Наукова конференція «Божественна» пропорція – прояв досконалості, гармонії і краси

Про матеріал

Знайомство з історією золотого перерізу, його математичною сутністю, властивостями, проявами у природі та різноманітних сферах життя, у нашому житті.

Перегляд файлу

Наукова конференція

Тема: «Божественна» пропорція – прояв досконалості, гармонії і краси.

Мета: ознайомитись з історією золотого перерізу, його математичною сутністю, властивостями, проявами у природі та різноманітних сферах життя, у нашому житті.

Обладнання: мультимедійна дошка, презентація.

Форма проведення: учнівська конференція.

План проведення заходу.

1. Вступ.

2. Поняття «золотого перерізу».

3. Історія виникнення золотого перерізу.

4. Математична сутність золотого перерізу:

Золотий поділ відрізка;
Золотий прямокутник;
Золотий трикутник;
Зірка та пентаграма;

5. Зв’язок між золотим перерізом та числами Фібоначчі.

6. Прояви золотого перерізу у житті.

7. Підсумок

Виступ учителя

Історія «золотого перерізу» - це історія людського пізнання.

Поняття золотий переріз у своєму розвитку пройшло усі рівні вивчення.

Чотири століття тому німецький астроном і математик Йоганн Кеплер сказав «В геометрії є два скарби – теорема Піфагора і поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні. Перший можна порівняти з цінністю золота, другий можна назвати коштовним «каменем». Цей вислів можна вважати епіграфом до всіх робіт, присвячених «золотому перерізу». Вчений поставив пропорцію «золотого перерізу» на один рівень із дуже знаменитою геометричною теоремою.

Перший крок у вивченні золотої пропорції та її властивостей зробили піфагорійці. Від простого споглядання вони перейшли до вираження його в числах. Древньогрецька культура розвивалась під знаком золотої пропорції.

Сьогодні інтерес до золотого перерізу зростає з новою силою. У роботах багатьох мистецтвознавців йде мова про присутність золотого перерізу навіть у творах Шопена, Баха, Бетховена. Вчені відкривають все нові «золоті пропорції» в живій та не живій матерії.

Середньовічний математик Лука Пачолі назвав таке відношення «Божественною пропорцією».

Властивості золотої пропорції проявляються в оточуючому нас середовищі і в нас самих. Золотий переріз - це жива та не жива природа, об’єкти, в яких найяскравіше проявляється закономірність золотого перерізу, вивчення прояву пропорції в тілі людини та на її руках.

Вивчення золотого перерізу і його зв’язок з так званими числами Фібоначчі є і завжди буде залишатись надзвичайно цікавим і актуальним, тому що його прояви у математиці, природі, повсякденному житті, оточуючому світі досить глобальні.

Золотий переріз – це прояв досконалості всього і його частин в науці, природі, техніці, архітектурі тощо. Як в давнину цьому явищу приділяли багато уваги, так і сьогодні вивчають його в різних галузях.

Перший учень

Так що ж таке «золотий» переріз?

Золотий переріз – це поділ відрізка на частини, коли відношення довжини всього до більшої частини дорівнює відношенню більшої до меншої.

Загальноприйняте його позначення грецькою буквою (фі).

У побутовому варіанті пропорція золотого перерізу – це приблизно 8 : 5, а ще точніше – 13 : 8. Математики підрахували, що це число приблизно дорівнює 1,61803398.... Золоте число обчислено до 500 знаків. Воно має багато властивостей.

Властивості золотого перерізу можна описати додатнім коренем квадратного рівняння .

Можна вважати, що золотий перетин – це середнє арифметичне і 1.

Другий учень

Історія виникнення золотого перерізу.

Давайте познайомимось з історією виникнення золотого перерізу.

Вивчення «золотих» властивостей продовжувалось майже п’ять тисячоліть. Золотий переріз використовувався ще у Вавілоні й Древньому Єгипті.

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів давньогрецький філософ і математик (VI ст. до н.е.) Піфагор, який запозичив свої знання у єгиптян. Піфагор учив, що увесь світ не що інше як гармонія й арифметика. Все складається із однієї і тієї ж матерії, всі елементи якої створюють непорушний порядок, абсолютну гармонію, встановлену верховним божеством. Вона виражається в числах.

Давньогрецький філософ Платон (428 - 427 р. н. до н.е.) також знав про золотий перетин. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і навіть естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого перерізу.

