто , то   Отже, при корінь є стороннім. Разом з тим для   отримуємо і   є  коренем заданого рівняння.

Якщо , тобто , то .  Отже, при корінь є стороннім, а є коренем.

Відповідь: якщо , то ; якщо або , то ; якщо і то або

Приклад 4.  Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі:

Розв’яжемо рівняння 

.

Якщо , то і рівняння має один корінь ; 

Оскільки при   , то рівняння має два корені:

.

Визначимо значення  , при якому :    

Отже, при   рівняння має один корінь 

Відповідь: якщо  , то ; якщо або  , то

Приклад 5. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння

 

Розв’язання.  Виконаємо перетворення: ;

                                                                       .

Рівняння рівносильне системі: 

Розв’яжемо рівняння  . 

.

Якщо , то рівняння має один корінь  . Враховуючи, що , то при , коренів немає.

Якщо , то  то рівняння має два корені: ;  .

В цьому випадку виконується умова .

Відповідь: якщо , коренів немає;  якщо , то   або .

Приклад 6. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння

 

Розв’язання. Виконаємо перетворення:   

                                                                      .

Рівняння рівносильне системі: 

Розв’яжемо рівняння  .

                                      

Знайдемо, при якому значенні  :   

Відповідь: якщо , то ; 

якщо , то або

Приклад 6. При яких значеннях параметра   рівняння   має один корінь?

Розв’язання.  Рівняння рівносильне системі: 

Розв’яжемо рівняння 

.

Рівняння має один корінь, якщо або , але один із коренів квадратного рівняння дорівнює 1.

В першому випадку   при 

У другому випадку

Якщо ,  тобто , то .

 не дорівнює 1 при жодному значенні .

Відповідь: або .

Приклад 7.  При яких значеннях параметра має один корінь рівняння   ?

Розв’язання. 

Рівняння рівносильне системі:   

Розв’яжемо рівняння 

Якщо , тобто , то що не задовольняє умову

При   рівняння має два корені:

.

Рівняння має один корінь, якщо тобто  , тоді якщо , тобто , тоді   якщо тобто  , тоді якщо тобто  , тоді

Відповідь:

Приклад 8.  Розв’язати рівняння

Розв’язання.  Рівняння кубічне відносно змінної , але воно квадратне відносно параметра  . 

Запишемо його у вигляді і розв’яжемо як квадратне рівняння відносно параметра . Оскільки , то 

Отже, дане рівняння рівносильне сукупності:  

   Останні дві рівності сукупності мають місце за умови .

Якщо , то   або . 

Відповідь: якщо , то ; якщо , то   або ; якщо , то або .

Приклад 9.

 Скільки розв’язків має рівняння залежно від параметра ?

Розв’язання. Оскільки дане рівняння квадратне відносно , то перепишемо його у вигляді   і розв’яжемо відносно

 За теоремою, оберненою до теореми Вієта:

Перепишемо сукупність у вигляді:

Тоді маємо:

Відповідь: якщо , то рівняння розв’язків не має; якщо , то – єдиний розв’язок; якщо , то ; якщо , то   ;  якщо , то , .

Приклад 10. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Якщо , то маємо рівняння  , яке не має дійсних коренів.

Нехай .  Введемо заміну . Тоді дане рівняння рівносильне системі

Перше рівняння має корені

Другий корінь не задовольняє умову . Визначимо, для яких

Тоді  при  .

Відповідь: якщо , то розв’язків немає;

якщо .

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1.   Для кожного значення параметра   розв’яжіть рівняння:

1)                                 3)

 

2)                  4)  

2.  При яких значеннях параметра має один корінь рівняння:

1)                                    3)  

2)  

 

СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ КОРЕНЯМИ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ

 

           При розв’язуванні квадратних рівнянь, в яких потрібно дослідити значення коренів, слід пам’ятати такий навчальний матеріал.

