Наукова робота " Тіло мовою чисел" МАН
1
Тіло людини мовою чисел
Учениця 8 класу Штойко Олександра
Хмельницьке територіальне відділення Малої академії наук України
Ліцей №3 імені Артема Мазура,
8 клас м. Хмельницький
Ващук Наталія Василівна, учитель математики ліцею №3 ім. Артема Мазура
Дослідницьку роботу присвячено дослідженню, систематизації типів чисел та досліження використання чисел для характеристики життювоважливих функцій організму.
В рамках дослідницької роботи систематизовано, досліджено, узагальнено поняття числа; конкретизована інформація про види чисел; досліджено наявність всіх видів чисел в організмі людини та перевірено дану інформацію на власному прикладі.
Наукова новизна дослідження: узагальнено, систематизовано та конкретизовано інформацію про всі види чисел; досліджено наявність всіх видів чисел в тілі людини та проведено анкетування серед учнів 8 класу на знання ними числових характеристик свого тіла.
Актуальність роботи полягає в необхідності донести цікаву, корисну інформацію до учнів. Сприяти формуванню вірного уявлення про види чисел та розуміння важливості знань про дані числа в житті сучасної людини.
Результативність роботи полягає в оволодінні навичків пошуку, узагальнення, систематизації та аналізу теоретичних відомостей чисел, а також навичків дослідження та аналізу отриманої інформації.
Ключові слова: види чисел, числа Фібоначчі, числа велетні, комплексні числа.
ЗМІСТ
РОЗДІЛ 1. ПОНЯТТЯ ЧИСЛА ТА ЙОГО ПОХОДЖЕННЯ
РОЗДІЛ 3 ОРГАНІЗМ ЛЮДИНИ В ЧИСЛАХ
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Протягом багатьох століть числа були нерозривною частиною нашого життя. Вони оточують нас повсюдно: від щоденного використання десяткової системи числення до складних математичних операцій та теорій. Однак, незважаючи на те, що ми звикли працювати з числами та використовувати їх у нашому повсякденному житті, багато хто з нас не замислювався над тим, які види чисел існують і що їх відрізняє один від одного.
Усього існує багато різних класифікацій чисел, кожна з яких відносить числа до певних груп залежно від їх особливостей та властивостей. Однією з найвідоміших класифікацій є розподіл чисел на натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні.
Однак, при вивчені математики в школі багато учнів плутаються і не розуміють, що таке дійсні числа, а що таке натуральні числа. Або чим раціональні числа відрізняються від ірраціональних. Тому, я вирішила зібрати інформацію про всі види чисел та стисло охарактеризувати їх. А також дослідити наявність всіх видів чисел в організмі людина.
Мета роботи: дослідити, узагальнити та систематизувати поняття числа; конкретизувати інформацію про види чисел; дослідити наявність всіх видів чисел в організмі людини та перевірити дану інформацію на власному прикладі; провести анкетування учнів свого класу на знання ними видів чисел, якими характеризується організм людини та проаналізувати результати.
Мета зумовила наступні завдання:
- дослідити, узагальнити та систематизувати поняття числа;
- конкретизувати інформацію про види чисел;
- дослідити наявність всіх видів чисел в організмі людини та перевірити дану інформацію на власному прикладі;
- провести анкетування учнів свого класу на знання ними видів чисел, якими характеризується організм людини та проаналізувати результати.
Об’єктом дослідження є числа.
Предметом дослідження є види чисел наявні в організмі людини.
Наукова новизна дослідження: узагальнено, систематизовано та конкретизовано інформацію про всі види чисел; досліджено наявність всіх видів чисел в тілі людини та проведено анкетування серед учнів 8 класу на знання ними числових характеристик свого тіла.
Актуальність роботи полягає в необхідності донести цікаву, корисну інформацію до учнів. Сприяти формуванню вірного уявлення про види чисел та розуміння важливості знань про дані числа в житті сучасної людини.
Робота складається з трьох розділів. У першому розділі розповідається про поняття числа та його походження. У другому розділі подано характеристику видів чисел. Практичну частину роботи – дослідження наявності всіх видів чисел в організмі людини, а також результати проведеного анкетування, описано в третьому розділі наукового дослідження.