У літературі, яка дійшла до нас, про золотий переріз вперше згадується в «Началах» давньогрецького математика Евкліда (близько 300 років до н. е.). Протягом багатьох століть після Евкліда про поділ відрізка у крайньому і середньому відношеннях ніхто не згадував. Середньовічні європейські вчені довідалися про золотий переріз лише з арабських перекладів «Начал».

Третій учень

В 1202 році вийшла робота італійського математика Леонардо Пізанського, більше відомого як Фібоначчі, в якій було подано розв’язання задачі про розмноження пари кроликів протягом року. Отриманий цікавий ряд називають числами Фібоначчі і ще його теж називають золотим перерізом.

Інтерес до золотого перетину посилюється серед вчених і митців в період Відродження, у зв'язку з його застосуванням в геометрії, мистецтві і особливо в архітектурі.

Другий учень

В 1509 році у Венеції було видано книжку ченця Луки Пачолі «Божественна пропорція», яка була гімном золотій пропорції. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, одним з найбільших математиків Італії. Серед багатьох переваг золотої пропорції він відразу ж назвав її «божественною суттю» як вираз божественної триєдності: Бог син, Бог батько і Бог дух святий (передбачалося, що менший відрізок є уособленням Бога сина, більший відрізок - Бога батька, а весь відрізок - Бога духу святого).

Третій учень

Багато уваги приділяв вивченню золотого перерізу Леонардо да Вінчі.

Він здійснював поділ стереометричного тіла, утвореного правильними п’ятикутниками і щоразу отримував прямокутники із гармонійним відношенням сторін у золотому перерізі. Саме Леонардо дав цьому поділу назву «золотого відношення». Так ця назва залишилася і по сьогоднішній день.

Другий учень

Ентузіастом вивчення золотого перерізу був німецький математик, астроном Йоганн Кеплер, який пов'язував золотий переріз із будовою Сонячної системи.

У кінці XVIII — на початку XIX ст. появляються перші роботи, присвячені проявам золотого перерізу у багатьох явищах і закономірностях біологічних об'єктів.

Третій учень

У 1854 році, проводячи дослідження пропорцій людського тіла, цим терміном скористався німецький фізіолог Адольф Цейзинг. Він показав, що ця властивість присутня в пропорціях тіла людини і тілах красивих тварин. Він довів, що із всіх пропорцій саме ця дає найбільший художній ефект і є найбільш приємною на сприйняття, оголосивши пропорцію універсальною для всіх явищ природи й мистецтва.

Другий учень

Вчені встановлюють: зв’язок між психофізичним сприйняттям людини і «золотими» формами предметів; феномен росту в біологічних об’єктах, який пов’язаний із спіралями золотого перерізу; значення золотого перерізу у природі та мистецтві; наводять численні приклади проявів золотого перерізу в явищах природи, мистецтва і архітектури.

Третій учень

Символ для позначення числа 1,618… вперше використовує на початку ХХ століття американський математик Марк Барр. Він запропонував називати відношення двох відрізків, що утворюють золотий переріз, числом «фі» - першою літерою в імені великого скульптора Фідія, що враховував золоту пропорцію у своїх скульптурах, під чиїм керівництвом зводився Парфенон.

Другий учень

В середині ХХ ст. увага до золотого перерізу послаблюється. Але в другій його половині з’явилась тенденція більш серйозного ставлення до нього з боку вчених у різних галузях знань, зокрема в біології. Зроблено чимало відкриттів.

Третій учень

Справжній «вибух» досліджень із цієї теми припав на останні 20-15 років XX ст. З’явилися праці, де золота пропорція та її закономірності використані як своєрідний методологічний принцип, що лежить в основі аналізу самоорганізуючих природних і технічних систем, їх структурної гармонії.

Четвертий учень

В чому ж полягає математична сутність золотого перерізу?

Золотий поділ відрізка

Як уже було сказано, золотий переріз – цей такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини як сама більша частина відноситься до меншої або, інакше кажучи, менший відрізок так відноситься до більшого як більший до всього відрізка

a : b = b : c або с : b = b : а.

Геометрично це можна зобразити так

У 1983 році у болгарському журналі "Батьківщина" була опублікована стаття «Про другий золотий переріз», який випливає з основного перетину, але дає інше відношення, а саме 44:56 . Така пропорція найчастіше прослідковується в архітектурі.

П’ятий учень

Золотий прямокутник

Існує так званий «золотий прямокутник» - це прямокутник з відношенням сторін 1 : або приблизно 1:1,618.