           Нехай дано квадратний тричлен  . За теоремою Вієта якщо – корені квадратного тричлена  , то має місце система

      Теорема 1.  Для того, щоб корені квадратного тричлена були дійсними і мали однакові знаки, необхідно і достатньо виконання таких умов:

      При цьому обидва корені будуть додатними, якщо додатково виконується умова  , тобто  

Обидва корені будуть від’ємними, якщо , тобто

       Теорема 2.   Для того, щоб корені квадратного тричлена були дійсними і мали різні знаки, необхідно і достатньо виконання таких умов:

     При цьому додатний корінь буде більшим за модулем, якщо   тобто 

Від’ємний корінь буде більшим за модулем, якщо

     Теорема 3.  Для того, щоб обидва корені квадратного тричлена були менші за число (тобто лежали на числовій прямій лівіше, ніж ) необхідно і достатньо виконання таких умов:

для                                                     для                                                                                 

які також можна записати у вигляді однієї системи

     Теорема 4. Для того, щоб один із коренів квадратного тричлена був меншим за число  , а другий більшим за (тобто лежить між коренями), необхідно і достатньо виконання таких умов:

для                                                     для                                                                                 

які виконуються також і тоді, коли  .

     Теорема 5.   Для того, щоб обидва корені квадратного тричлена були більшими за число (тобто лежали на числовій прямій правіше, ніж ) необхідно і достатньо виконання таких умов:

для                                                     для                                                                                 

які також можна записати у вигляді однієї системи

      Наслідок 1.  Для того, щоб обидва корені квадратного тричлена були більшими за число , але меншими за число (тобто лежали між числами ), необхідно і достатньо виконання таких умов:

для                                                     для                                                                                 

які також можна записати у вигляді однієї системи 

    Наслідок 2.   Для того, щоб тільки більший корінь  квадратного тричлена лежав між числами , необхідно і достатньо виконання таких умов: 

для                                                     для                                                                                 

                                                 

які можна записати також у вигляді однієї системи

      Наслідок 3.   Для того, щоб тільки менший корінь  квадратного тричлена лежав між числами , необхідно і достатньо виконання таких умов: 

для                                                     для                                                                                 

                                                 

які можна записати також у вигляді однієї системи

        Наслідок 4.   Для того, щоб один з  коренів  квадратного тричлена був  меншим за  (тобто відрізок    повністю знаходився між коренями), необхідно і достатньо виконання таких умов:

для                                                     для                                                                                 

                                                 

які можна записати також у вигляді однієї системи

Приклад 1.  Знайти всі значення , для яких додатні корені рівняння

.

Розв’язання. Якщо , то умова не  виконується.

Отже, .  Знайдемо дискримінант:

Для того, щоб рівняння мало додатні корені, мають виконуватись умови:

    

Система несумісна, отже, ні для яких значень корені додатними не будуть.

Відповідь: таких значень немає.

Приклад 2. 

Для яких значень  рівняння має два від’ємні корені?

Розв’язання.  З умови задачі випливає, що . Знайдемо дискримінант:

Для того, щоб рівняння мало від’ємні корені, необхідно, щоб виконувалася умова:       

Отже, .

Відповідь:  .

Приклад 3.  Для яких значень  параметра число  лежить між коренями рівняння

Розв’язання. Оскільки старший коефіцієнт рівняння дорівнює одиниці, то для того, щоб число   знаходилося між коренями даного рівняння, має виконуватися умова

Відповідь: 

Приклад 4.  Для яких значень корені рівняння

більші за 1?

Розв’язання. Старший коефіцієнт рівняння додатний, тому для того, щоб корені рівняння були більші за 1, треба, щоб виконувалися умови:    

   

   .

Враховуючи, що , дістанемо систему   яка несумісна.

Відповідь:  таких значень немає.

Приклад 5.   

Для яких значень параметра корені рівняння   належать інтервалу (

Розв’язання. Старший коефіцієнт рівняння додатний, тому для того, щоб корені рівняння належали інтервалу  (, необхідно і достатньо виконання таких умов:

 

Умова виконується.

Тоді маємо:   звідки

Відповідь:  .

Рекомендовані вправи для розв’язання в класі і для домашнього завдання.

1.    Знайти всі значення параметра , для яких  містяться між числами  0  і  1 корені рівняння  .

2.     При яких значеннях параметра мають різні знаки корені рівняння

?

