Мова, математика і лінгвістика

Мова, математика і лінгвістика

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………………..……3

РОЗДІЛ 1. РОЗВИТОК МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ ……………………………5

1.       Виникнення математики як науки …………………….……..……....5
2.       Математика у сучасному суспільстві………….…………..…….......8

РОЗДІЛ 2. ЗВ'ЯЗОК МАТЕМАТИКИ ІЗ МОВОЮ ТА ЛІНГВІСТИКОЮ………10

2.1. Математика в системі освіти ………………………………….…..…....10

2.2. Мова і математика ………………....................................................…...12

2.3. Перспективи застосування математичних методів у мові та лінгвістиці ……………………………………………………………………………………..13

ВИСНОВКИ…………………………………………..…………….…….….….....15

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………..……………………...…....17

ВСТУП

Математика – це наука про кількісні співвідношення і просторові форми дійсного світу. Математику у мові простежити дуже важко, бо вона використовується досить рідко і не дуже відкрито. Найяскравішим прикладом є визначення віршованого розміру, або таке поняття як математична лінгвістика. Математична лінгвістика, алгебраїчна лінгвістика, обчислювальна лінгвістика – галузь науки на межі математики й лінгвістики, що вивчає найзагальніші закони будови символьних послідовностей, або знакових систем, до яких належать деякі абстрактні математичні структури, штучні та природні мови.

Дослідженням математичної лінгвістики займалися Фердінанд де Соссюр, В. Матезіус, Р. Якобсон, Г. Гайдученко, Д. Гаспарян, І. Богачевська, Л. Михайлець та інші науковці. Проте більшість напрацювань з даної проблематики розглядають всі ці напрями в контексті розвитку лінгвістики як науки, не пов’язуючи їх виникнення та подальшу трансформацію зі станом розвитку науки загалом, і математики зокрема. Тому дане дослідження зв’язку мови, математики і лінгвістики є актуальним.

Мета дослідження: проаналізувати зв’язок мови, математики та лінгвістики.

Об`єкт дослідження: математика, мова та лінгвістика.

Предмет дослідження: співвідношення математики з мовою та лінгвістикою.

Методи дослідження:

1. Вивчення літератури, інтернет-ресурсів з проблеми;
2. Вивчення сучасних досліджень з проблеми;
3. Проведення анкетування серед підлітків 11-13 років;

Завдання дослідження:

1. Збирання та аналіз інформації щодо основних етапів розвитку математичних знань;
2. Визначення впливу математики на сучасне суспільство;
3. Аналіз місця математики в системі освіти;
4. Встановлення взаємозв’язку мови і математики;
5. З’ясування перспектив застосування математичних методів у мові та лінгвістиці.

РОЗДІЛ 1

РОЗВИТОК МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ

1.1. Виникнення математики як науки

Математика виникла з давніх-давен з практичних потреб людини, її зміст і характер з часом змінювались. Від початкового предметного уявлення про ціле додатнє число, від уявлення про відрізок прямої, як найкоротшу відстань між двома точками. Математика пройшла довгий шлях розвитку, перш ніж стала абстрактною наукою з точно сформованими вихідними поняттями і специфічними методами дослідження.

Примітивна людина, наприклад неандерталець, вміла рахувати, але потреба в рахунку виникала не часто. Людина відмічала минулі дні зарубками на каменях або стовбурах дерев або викладала доріжку каменів, фіксуючи число убитих тварин. Час дня визначався за сонцем, і різниця між п’ятьма хвилинами і півгодиною навряд чи мала значення.

Перші систематичні спроби вимірювань і обрахунки були зроблені за кілька тисячоліть до Різдва Христова. Це почалося, коли люди стали розселятися, щоб вирощувати хліб, по долинах таких великих річок, як Тигр і Євфрат, Ніл, Інд, Янцзи, Міссісіпі і Амазонка. Річки скоро перетворилися в торгові шляхи, по яких підприємливі люди виходили до океанів і морів. Щоб подорожувати на все більші й більші відстані, знадобилися календар, навігація і географія, а вони потребували ще більш точних розрахунків [1, с. 25].

Жерці були першими астрономами, а від астрономії пішла математика. Коли люди помітили, що зарубок на деревах і каменях і доріжок з них замало для вирішення нових завдань, вони стали групувати числа в десятки і двадцятки, які було легко рахувати по пальцях на руках і ногах.