Е F

В С

А D

Якщо побудувати квадрат зі стороною , знайти середину М відрізка АВ і провести дугу кола радіусом МС з центром у точці М до перетину з продовженням сторони АВ у точці Е, то точка В розділить відрізок АЕ у крайньому і середньому відношенні.

Прямокутник АЕFD зі сторонами АЕ і називається золотим прямокутником.

Цей процес можна продовжувати до нескінченності. Відрізавши квадрат від прямокутника, побудованого за принципом золотого перетину, ми отримуємо новий прямокутник з тим же відношенням сторін.

Якщо провести діагональ першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме всім отриманим золотим прямокутникам.

Перший учень

Золотий трикутник

Розрізняють і «золотий трикутник»

Рівнобедрений трикутник АВС з кутом при вершині 36º, В=36º, називається «золотим», тому що відношення бічної сторони до основи АВ:АС = .

Четвертий учень

Зірка та пентаграма

Одним з найдавніших символів є п’ятикутна зірка. Символ, який утворюється з'єднанням ліній однакової довжини під кутами 36º в кожній точці. Якщо продовжити лінії всередину до перетину, то утворюється символ, який називають пентаграмою. У правильній п’ятикутній зірці кожен відрізок ділиться перетином його відрізків в золотій пропорції. Ця «божественна» пропорція має місце в кожному окремому промені пентаграми і допомагає пояснити те хвилювання, з яким математики у всі часи поглядали на цей символ. Кожен кінець п’ятикутної зірки – це золотий трикутник.

Пентаграма містить п’ять гострокутних і п’ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них відношення довжин довшої та коротшої сторони утворюють золотий переріз.

Цікавим прикладом «золотого перерізу» є правильний п’ятикутник. Пентаграма – це правильний п’ятикутник, на кожній стороні якого побудовані рівнобедрені трикутники однакової висоти.

П’ятий учень

Зв’язок між золотим перерізом та числами Фібоначчі

Із золотим перерізом безпосередньо пов’язане ім’я італійського математика ченця Леонардо Пізанського, відомого як Фібоначчі, про якого ми вже згадували. В математиці відома послідовність чисел особливістю якої є те, що кожний член, починаючи з другого, дорівнює сумі двох попередніх 1+1=2; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8;

5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, т. д.

Фібоначчі, розв’язуючи задачу про розмноження пари кроликів протягом року, отримав послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…. Числа, що утворюють цю послідовність називаються числами Фібоначчі, а сама послідовність – послідовністю Фібоначчі. Відношення сусідніх чисел ряду наближається до відношення золотого перерізу.

Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається близько ірpаціонального значення 1,61803398875 … Це число точно обчислити неможливо, тому його записують 1,618 і позначають символом .

Числа Фібоначчі так само називають золотим перерізом. Зображення, в яких прослідковуються золотий переріз і числа Фібоначчі, особливо сприйнятливі для людського ока. Не пов’язуючи цей ряд із золотим перерізом, Фібоначчі відкрив закономірність, до якої незмінно приходили всі дослідники золотого перерізу в природі, мистецтві.

Учитель

Золотий переріз – це один із проявів гармонійності.
Присутність золотої пропорції і чисел Фібоначчі в живій та не живій природі дуже широке. Саме з ними нас познайомлять наступні виступаючі.

Шостий учень

«Золотий переріз» у природі

На значення золотої пропорції в ботаніці (ріст рослин й їхню будову) вперше звернув увагу німецький астроном Іоганн Kеплер.

В природі золотий переріз як і числа Фібоначчі часто трапляється в різних спіральних формах. В природі спіралі дуже поширені. І уявлення про золотий переріз буде неповним, якщо не говорити про спіраль.

Своєю досконалістю вражає форма раковини (додаток 1). Це витончена конструкція. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчив її досконало і вивів рівняння спіралі. Збільшення кроку такої спіралі рівномірне.

Спіраль Архімеда (додаток 2) дуже поширена в природі і широко використовується в техніці.

Наочне уявлення можна отримати, вивчаючи спіралі в природі і творах мистецтва. Геометрія досліджує два види спіралей: спіраль золотого перетину і спіраль Фібоначчі. Спіраль золотого перетину ідеальна: у неї немає початку і немає кінця, вона продовжується нескінченно. На відміну від неї спіраль Фібоначчі має початок. Всі природні спіралі - це спіралі Фібоначчі, а у творах мистецтва використовуються обидві спіралі, іноді одночасно.

