Методичні рекомендації "Побудова графіків складених функцій на основі поняття монотонності"

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ СКЛАДЕНИХ ФУНКЦІЙ НА ОСНОВІ ПОНЯТТЯ МОНОТОННОСТІ

 Проаналізувавши деякі вправи ЗНО, можна помітити, що досить значна увага приділяється побудові графіків функцій та графічному розв’язанню ряду завдань. 

 Вміння  будувати графіки функцій і їх читати, тобто визначати проміжки монотонності, екстремальні значення та інші  характеристики функції по її графіку, – важливий елемент математичної культури. Ці вміння необхідні майбутньому техніку, економісту, інженеру, лікарю. У багатьох задачах побудова графіка є лише допоміжним елементом розв’язування. Тому з’являється необхідність познайомити учнів з різними прийомами побудови графіків.

 На тестуванні не завжди час працює на учня, а тому він повинен твердо знати, як впоратись із завданням, витративши на нього мінімум часу.                 Звичайно, в програмі є питання побудови графіків функцій із застосуванням похідної, але там обчислювальна, формальна сторона переважає над логічною та графічною.

  Побудову графіка складеної функції  в деяких випадках можна здійснити за такою схемою:

1. Накреслити графіки внутрішньої і  зовнішньої   функцій та систему координат .
2. Визначити проміжки монотонності внутрішньої функції  і відмітити їх на осі площини .
3. На кожному проміжку визначити границі зміни функції і вибрати ті значення , які попадають в область визначення функції .
4. По графіку зовнішньої функції знайти характер її зміни.
5. В системі координат накреслити графік функції .

 Працюючи за цією схемою, учні постійно звертаються до графіків основних елементарних функцій, вчаться по графіку слідкувати за зміною функції при зміні аргумента і навпаки по заданій зміні функції будувати її графік. При цьому графік сприймається не як статичний образ, а як відображення руху. Цей рух слід постійно підкреслювати, показуючи учням саме зростання чи спадання змінної величини.

 Навчившись елементарними способами будувати графіки складених функцій, учні отримають великий запас ілюстрацій властивості неперервності, різних видів розривів, односторонніх границь. Володіючи цією методикою,  найбільш підготовлені учні, тільки дивлячись на формулу, що задає функцію, відразу малюють ескіз її графіка.

 Використовуючи схему побудови графіка функції , учні оволодівають також вмінням представляти складену функцію у вигляді композиції двох функцій – внутрішньої та зовнішньої, навичками «бачити» ці дві функції, без чого неможливо обійтися при вивченні диференціювання складених функцій.

    Розглянемо деякі приклади.

1. Побудувати графік функції .

       Дана функція є композицією двох функцій: зовнішньої  та внутрішньої    . Внутрішня функція є строго зростаючою: при зростанні від   до  зростає від 0 до .

 

           По графіку зовнішньої функції визначаємо, що при такій зміні      відповідає зростання   функції від 0 до .   Отже, при зростанні від     зростає від 0 до . Контрольна точка (0;)

     

2. Побудувати графік функції .

Будуємо графіки внутрішньої і зовнішньої функцій.

 

    

 

 Визначаємо проміжки монотонності внутрішньої функції: (;0) і (0;+При зростанні від до 0      спадає від 0 до . Такій зміні  відповідає спадання    від 1 до 0. Якщо ж зростає від до , то спадає від до 0, а функція спадає від до 1.

Контрольні точки:

 

3. Побудувати графік функції .

       Зобразимо графіки внутрішньої  та зовнішньої функцій.

          

         Якщо від зростає до 1, то спадає від +  до 0, а при цьому спадає від + до . При , тому при цих значеннях функція не визначена. Якщо ж зростає від 2 до +, то зростає від 0 до +, а при цьому зростає від .

4. Побудувати графік функції .

Зобразимо графіки внутрішньої  та зовнішньої функцій.

 

                

                                                                

При  зростанні від 0 до   зростає від 0 до 1, а зростає від  1 до 2. При зростанні від    до спадає від 1 до 0, а спадає від 2 до 1. Якщо ж зростає від до спадає від 0 до –1, а спадає від 1 до 0,5. Якщо ж зростає від до   зростає від –1 до 0, а  зростає від  0,5 до 1.

Функція є періодичною, тому досить побудувати графік на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції.

 

 

5. Побудувати графік функції .

В цьому завданні .  Побудуємо графіки вказаних функцій.

      

 

Якщо , тобто функція не визначена при цих значеннях . Якщо , то спадає від до 0, і   також спадає від  до 0. Контрольні точки:

6. Побудувати графік функції .

В даному випадку . Якщо зростає від до +, то   зростає від 0 до +, при цьому спадає від 1 до –1. Контрольна точка

 

7. Побудувати графік функції .

Дана функція є композицією трьох функцій

 .

      

Без додаткових пояснень легко побудувати графік функції . Якщо зростає від до 1, то   зростає від 0 до +, а зростає від 1 до +. Якщо зростає від , то спадає від до 0 і спадає від до 1. Якщо зростає від то   зростає від до –1, коли ж  зростає від то   спадає від –1 до . Отже, в першому випадку зростає від 0 до 0,5, а в другому – спадає від 0,5 до 0.

 

   

 

8. Побудувати графік функції .

Дана функція є композицією трьох функцій .

Побудуємо графіки перших двох функцій.

Очевидно

          

 

 

 

Якщо зростає від до 0, то   зростає від до 0, а спадає від 0 до . Якщо зростає від , то зростає від 0 до 1, а спадає від до 1.

 

 

 

9. Побудувати графік функції .

Дану функцію можна представити як композицію двох функцій ,

 . Функція визначена для всіх .  Тобто

 

         

Якщо зростає від до 1, то   спадає від 0 до 1, а спадає від 0 до .  Якщо зростає від , то   спадає від 1 до 0, а спадає від до 0.

 

10.  Побудувати графік функції.

Дану функцію можна представити як композицію двох функцій

 ;  .

                     

                                                             

Функція визначена, якщо . Тобто .

Звідси  

Отже, .

При зростанні від 0 до 1 функція спадає відж 1 до , а зростає від 0 до . Якщо ж зростає від 2 до 3, то зростає від до 1, а спадає від до 0.

11.  Побудувати графік функції

В даному випадку .

 

      

 

Побудуємо графік параболи. На інтервалах та графік знаходиться під віссю ОХ, а, отже, там не існує графіка. В точках перетину графіка параболи з віссю віссю ОХ (0;1) та (0;) маємо асимптоти для графіка логарифмічної функції. Оскільки основа логарифма 2, тобто більше 1, то для того значення аргументу, який менше 1 маємо графік нижче осі ОХ, а для тих, які більше 1, – вище. Там, де аргумент дорівнює 1, маємо точку дотику до осі ОХ. В даному прикладі роль аргументу логарифмічної функції виконує парабола .

 

12.  Побудувати графік функції .

Дану функцію можна представити як композицію двох функцій

,    .

 

 

                                              

 

Знайдемо точки перетину графіка з прямою у=1. Абсциси  цих точок – це точки перетину майбутнього графіка логарифмічної функції з віссю ОХ . Їх чотири. Прямі є вертикальними асимптотами графіка функції . Якщо зростає від до 2, то   спадає від до , і спадає від до .  Якщо зростає від 2 до 0,5, то зростає від 0 до 2,25, а зростає від до При зростанні від 0,5 до 1 спадає від до . Якщо зростає від 1 до   зростає від 0 до , зростає від до .

Вправи для самостійної роботи

Побудувати графік функції:

1. 
2. 
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. 
9. ;
10.                    .