Близько 450 року до Різдва Христового греки винайшли буквенну систему числення, яка використовувала 24 літери грецького алфавіту і три букви, які згодом вийшли з ужитку. Кожному числу від 1 до 9 відповідала буква, а числа, кратні десяти, мали свої літери.

Хоча відносне зручність цих буквочисел допомагала людям будувати складні споруди, подорожувати на великі відстані і точніше фіксувати час, така система числення накладала серйозні обмеження. Щоб додати, відняти, помножити чи поділити літери можна використовувати тільки з великими труднощами, а лічити про себе практично неможливо. Ці замінники чисел придатні тільки для запису результатів обрахунків, виконаних іншими методами, найчастіше за допомогою рахівниць.

Рахівниці – найдавніший обчислювальний пристрій в історії – були незамінними при виконанні розрахунків, поки між 1000-м і 1200 роками після Різдва Христового на сцену не виступила індо-арабська цифрова система числення. Хто придумав це дивовижне нововведення і які обставини привели до його поширення по всьому Індійському півострові, залишається таємницею. Нова система числення пробудила інтелектуальну активність в країнах на захід від Індії. В руках арабів індійські числа перетворилися в математичні инструменти вимірювання в астрономії, навігації та комерції. Нові методи вичислень поступово витіснили рахівниці, які повсюдно, починаючи з Західної півкулі, де ними користувалися майя, включаючи Європу і аж до країн Сходу та Індії, протягом багатьох століть були єдиним засобом виконання арифметичних розрахунків [1, с. 25].

Нові вимоги практики, розширюють обсяг понять математики, наповнюють новим змістом старі поняття. Загалом, історію математики можна поділити на чотири періоди.

У перший період (приблизно 6-5 ст. до н. е.) сформувалося поняття цілого числа, раціонального дробу, відстані, площі, об’єму, були створені правила дій з числами, найпростіші правила визначення площ фігур та об’ємів тіл. Так накопичився матеріал, що склався в арифметику. Вимірювання площ і об’ємів сприяло розвиткові геометрії. На базі створення методів арифметичних обчислень виникла алгебра, а в зв’язку із запитами астрономії – тригонометрія. Однак у цей період математика ще не була дедуктивною наукою, вона складалася переважно з прикладів на розв’язування окремих задач, іноді являла собою збірку правил для їх розв’язування.

У другий період (до середини XVII ст.) математика стає самостійною наукою зі своєрідним, чітко вираженим методом і системою основних понять. В Індії було створено десяткову систему числення, в Китаї – метод розв’язування лінійних рівнянь з двома і трьома невідомими; створена стародавніми греками система викладу елементарної геометрії стала зразком дедуктивної побудови математичної теорії на багато століть вперед. Головним винаходом індо-арабської системи числення стало поняття нуля. Заслуговують на увагу два аспекти розвитку системи числення, обумовлені появою нуля. По-перше, люди змогли обходитися тільки десятьма символами від 0 до 9 для запису з їх допомогою будь-яких чисел і виконання всіляких обчислень. По-друге, послідовність чисел типу 1, 10, 100 показує, що наступним числом в послідовності є 1000. Нуль, прояснив систему числення, довів її до повної прозорості [1, с. 28].

У цей період з арифметики поступово виділяється теорія чисел. Велике значення мали праці Піфагора Самоського, Гіппократа Хіоського, Евдокса Кнідського, Евкліда, Архімеда, Діофанта. У Київській Русі математична освіта була на рівні найкультурніших країн Європи того часу [2]. Проте найвідомішим математиком був Евклід. Він є для нас автором "Начал", по яких вчились математики всього світу. Ця надзвичайна книга пережила більше двох тисячоліть, але й до цього часу не втратила свого значення не тільки в історії науки, але й у самій математиці. Зміст "Начал" далеко не вичерпується елементарною геометрією – це основи всієї античної математики. Тут підводиться підсумок більш ніж 300-річному її розвитку і разом з тим створюється база для її подальшого розвитку [3].

Третій період (до початку ХХ ст.), в який було створено математику змінних величин – суттєво новий період у розвитку математики. Успіхи обчислювальних методів і алгебри призвели до бурхливого розвитку абстрактних математичних понять і забезпечили обгрунтування багатьох практичних застосувань – від страхування та інвестування до таких, здавалося б, далеких від математики предметів, як медицина, спадковість, поведінка молекул, стратегія і тактика військових дій і передбачення погоди.