Тенденція до спіральності в природі явище поширене

Вона утворюється насінням соняшнику, в кактусах, квітах, в соснових шишках, ананасах і т. д. (додаток 3). Співпраця з ботаніків і математиків пролили світло на ці дивні явища природи. З’ясувалося, що скрізь прослідковується ряд Фібоначчі, а значить закон золотого перетину.

По спіралі павук плете павутину (додаток 4).

Очевидно, в цьому проявляється спадковість організації рослини, а її корені слід шукати на клітковому та молекулярному рівні.

Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю (додаток 5 ). Німецький поет і мислитель Йоганн Гете називав таку спіраль «кривою життя".

Спіраллю закручується ураган, морські хвилі, лід на склі, тропічні циклони, інші явища природи (додаток 6).

Давно помітили спіралевидне та гвинтовидне розташування листя на стеблі рослин, гілках дерев, пелюстках суцвіть. В ботаніці таке явище називається філотаксисом.

Такий принцип помітили навіть у формі деяких тварин, наприклад змії. Вчені твердять, що витки спіралі утворюють строгу математичну послідовність, яка складається із відношення сусідніх чисел Фібоначчі (додаток 7).

В природі золотий переріз трапляється не тільки у вигляді спіралі.

Наприклад, у багатьох метеликів співвідношення грудної та черевної частин тіла відповідає золоту пропорцію. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто йому розвести крила, і спрацьовує принцип поділу тіла на 2, 3, 5, 8. Розгалужена кровоносна система на вухах кроля (додаток 8).

Сьомий учень.

«Золоті» пропорції в частинах тіла та фігурі людини

Одним з великих досягнень є відкриття золотої пропорції як в частинах тіла так і у всій фігурі людини.

Для визначення пропорцій чоловічого (людського) тіла, як воно описане в трактатах античного римського архітектора Вітрувія, Леонардо да Вінчі створив знаменитий малюнок «Вітрувіанська людина». Вважається, що найбільш вражаючим прикладом «застосування» природою принципу золотого перерізу є людське тіло. Він як в цілому тілі так і в його частинах (обличчі, руках, тощо) (додаток 9).

Закон золотого перерізу помітний у кількісному поділі людського тіла, що відповідає числам ряду Фібоначчі. Встановлено, що відношення середніх значень лінійних частин тіла людини близьке до числа золотого перерізу.

В Стародавній Греції еталоном чоловічої краси вважався Аполлон Бельведерський, а жіночої Венера Мілоська (додаток 10).

Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13 : 8 і трохи ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції тіла жінок (8 : 5).

Тіло людини - універсальний приклад золотої пропорції.

Художник Альбрехт Дюрер показав, що зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, талія ділить ідеальне людське тіло у відношенні золотого перетину.

Присутність золотої пропорції щодо тіла людини можна визначити знайшовши відношення відстані від талії до верхньої точки голови. Саме це відношення, якщо вірити науковим твердженням, одне із багатьох є числом золотого перерізу.

Цікавим є і «золоте» відношення в руці. Це відстань від кості зап’ястя до фаланга великого пальця і від кості зап’ястя до фаланга вказівного пальця.

Восьмий учень.

Золотий переріз у мистецтві та архітектурі

Говорячи про золотий переріз в мистецтві, не можна не зупинити свою увагу на творчості Леонардо да Вінчі. Композиція портрета «Джоконда» побудована на «золотих» трикутниках, «Таємна вечеря» Леонардо да Вінчі та «Народження Венери» Ботічеллі - на «золотих» прямокутниках (додаток 11).

Цілий ряд закономірностей, пов’язаних із золотим перерізом спостерігається в архітектурі.

Одним із чудес світу є піраміда фараона Хеопса – найвеличніша піраміда Стародавнього Єгипту та світу (додаток 12). Правильна чотиригранна піраміда є одним із добре вивчених геометричних фігур, які символізують простоту і узгодженість форми, виражають стійкість, надійність, прагнення величі. Піраміда Хеопса – це пропорції золотого перерізу.

Чудові пам’ятники архітектури залишили нам зодчі Стародавньої Греції. І з них перше місце по праву належить Парфенону в Афінах, у зведенні якого використовувались «золоті» прямокутники.

Золоте співвідношення можна побачити в будівлі Собору Паризької Богоматері (Нотр–дам де Парі) .

В Москві теж є будівлі, виконані з використанням золотого перерізу.

Наприклад, Храм Василя Блаженного. Але тут в архітектурі більше використовувалась симетрія.

Значно поширеніше використання принципу золотого перерізу в Пітері.