Практичне значення наукової роботи полягає в тому, що її зміст може бути використаний вчителями для мотивації навчальної діяльності учнів на уроках математики та біології, а також під час проведення факультативів, гуртків, вікторин, конкурсів.
РОЗДІЛ 1. ПОНЯТТЯ ЧИСЛА ТА ЙОГО ПОХОДЖЕННЯ
Число - одне з найголовніших понять математики, яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось. У давнину у слов’янських мовах, слово «число» означало «знак», «символ», «поняття», «ідея». Під словом «числити» розуміли в ті часи «значити», «думати», а також «записувати щось за допомогою знаків», «робити певні дії зі знаками».
Поняття числа виникло ще в далекій давнині. Люди, звичайно, вміли рахувати кількість предметів, але так як, людство з кожним роком розвивалося (будувалися нові споруди, необхідно було обчислювати довжини, площі і обсяги фігур і предметів), то і число набувало більшої значущості, його вживання стало незамінною частиною нашого життя. Число, саме по собі, абстрактна сутність, яка використовується для опису кількості.
За визначенням Арістотеля: «Число є безліч, яке вимірюється за допомогою одиниць».
Евклід, вважав що: «Число є безліч, складене з одиниць».
За вченням Фалеса Мілетського і думку Піфагора, число - є система одиниць.
Великий і різносторонній вчений Ісак Ньютон дав своє визначення числа, і звучало вона так: «Під числом ми маємо на увазі не тільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якої-небудь величини до іншої величини, такого ж роду, взятої за одиницю. Число буває трьох видів: ціле, дробове і ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратною частиною одиниці, ірраціональне - число, що не порівнянне з одиницею ».
Клюйков С.Ф. дав своє визначення: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання».
Пізніше, зокрема з поширенням арифметики і точних наук на Русі Петром I y XVIII ст., під числами стали розуміти в першу чергу ті знаки, які використовуються для позначення певних кількостей. У XIX та XX ст., з розвитком та поширенням вищої, теоретичної математики, слово «число» знову починає вживатися більш широко - для назви знаків, позначень і понять, які позначають не лише кількості – комплексні числа. Те саме ми спостерігаємо з поняттям «числити», «числення»- матричне числення, варіаційне числення.
Кожен з учених, у своїй мірі прав. Число - має безліч змістів і уявлень.
Сучасні цифри і числа, з якими ми стикаємося щодня, мають своє походження в різних системах числення, які розвивалися з плином часу. Розглянемо деякі з них. Однією з найпоширеніших традиційних систем числення є римська система, яка походить від стародавнього Риму. У цій системі числові значення виражаються за допомогою літер: I, V, X, L, C, D та M, що позначають значення 1, 5, 10, 50, 100, 500 та 1000 відповідно. комбінація цих літер дозволяє записувати будь-яке число у римській системі числення.
Індійська система числення є ще однією історичною традиційною системою, яка до сих пір використовується в деяких частинах світу. Вона базується на використанні цифр від 0 до 9 та позиційної системи числення, де вага кожної цифри залежить від її позиції у числі.
Незважаючи на те, що багато розвинених систем числення були створені такими народами, як мая, китайці та вавилонці, сучасні цифри та числа, які ми використовуємо сьогодні, виникли у середньовічному світі завдяки арабам.
Розроблена в Індії та покращена арабами, гінду-арабська система числення базується на використанні цифр від 0 до 9 та позиційної системи числення. Вона швидко стала популярною в арабському світі та затім розповсюдилася по всій європі. Ця система числення дозволяє легко записувати та обчислювати числа будь-якої величини.
Десяткова система числення, яку ми використовуємо сьогодні, була розвинена в Індії. У цій системі числа записуються за допомогою 10 цифр, починаючи від 0 до 9. Дана система числення є надзвичайно зручною для обчислень та застосування в нашому повсякденному житті.