Четвертий – сучасний період – характеризується систематичним вивченням можливих типів кількісних відношень і просторових форм [2].

1.2. Математика у сучасному суспільстві

Наше життя пов’язане з числами, але іноді ми забуваємо, що числа – всього лише інструмент. Ми живемо в світі цифр і обчислень. Вранці, ледь проскинувшись, ми дивимося на годинник, а потім рахуємо ложки кави, засипаючи її до кавоварки. Ми платимо за квартиру, вивчаємо вчорашній курс акцій, набираємо телефон приятеля, перевіряємо, скільки залишилося бензину в машині, стежимо за швидкістю по спідометрі, нажимаємо на кнопку потрібного поверху в ліфті своєї контори і набираємо цифри кодового замку на дверях. І це тільки початок дня, який закінчиться відімкненням перед відходом до сну телевізійного каналу номер такий-то. Нам важко уявити час коли не було цифр.

Математика в нашому житті присутня не тільки в процесі освоєння професії і реалізації отриманих знань. Цією наукою ми користуємося в кожен момент часу. А тому не дивно, що математику починають навчати досить рано. Учні не просто вчаться складати, віднімати і множити, розв’язуючи прості і складні завдання. Вони повільно, з азів осягають устрій сучасного світу. І мова тут йде не про технічний прогрес або вміння перевіряти здачу в магазині. Математика формує деякі особливості мислення і впливає на ставлення до світу [4].

Математика та її методи мають неоціненне значення для прогресу науки і практичної діяльності. Математичні теорії є ефективним знаряддям передбачення і відкриття нових закономірностей. Вони ефективно застосовуються в таких галузях, як організація виробництва, економіка, біологія, космонавтика та інші. Математика все глибше проникає у найрізноманітніші галузі людського життя і діяльності, є надійним інструментом пізнання людиною дійсності і перетворення її на своє благо. Цікавими є думки американського математика М. Стоуна щодо можливостей використання математики для прийняття виважених політичних рішень: «Можна сподіватися, що одного чудового дня завдяки апаратові математики розв’язання політичних проблем стане дещо більше ґрунтуватися на знаннях і дещо менше на здогадках і що світ, у якому ми живемо, функціонуватиме трохи краще і менше залежатиме від непередбачених подій» [5].

Сьогодні все наше життя пов’язане з математикою. Важко уявити світ без численних технічних засобів і пристосувань, які щодня вдосконалюються. Те, що ще кілька років тому здавалося фантастикою сьогодні вже реальність.

Математика – сфера людських знань, що вивчає математичні моделі, які відбивають об’єктивні властивості та зв’язку. З іншого боку, математика створює зручні способи опису найрізноманітніших явищ навколишнього світу і тим самим виконує роль мови науки. Нарешті, математика дає людям методи вивчення і пізнання навколишнього світу, методи дослідження як теоретичних, і практичних проблем [6].

Отже, математичні знання потрібні не лише тим, хто в майбутньому буде займатися дослідженнями в галузі математики, фізики, астрономії чи інженерної справи, а й тим, хто стане юристом та істориком, агрономом чи організатором виробництва, біологом чи лікарем, а також кваліфікованим робітником. Вирішальне значення має математичний стиль мислення, уміння логічно міркувати, а саме ці якості людина набуває під час навчання математики.

РОЗДІЛ 2

ЗВ'ЯЗОК МАТЕМАТИКИ ІЗ МОВОЮ ТА ЛІНГВІСТИКОЮ

2.1. Математика в системі освіти

На освіту в цілому, і математичну зокрема, суттєво впливають зміни сучасного суспільства. Важливим чинником перегляду змісту освіти у багатьох країнах світу і в Україні є розширення кордонів і нових можливостей, що відкриваються перед молодою людиною.

У більшості європейських країн програма навчання з математики є усталеним нормативним документом. Вона визначає теми, знання яких є обов’язковим, описує програми занять і їх зміст, а також необхідні дидактичні матеріали та матеріали для оцінювання. Як свідчать нормативні документи, у більшості країн школи і професійні заклади самостійні, вони створюють, затверджують, реалізують власні плани навчання математики і мають широку сферу автономії у цій галузі, однак, зазвичай, повинні брати до уваги рамки навчання математики, визначені центральною владою [7, с. 227].