Однією з таких видатних будівель є Смольний Собор (додаток 13). До собору по краях ведуть доріжки і якщо по них наближатись до собору, то створюється враження, що сам собор піднімається вгору. Великий відсоток становлять вуличні забудови. Наприклад, Литейний проспект.

Дев’ятий учень.

Золотий переріз на гербах та прапорах і в галактиці

Хотілось би звернути увагу на те, що важливою характеристикою золотого перерізу є динамічність, прагнення до розгортання, за рахунок чисел Фібоначчі.

В той час як симетрія передбачає стабільність.

П'ятикутна зірка — пентаграма — розташована на прапорах і гербах багатьох країн, зокрема Китаю, США, Сінгапуру, В'єтнаму, Пакистану, Туреччини та Євросоюзу і т. д. (слайд 13).

Сама Галактика має форму спіралі (слайд 14). Завдяки золотому перерізу відкрили пояс астероїдів між Марсом і Юпітером. Виявили, що за законом золотого перерізу між ними має перебувати ще одна планета.

Десятий учень.

Золотий переріз в медицині

Зовсім недавно його відкрили в медицині й фізіології. Встановлено, що для кожного виду живих істот є частота серцебиття, при якій тривалість усього кардіоциклу і його складових відносяться між собою за пропорцією золотого перерізу. Для людини ця частота дорівнює серцевому ритму здорових, фізично активних організмів у спокої: майже 63 удари на хвилину. Ця пропорція «присутня» і в судинах, і в крові. Золотий переріз є гарантом нормального, оптимального функціонування всієї кровоносної системи організму.

Фібоначчева закономірність прослідковується уже при ембріональному розвитку дитини.

Одинадцятий учень.

Інші прояви властивостей золотого перерізу

Прояв властивостей золотого перерізу надзвичайно великий.

Золоті пропорції знаходять в літературі, музиці, кінематографії.

З розвитком дизайну і технічної естетики дія закону золотого перерізу поширюється на конструювання машин, меблів і т.д. Проектування комп’ютерних інтерфейсів — не виключення. Прикладом використання цього закону в кіномистецтві є розташування основних компонентів кадру в особливих точках – «зорових центрах». Часто використовуються чотири точки, які знаходяться на відстані у відношенні 3 : 8 і 5 : 8 від відповідних країв площини

В останні роки модно в будівництві використовувати лабіринти, застосовуючи «божественну пропорцію», запозичену з давнини. Вони вже є в багатьох лікарнях, університетах, парках тощо. Вважається, що проходження таких лабіринтів заспокоює, допомагає вирішувати проблеми, учить розуміти суть речей, свого місця у світі.

На літальних апаратах з електромагнітними джерелами енергії створюються прямокутні осередки з пропорцією золотого перерізу.

Проте, золотий переріз розкрив ще далеко не всі свої таємниці.

Учитель.

ПІДСУМОК

Аналізуючи сказане, можна тільки дивуватись грандіозності процесу пізнання світу, відкриттям все нових його закономірностей і зробити висновок: принцип золотого перерізу – вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин в мистецтві, науці, техніці, природі тощо.

Золотий переріз – це один з основних принципів природи.

В сучасному світі наука набирає особливе значення у зв’язку з посилення впливу людини на природу, тому важливим є пошук нових шляхів вдосконалення співіснування людини і природи, вивчення проблем, які стоять перед суспільством.

І, не дивлячись, на неприйняття «золотого перерізу» сучасними «офіційними» науками, його повсюди використовують у техніці, архітектурі, мистецтві тощо

У багатьох країнах світу вчені й досить продовжують вивчати і шукати практичне застосування одного з «золотих» математичних принципів, який має чудові властивості.

Список використаних джерел.

Гарднер М. Математичні головоломки і розваги. – М., 1994.
Ковальов Ф.В. Золотое сечение в живописи. Учеб. – К.: Выща шк. Головное изд., 1989. – С. 8-19, 94-102, 128.
Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М.: Радио и связь,1984.

Інтернет - ресурси

sashatelishev.narod.ru/sechenie.htmru.wikipedia.org/wiki/ Числа_Фибоначчи
pozashkillya.ostriv.in.ua/... www.mao.kiev.ua/.../2009-1
balashevitsh.p.. znaimo.com.ua/Золотий_перетин –
uk.wikipedia.org/wiki/Золотий_перетин
icey1matem.at.ua/Zolotiy.../Zoloto_givopis..ru.wikipedia.org/wiki/Метод_золотого_сечения
earn.javascript.ru/task/chisla-fibonachchi www.youtube.com/watch