Отже, сучасні числа та цифри пройшли чималий шлях розвитку від римської та індійської систем до гінду-арабської системи та нарешті десяткової системи кожна з них внесла свій внесок до того, як ми використовуємо числа сьогодні.
Число є одним з найголовніших об'єктів математики, який використовується для підрахунку, вимірювання та для маркування.. Символи, які використовуються для позначення чисел називаються цифрами.
Окрім того, що цифри використовуються при лічбі та вимірюванні, вони використовуються також для маркування (наприклад, як номер телефону), упорядкування (серійний номер і для кодування (ISBN). Взагалі, термін число може вказувати на символ, слово або математичну абстракцію. Наша здатність вимірювати, позначати та обчислювати за допомогою цифр є суттєвим аспектом нашого сучасного світу.
.
В математиці, поняття числа розширювалось з плином часу. Було додано такі поняття як нуль, від'ємні числа, раціональні числа, дійсні числа та комплексні числа, які розширюють дійсні числа. Протягом XIX століття математики почали розвивати багато різних абстракцій, які мають спільні властивості з числами або які можна розглядати як узагальнення поняття числа. Серед перших були гіперкомплексні числа, які узагальнювали комплексні числа.
Числа найчастіше поділяють на натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні та комплексні. Для зручності їх можна подати колами Ейлера (Додаток А). Натуральні числа складають частину від цілих, цілі - від раціональних, раціональні — від дійсних. Виходить система, в якій поступово додаються нові числа, але для прикладу 2 чи 1 входить одразу до усіх видів чисел. Детально розглянемо їх.
Натуральні числа – це числа, які використовуються при лічбі предметів. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такий запис називають десятковим, а такі цифри — арабськими. Якщо натуральне число записане однією цифрою, то його називають одноцифровим, двома цифрами — двоцифровим і т. д.
Щоб легше було читати натуральні числа, їх розбивають на групи справа наліво, по три цифри в кожній групі. Найперша група ліворуч може містити менше ніж три цифри. Наприклад: 57 403. Кожна група утворює класи: одиниць, тисяч, мільйонів і т. д. кожен клас має три розряди: одиниць, десятків, тисяч.
Цілі числа – це натуральні числа, протилежні натуральним і число нуль. Серед цілих чисел виділяють: парні та непарні числа, прості і складені, числа Фібоначі та досконалі числа.
Парне число - ціле число, яке «ділимо порівну» на два, тобто ділиться на два без остачі; непарне число є цілим числом, яке не ділиться на два без остачі. Еквівалентне визначення непарного і парного числа таке: непарне число є цілим числом виду n = 2k + 1, де k є цілим числом, а парне число має вигляд n = 2k, де k - ціле число.
Просте число - ціле число більше одиниці, яке не є добутком двох менших додатних цілих чисел. Перші декілька простих чисел: 2, 3, 5, 7 і 11. Серед простих чисел є поняття щасливого числа.
Щасливе число (англ. lucky number) в теорії чисел — натуральне число з множини, що генерується «решетом», аналогічним решету Ератосфена, яке генерує прості числа. Наприклад 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33…
Складені числа - це числа, які мають більше двох дільників.
Числа Фібоначі у математиці– це числова послідовність задана рекурентним співвідношенням другого порядку. Перші два члени цієї послідовності – одиниці, а кожний наступний - сума значень двох попередніх чисел:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
У теорії чисел досконале число - натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), тому 6 — досконале число.
Раціональні числа – це числа множина чисел, яка об’єднує множину цілих та дробових чисел.
Ірраціональні числа - це числа, які не є натуральними, цілими чи раціональними. Найчастіше це числа які не можливо записати у вигляді десяткового дробу, адже він буде нескінченним. Найвідомішим прикладом є число π, яке дорівнює 3,141592… Також ірраціональними числами вважають √3 = 1,732050… Дії з ірраціональними числами можуть давати як ірраціональні, так і раціональні числа.
Дійсні числа можна уявити як пряму з порядком усіх чисел, або як звичайну лінійку. До дійсних чисел належать всі додатні, від’ємні числа, нуль, дроби, раціональні та ірраціональні числа. Дійсні числа позначаються літерою “R”.