В Україні програма з математики визначається Державним стандартом освіти і передбачає, насамперед, оволодіння загальною математичною культурою, вироблення так званого математичного стилю мислення, тобто вміння класифікувати об’єкти, вміння встановлювати закономірності, виявляти зв’язки між різними явищами, вміння приймати рішення тощо. У школі вивчається елементарна математика – арифметика, функції, алгебра; у ВНЗ – вища математика: диференціальне, інтегральне числення, топологія, теорія операторів та все інше, що не входить у елементарну математику. Вища математика, як правило, базується на вищому рівні абстракції, ніж елементарна математика, та менш просто виводиться із властивостей навколишнього світу.

Проте, незважаючи на провідну роль математики, серед людей спостерігається неоднозначне ставлення до цієї науки. Дослідження показало, що 45% учнів (11-13 років) нейтрально ставляться до цього предмету, 23% люблять математику, а 32% відчувають дискомфорт у вивченні цієї науки. То чому ж діти не цікавляться цим предметом? Окремі опитувані сказали, що математика дуже складна наука та не кожен в змозі її зрозуміти. Інші діти затвердили, що причина саме в учителеві, який не досить точно та доступно пояснює матеріал. А хтось, запевняє, що математика не знадобиться йому в житті, а тому свідомо і не намагається зрозуміти її.

Математика відповідальна за розвиток інших галузей знань та діяльності. «Як правило, трапляється так, що явища природи та процеси економіки ширше вже існуючих засобів математики. Це є довічним стимулом для розвитку самої математики, її понять і теорій» – відмічав Б. В. Гнеденко. Вирішення соціально-економічних проблем у житті країни, кожного громадянина призводить до потреби масового оволодіння технічною грамотністю нероздільно пов’язаною з математикою. Математизація всіх галузей науки і техніки, бурхливий розвиток обчислюваної техніки, запровадження комп’ютерних технологій у всі сфери виробництва, економіки, управління у повсякденне життя створює необхідність для ще більшого зацікавлення учнів математикою, формування в учнів правильного уявлення про природу математики у системі наук та її роль в різних галузях науки, техніки, виробництві, культурі, психології.

Основне завдання вчителя полягає в тому, щоб учні зрозуміли для чого вивчається математика, а це створює потребу в посиленні політехнічної і практичної спрямованості викладення математики. Для сьогодення характерним є процес математизації наукових знань, широкого використання методів математики, її апарату в різних наукових сферах. Наприклад, економіка, археологія, біологія, екологія, медицина, мовознавство – це науки, які раніше вважалися далекими від математики. А сьогодні вже не можуть без неї обійтися. Розвиток логічного мислення, що здійснюється на уроках математики впливає на успішне вивчення всіх предметів, в тому числі гуманітарних. Математика вимагає уяви та інтуїції, спонукає до дослідження, сприяє розвитку інтелекту і формуванню таких рис характеру учня, як акуратність, уміння долати труднощі, доводити розпочату справу до кінця. Велике значення має зацікавленість учнів. А цьому сприяє залученя їх до активної пізнавальної діяльності на уроках. Учитель повинен створити у школяра позитивну мотивацію до виконання розумових і практичних дій.

2.2. Мова і математика

У ХХ ст. підходи, характерні для природничих наук, почали застосовувати до вивчення практично всіх сфер людської діяльності, в тому числі і розумової. Особливості функціонування людської свідомості були розглянуті з точок зору найрізноманітніших галузей знання: від біології та генетики до математики та кібернетики [8, с. 42].

Мова являє собою систему знаків, використовуються для цілей комунікації і пізнання. Мислення нерозривно пов’язане з мовою та мовленням, однак цей зв’язок достатньо складний.

Мова і мислення утворюють єдність, яка включає два основних аспекти:

а) генетичний – виражається в тому, що походження мови було тісно пов'язано з виникненням мислення, і навпаки;

б) функціональний – з цієї точки зору мова та мислення в їх сучасному стані являють собою таку єдність, сторони якого взаємно припускають один одного і сприяють взаиморазвитию [9].

