Многокутники (підготовка до ЗНО

Многокутник — це проста замкнута ламана. Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки ламаної — сторонами многокутника. Діагоналі многокутника — це відрізки, що з'єднують несусідні вершини многокутника. n-кутник— це многокутник з n вершинами.«Многокутники»

Види многокутників. Розрізняють: Плоский многокутник — скінченна частина площини, обмежена многокутником. Опуклий многокутник - многокутник, що лежить в одній півплощині щодо будь-якій прямої, яка містить його сторону.

Многокутник, усі вершини якого лежать на колі, називається вписаним у це коло, а коло – описаним навколо цього многокутника. Многокутник, усі сторони якого дотикаються до кола, називається описаним навколо цього кола, а коло – вписаним у цей многокутник. Вписані і описані многокутники

Правильний многокутник — це опуклий многокутник, у якого всі сторони і всі кути рівні. Навколо нього можна описати коло. В нього також можна вписати коло. Центри вписаного і описаного кіл збігаються.

Основні формули. Обчислення кута правильного n-кутника:𝜶=𝒏−𝟐𝒏∗𝟏𝟖𝟎° Радіус вписаного кола:𝒓=𝒂𝒏𝟐𝒕𝒈𝟏𝟖𝟎°𝒏 Радіус описаного кола:𝑹=𝒂𝒏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟏𝟖𝟎°𝒏 Сторона правильного n-кутника:𝒂𝒏=𝟐𝑹𝒔𝒊𝒏𝟏𝟖𝟎°𝒏=𝟐𝒓𝒕𝒈𝟏𝟖𝟎°𝒏 𝒓=𝑹𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎°𝒏 Площа правильного n-кутника:𝑺=𝒏𝟐𝑹𝟐𝑺=𝒏𝟐𝒓𝒂𝒏𝑺=𝟏𝟐𝑷𝒓𝑺=𝒑𝒓 де 𝒏 – кількість кутів многокутника ;𝑹 – радіус описаного кола;𝒓 – радіус вписаного кола;𝒂𝒏 - сторона многокутника;𝑷 – периметр многокутника;𝒑 – півпериметрмногокутника. 

Застосування формул. Для правильного трикутника:𝒂𝟑=𝑹𝟑 Для правильного чотирикутника:𝒂𝟒=𝑹𝟐 Для правильного шестикутника:𝒂𝟔=𝑹 

Діагоналі многокутника. Відрізок, що сполучає дві несусідні вершини многокутника, називають діагоналлю многокутника. З кожної вершини n-кутника виходить (n-3) діагоналі. Всіх вершин n, а кожна діагональ повторюється 2 рази. Тому всього діагоналей у n-кутнику буде 𝒏𝒏−𝟑𝟐 

Внутрішній кут многокутника. Внутрішній кут опуклого многокутника при даній вершині — це кут між його сторонами, що сходяться в цій вершині. Будь-який кут опуклого многокутника менший за 180°. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n – 2) .

Зовнішній кут опуклого многокутника — кут, суміжний внутрішньому куту многокутника при даній вершині. Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, узятих по одному при кожній вершині, за будь-якого n дорівнює 360°. Зовнішній кут многокутника