Комплексні числа - це числа які представлені формулою x + iy. Де x та y - це дійсні числа, а i - уявна одиниця (число, яке при піднесені до квадрата дає від’ємну одиницю).
Гіперкомплексні числа - елементи алгебраїчних структур, що будуються внаслідок подальшого узагальнення поняття про число після комплексних чисел. Кватерніони й октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.
Слід зазначити, що ще є числа-гіганти та числа карлики, які використовуються при здійснені розрахунків та виражені певних показників в тілі людини
Отже, впродовж всієї історії існування людини, математики поступово розширювали і розширюють набір усіх відомих чисел. Поява нових видів чисел і числення тісно пов'язана з розвитком людського суспільства. Разом з тим, на кожне розширення числової системи можна дивитися з математичної точки зору, обґрунтовуючи таке розширення, як правило, розширенням можливостей виконувати деяку математичну операцію.
РОЗДІЛ 3 ОРГАНІЗМ ЛЮДИНИ В ЧИСЛАХ
Спробуємо розібратися, які види чисел є в організмі людини та про що вони розповідають. Натуральні числа знайти не важко, один ніс, два ока, дві руки, ноги, нирки, двадцять пальців, тридцять два зуба і т.д. Середня кількість волосся на голові людини 140-160 тисяч, а довжина на яку виростає волосся впродовж усього життя людини складає 750 км. Отже, натуральні числа дають нам зрозуміти кількість органів, клітин, мікроелементів в організмі людини. Наприклад коли тобі кажуть шо в людини тридцять зубів, то ти розумієш, що в неї або не виросло ще два зуба, або їх видалили. Це на перший погляд елементарно, але як би не було натуральних чисел, як би тоді ми дізналися подібну інформацію?
Наступним видом чисел є цілі числа. Цілі числа включають в себе додатні та від’ємні. Знайдемо від’ємні цілі числа в організмі людини. В самому організмі від’ємних чисел не має, про те вони використовуються при записі чисел карликів стандартному вигляду. Наприклад всі ми знаємо, що тіло людини складається на 60 % з води, на 34 % з органічних речовин, на 6 % - з неорганічних. Основними хімічними елементами, що формують органічні речовини є вуглець, водень та кисень, крім цього, до складу органічних речовин входять азот, фосфор та сірка. До складу неорганічних речовин тіла людини входять 22 обов'язкових хімічних елементів - кальцій, магній, сірка нікель, мідь та ін. Всі хімічні елементи поділяють на макроелементи (масова частка елементу в організмі перевищує 10−2%), мікроелементи (10−3—10−5%) та ультрамікроелементи (нижче 10−5%). Ось ми і знайшли використання від’ємних чисел в числовій характеристиці тіла людини.
Коли ми розглянемо норми показників периферичної крові у новонародженого (Додаток Б), то знайдемо тут і цілі і дробові числа, також побачимо числа велетні, які записані в стандартному вигляді числа і вказують на кількість лейкоцитів та еритроцитів. Тобто по числових показниках крові, лікарям легше визначити стан зоров’я людини, яка до них звернулася.
Прості числа 1, 2, 3, 5, 7… де ж вони? Знайдемо і їх. Розглянемо скелет дорослої людини. Скелет дорослої людини містить 206 кісток, що на 94 менше ніж в дитини при народжені. Скелет в людини один, він складається із двох частин: хребет та грудна клітка. Вільні верхні кінцівки складаються із трьох відділів. Хребет людини утворений 33-34 хребцями, поділеними на 5 відділів. Грудна клітка утворена ребрами та грудниною. Людина має 12 пар ребер, з яких перші 7 пар з'єднані безпосередньо з грудниною, наступні 3 прикріплюються до хрящів вищих ребер, а останні 2 пари розташовані вільно. Отже, досить легко ми знайшли прості числа, які характерезують організм людини. Слід зазначити, що числа 1, 3, 7, які ми вже знайшли, є також і щасливими числами.