У лінгвістиці навіть розвинувся цілий напрям, що виник на основі зростання розвитку електроніки та інформаційних технологій. Науковці прагнули матемізувати процес мовлення і звести його до побудови формальних моделей. При вивченні мови на перший план стали висувати її структуру, тобто співвідношення між різними її елементами. Це створило можливість запрограмувати на електронній обчислювальній машині процедуру побудови граматики на базі великого корпусу даних, завдяки використанню таких добре формалізованих прийомів. Адже, електронно-обчислювальні машини для своєї діяльності потребують програми, написаної певною мовою. Цей факт в очах багатьох вчених робить людину ще більше схожою на машину, оскільки людина теж у своїй діяльності застосовує «особливий код», іменований мовою.

Проте, варто погодитися із А.І.Каталзен, такий підхід до розуміння феномену мови та мовлення можна застосувати лише для алгоритмізації діяльності обчислювальних машин, бо саме вони діють на основі програм, які є несуперечливими, простими і повними, тобто відповідають всім вимогам граматики структуралізму. І формалізувати таким чином мову, котра напряму пов’язана з таким складним феноменом, як людське мислення, не виявляється можливим. Адже мислення в самій основі побудоване на суперечностях, які жодним чином не можуть бути задані у вигляді чіткої формули. Не кажучи про те, що суперечності мислення – лише відображення суперечливої дійсності [8, с. 43].

2.3. Перспективи застосування математичних методів у мові та лінгвістиці

Методи математичної лінгвістики в епоху комп’ютеризації отримали нові перспективи для розвитку на рівні інформаційних систем. Неминуче ставить перед дослідником нові вимоги і завдання автоматизація процесу обробки мовного матеріалу, надаючи йому значні можливості та переваги. Родючим ґрунтом для нових відкриттів в галузі лінгвістики, інформатики, філософії та математики стало з’єднання «точного» і «гуманітарного» знання. Галуззю інформаційних технологій, що швидко розвивається, став машинний переклад з однієї мови на іншу. Вважається, що в найближчому майбутньому будуть створені більш досконалі перекладацькі системи, засновані, в першу чергу, на семантичному аналізі тексту.

Лінгвістика і логіка, що служить філософським фундаментом для осмислення інформаційних технологій і так званої «віртуальної реальності»,  є не менш перспективним напрямком у застосуванні математичних методів. У найближчому майбутньому продовжиться робота над створенням систем штучного інтелекту. Проте робота штучного апарату ніколи не буде дорівнювати людському розуму за його можливостям. Подібна конкуренція безглузда: в наш час машина повинна стати не суперником, а помічником людини, не чимось з області фантастики, а частиною реального світу. Найбільш значущим є те, що різні галузі застосування математики в лінгвістиці, до цього достатньо розрізнені, в останні роки співвідносяться між собою, з’єднуючись в струнку систему, за аналогією із системою мови, відкритої століття тому Фердинандом де Соссюром і Іваном Бодуеном де Куртене. У цьому – спадкоємність наукового знання [10].

Основними поняттями, що використовуються в математичній лінгвістиці, вважають:

1) множинність вихідних символів (алфавіт);

2) відношення між елементами алфавіту, що сприймаються як аксіоми (постулюються);

3) правила виводу, тобто обчислення всіх можливих множин символьних ланцюжків;

4) ізоморфізм, тобто одно-однозначні відношення між елементами послідовності, при яких кожному елементові однієї послідовності ставиться у відповідність елемент інші послідовності;

5) гомоморфізм, одно-багатозначні відношення, коли одному елементу першої послідовності відповідає кілька елементів другої і навпаки;

6) відмічений (маркований) ланцюжок, тобто такий, що відповідає правилам виводу (граматично правильний, допустимий);

7) входження символу в послідовність, тобто поява його на заданому місці в ланцюжку;

8) поділ вихідної множини класу ланцюжків за певними правилами на підкласи. Використання операцій, що базуються на цих поняттях, дає можливість одержати аналоги граматичних класів і підкласів, категорій, парадигм, синтаксичних одиниць та відношень [11].

ВИСНОВКИ

Проведене дослідження зв’язку математики з мовою та лінгвістикою дозволило зробити такі висновки.