3.    Знайти всі значення параметра , для яких обидва корені рівняння більші за 3.

4.  Для  яких дійсних значень параметра рівняння  має один корінь, який більший за 3, а другий – менший за 2?

5.    Знайти   всі   дійсні   значення ,   при   яких   обидва   корені    рівняння

   містяться між числами 0 і  ?

Відповіді:  1. 2. 3. 4.

5.

 

 

ЗАЛІКОВА РОБОТА №1

Варіант 1.

1. При якому рівняння  має корінь, рівний 5.

2. При якому рівняння не має розв’язків?

3. Для кожного значення параметра  розв’язати рівняння:

а) ;

б) 

4. При якому система     має безліч розв’язків?

5. При яких значеннях параметра   а     рівняння   має єдиний корінь?

 

Варіант 2.

1. При якому рівняння  має корінь, рівний 4.

2. При якому рівняння має безліч розв’язків?

3. Для кожного значення параметра  розв’язати рівняння:

а) ;

б) 

4. При якому система    не має розв’язків?

5. При яких значеннях параметра   а     рівняння   має єдиний корінь?

ЗАЛІКОВА РОБОТА №2

Варіант 1.

1.  При яких значеннях параметра рівняння

?

2. Розв’язати рівняння:  1) ;

                                         2)  

                                         3)   

3.  Знайти всі значення параметра , для яких  більші за обидва корені рівняння .

 

 

   Варіант 2.

1.  При яких значеннях параметра рівняння  ?

2. Розв’язати рівняння:  1) ;

                                         2)  

                                         3)   

3.   Знайти всі значення параметра , для яких  менші  за 1 обидва корені рівняння .

 

Відповіді:  Залікова робота №1.

Варіант 1.   1.  ;    2.  ;    3. а) якщо  ;  б)  якщо   якщо 4. ;  5. якщо ,

якщо

Варіант 2.   1.      2.  ;    3. а) якщо  ;    б)  якщо   якщо

4. ;  5. якщо ,  якщо

 

 

Залікова робота №2.

Варіант 1.    1.  ;      2.  1) якщо

     2)  якщо

  3) якщо ,  якщо   4) 

Варіант 2.    1.  ;     2.  1) якщо

  2)  якщо   3) якщо ,  якщо   4)

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

 

1.   А. В. Крамаренко. Розв’язання рівнянь та нерівностей з параметрами/

 А. В. Крамаренко//Математика. – 2004. – №17-18. – с. 13-20.

2.  А. Г. Мерзляк. Алгебра: підручник для 8 кл. з поглибл. вивченням математики/ Мезляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. – Х.: Гімназія, 2012. – 368 с.

3. А. Г. Мерзляк. Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з алгебри для 8 класу/ Мезляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., Якір М. С. – Х.: Гімназія, 2007. – 112 с.

4.  В. Н. Литвиненко. Практикум по элементарной математике: алгебра, тригонометрия/ Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. – М.: Просвещение, 1991. – 352 с.

5. Е. А. Рубан. Розв’язування рівнянь, систем рівнянь та нерівностей з параметрами/ Е. А. Рубан// Математика. – 2003. – С. 6-24.

6. Збірник програм з математики для  до профільної підготовки та профільного навчання (у двох частинах). Ч. І. Допрофільна підготовка/ Упоряд. Н. С. Прокопенко, О. П. Вакуленко, О. В. Єргіна. – Х.: Вид-во «Ранок», 2011. – 320 с.

7. Л. О. Щоголєва. Рівняння та системи рівнянь з параметрами/Л. О. Щоголєва, Г. С. Маслай. – Луцьк, 1999. – 28 с.

8. О. Г. Гайштут. Розв’язування алгебраїчних задач/ О. Г. Гайштут, Г. М. Литвиненко. – К.: Рад. шк., 1991. – 224 с.

9. О. Кравчук. Рівняння з параметрами/ О. Кравчук// Математика. – 2006. –- №13. – С. 17-24.

10. С. В. Сержук. Рівняння з параметрами/С. В. Сержук// Математика. – 2004. – №17-18. – С. 8-12.