Слід зазначити, що пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеним. Це означає, що тіло дюдини можна описати числами Фібоначчі. Послідовність Фібоначчі виглядає так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 і так далі. Кожне число з ряду Фібоначчі, розділене на подальше, має значення, що прагне до унікального показника, що становить 1,618. Перші числа ряду Фібоначчі не дають настільки точне значення, проте у міру наростання, співвідношення поступово вирівнюється і стає все більш точним. Золотий переріз в рисах обличчя людини – це критерій досконалої краси. Власне точне наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського ока. Перевіримо на власному прикладі існування золотих пропорцій в рисах мого обличчя.
ширина обличчя 12,8 см, висота лоба 6,5 см – 1,96
ширина рота 5,5 см, ширина носа 3,5 см – 1,57
ширина носа 3,5 см, відстань між ніздрями 2,5 см – 1,4
відстань між зіницями 5,2 см, відстань між бровами 2,7 см – 1,92
відстань між центральною точкою з´єднання губ до основи носа 4 см, довжина носа 5,1 см -1,28.
Проаналізувавши отримані дані, стає зрозуміло, що ідеалом краси звичайно моє обличчя не є, про те показники пропорцій частин мого обличчя свідчать, що все можливо в майбутньому, адже я росту та розвиваюся.
Досконале число 6 теж має своє місце в числовій характеристиці організму. Людина може відчувати 6 видів зовнішніх відчуттів: зорові, слухові, нюхові, тактильні (дотикові), смакові і кінестичні відчуття.
Ірраціональні числа теж присутні в організмі людини. Вони будуть з’являться в тому випадку коли ми будемо шукати відношення результатів деяких показників здоров’я людини до показників норми.
Числа велетні в тілі людини знайти досить просто: нервова система людини містить понад 100 мільярдів нейронів; в одній краплі крові, об’ємом 1мм.куб міститься 5мільйонів мілких тіл червоного кольору, які надають колір для крові та розносять кисень по всьому організмі. В тілі людини нараховують 100-160 мільярдів капілярів.
Отже, як бачимо в організмі людини наявні всі види чисел. Вони відіграють велику роль у вивчені організму людини та його властивостей. Допомагають ставити вірні діагнози, характеризувати динаміку розвитку людини.
Наступним завданням мого наукового дослідження – з’ясувати, як учні мого класу розуміються в числах. Чи знають вони, яку інформацію про організм людини несе кожне число. Для цього було складено анкету (Додаток В) та проведено анкетування серед учнів класу. Результати анкетування подано в таблиці (Додаток Г) та у вигляді діаграми (Додаток Д). Анкетування учнів показало, що всі учні класу чітко розрізняють всі види чисел, які вивчаються в шкільному курсі математики. Проте, відсоток учнів не знали про існування досконалих, комплексних та гіперкомплексних чисел. Слід зазначити, що здивування учнів було викликане тим, що 7 не єдине щасливе число, а таких чисел є досить багато.
Що стосується чисел в організмі людини, то більшість учнів також чудово справилися із завданнями про числові дані людського тіла. Тому, можна зробити висновок, про те, що учні розуміють важливість існування числа в нашому тілі.
Протягом багатьох століть числа були, є і мабуть залишаться нерозривною частиною нашого життя. Вони оточують нас повсюдно: від щоденного використання десяткової системи числення до складних математичних операцій та теорій.
Поняття числа виникло ще в далекій давнині. А отже, сучасні числа та цифри пройшли чималий шлях розвитку: від римської та індійської систем до гінду-арабської системи та нарешті десяткової системи кожна з них внесла свій внесок до того, як ми використовуємо числа сьогодні. Отже, число - це міра кількості чогось.
Існують наступні види чисел, якими користуються люди на даному історичному етапі розвитку: натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні, комплексні та гіперкомплексні.
Використання кожного з видів чисел, крім комплексних та гіперкомплексних чисел було знайдено при досліджені організму людини.