1. Математика виникла з давніх-давен з практичних потреб людини. Математика пройшла довгий шлях розвитку, перш ніж стала абстрактною наукою з точно сформованими вихідними поняттями і специфічними методами дослідження. У розвитку математики виділяють чотири етапи. У перший період (приблизно 6-5 ст. до н. е.) сформувалося поняття цілого числа, раціонального дробу, відстані, площі, об’єму, були створені правила дій з числами, найпростіші правила визначення площ фігур та об’ємів тіл. У другий період (до середини XVII ст.) математика стає самостійною наукою зі своєрідним, чітко вираженим методом і системою основних понять. Третій період (до початку ХХ ст.), в який було створено математику змінних величин – суттєво новий період у розвитку математики. Четвертий – сучасний період – характеризується систематичним вивченням можливих типів кількісних відношень і просторових форм.

2. Математика та її методи на сьогодні мають неоціненне значення для прогресу науки і практичної діяльності. Математичні теорії є ефективним знаряддям передбачення і відкриття нових закономірностей. Вони ефективно застосовуються в таких галузях, як організація виробництва, економіка, біологія, космонавтика та інші. Математика все глибше проникає у найрізноманітніші галузі людського життя і діяльності, є надійним інструментом пізнання людиною дійсності і перетворення її на своє благо.

3. У більшості європейських країн програма навчання з математики є усталеним нормативним документом. Вона визначає теми, знання яких є обов’язковим, описує програми занять і їх зміст, а також необхідні дидактичні матеріали та матеріали для оцінювання. В Україні програма з математики визначається Державним стандартом освіти і передбачає, насамперед, оволодіння загальною математичною культурою, вироблення так званого математичного стилю мислення, тобто вміння класифікувати об’єкти, вміння встановлювати закономірності, виявляти зв’язки між різними явищами, вміння приймати рішення тощо.

4. У ХХ ст. особливості функціонування людської свідомості були розглянуті з точок зору найрізноманітніших галузей знання: від біології та генетики до математики та кібернетики. Науковці почали застосовувати до вивчення практично всіх сфер людської діяльності, в тому числі і розумової, підходи, характерні для природничих наук.

5. Лінгвістика і логіка, що служить філософським фундаментом для осмислення інформаційних технологій і так званої «віртуальної реальності», є не менш перспективним напрямком у застосуванні математичних методів. Методи математичної лінгвістики в епоху комп’ютеризації отримають нові перспективи для розвитку на рівні інформаційних систем.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бернстайн Питер Л. Против богов: Укрощение риска; [Пер. с англ.]. М., 2000. 400 с. (дата звернення 09.01.2017).
2. Історія математики: сайт uk.wikipedia. URL: https://uk.wikipedia.org/wiki (дата звернення 10.01.2017).
3. Відомі математики світу: сайт discovery.4uth.gov.ua. URL: http://discovery.4uth.gov.ua/d/matematika/vidomi-matematiki-svitu (дата звернення 10.01.2017).
4. Роль математики в житті людини. Для чого потрібна математика?: сайт poradumo.pp.ua. URL: http://poradumo.pp.ua/cikave/62185-rol-matematiki-v-zhitt-lyudini-dlya-chogo-potrbna-matematika.html (дата звернення 11.01.2017).
5. Роль математики в сучасному світі: сайт pasko-katia.blogspot.com. URL: http://pasko-katia.blogspot.com/2014/04/blog-post.html?m=1 (дата звернення 11.01.2017).
6. Роль математики в сучасному світі: сайт referatbox.net. URL: http://referatbox.net/263515-Rol-matematiki-v-sovremennom-mire.html (дата звернення 11.01.2017).
7. Каплун А. Програми навчання математики у загальноосвітніх школах і професійних навчальних закладах європейських країн: порівняльний аналіз. Педагогіка і психологія професійної освіти. 2013. №4. С. 225-233.
8. Каталзен А.І. Проблема співвідношення мови, мислення та людської діяльності в структуралістських та генеративних концепціях лінгвістики і філософії. Вісник НТУУ «КПІ». Філософія. Психологія. Педагогіка. Випуск 1’2012. С. 42-46.
9. Логіка: Навчальний посібник для юридичних вузів: сайт bibliograph.com.ua/. URL: http://bibliograph.com.ua/logika-2/17.htm (дата звернення 11.01.2017).
10. : сайт ua-referat.com. URL: http://ua-referat.com/%D0%92%D0%B7%D0%B0%D1%94%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 (дата звернення: 11.01.2017).
11. Курсовая работа: Математика – цариця наук: сайт bestreferat.ru. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-380854.html (дата звернення 11.01.2017).