Тіло людини складається з скелета, в якому міститься близько 300 кісток; до досягнення дорослого віку кількість кісток зменшується приблизно до 206, за рахунок зрощення ряду дрібних кісток. Скелет складається з 3 частин: скелету голови, тулуба та кінцівок. Скелет голови складається з двох відділів: мозковий утворений 8 кістками та лицьовий – містить 15 кісток. Скелет тулуба складається з хребта та грудної клітки, які теж налічують точну кількість кісток. М’язова система людини налічує близько 400 поперечно смугастих м’язів. Нервова система людини містить понад 100 мільярдів нейронів. Характеристика серцево-судинної системи теж містить велику кількість числових характеристик. Наприклад, в одній краплі крові, об’ємом 1мм.куб міститься 5мільйонів мілких тіл червоного кольору, які надають колір для крові та розносять кисень по всьому організмі. В тілі людини нараховують 100-160 мільярдів капілярів. Наступною системою в тілі людини є дихальна. Доросла людина, перебуваючи в стані спокою, здійснює в середньому 14 дихальних рухів на хвилину, однак частота дихання може бути фізіологічне коливання ЧДР (12 до 24 за хвилину),у новонароджених дітей частота дихання у спокої 40-60 в хвилину. Доросла людина робить 15-17 вдихів-видихів на хвилину, а новонароджена дитина робить 1 вдих в секунду. Травна система людини, також містить числові характеристики. Для прикладу травний канал у дорослої людини становить близько 8-10м. Ендокринна система здійснює регуляцію роботи організму за допомогою гормонів. Показники, яких вказують на стан здоров’я людини. Для прикладу норма вмісту в крові гормону тироксину щитовидної залози 1,5-2,9мкг/100мл. До клітин імунної системи відносять лейкоцити, лімфоцити тромбоцити, фагоцити кількість яких в крові теж має відповідати нормам. Покривна система - система органів, що захищає тіло від пошкодження та складається з шкіри, залоз зовнішньої й інколи внутрішньої секреції та численних виростів, таких як волосся, нігті. У людини площа тіла становить близько 1,7 м2.
Отже, як бачимо, числа відіграють велику роль у вивчені організму людини та його властивостей. Допомагають ставити вірні діагнози, характеризувати динаміку розвитку людини.
Анкетування учнів, щодо знання ними видів чисел, якими характеризується організм людини показало, що всі учні класу чітко розрізняють всі види чисел, які вивчаються в шкільному курсі математики. Проте, відсоток учнів не знали про існування досконалих, комплексних та гіперкомплексних чисел. Слід зазначити, що здивування учнів було викликане тим, що 7 не єдине щасливе число, а таких чисел є досить багато. Що стосується чисел в організмі людини, то більшість учнів також чудово справилися із завданнями про числові дані людського організму.
Тому, можна зробити висновок, про те, що учні розуміють важливість існування числа в нашому тілі. А числа, якими користується людина в повсякденному житті, характерезують стан її здоров’я.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
- А.Г. Мерзляк , В.Б. Полонський, М.С. Якір. Видавництво: Харків, Гімназія, 2018.
- Гуменяк О. В. Світ чисел. Л. : Каменяр, 2011.
- Довідник з математики для учнів та абітурієнтів / І. М. Конет, Л. О. Сморжевський ; Кам'янець-Подільський держ. педагог. ун-т. Кам'янець-Подільський: Абетка, 2001.
- Е. Карпеченко Таємниці чисел .Математика. Прил. До газети "Перше вересня" №13 2007.
- І. Я. Депман. Н. Я. Виленкин. За сторінками підручника математики. Посібник учнів 5-6 класів. Видавництво "Просвіта" 1989.
- Історія математики: посібник / Бевз В. Г. Х. : Видавнича група «Основа», 2006.
- Коба В., Хмура О. Позакласна робота з математики у школі. "Бібліотека вчителя математики". Київ. Радянська школа 1968.
- Воробйов Н.Н. Числа Фібоначчі. - Наука, 1978. - Т. 39. - (Популярні лекції з математики) .
- Маркушевич А.І. Зворотні послідовності. - Держ. Видавництво Техніко-Теоретичною Літератури, 1950. - Т. 1. - (Популярні лекції з математики).
- Харрисон Дж., Уайнер Дж., Таннер Дж., Барникот Н. Биология человека.- М.: Мир, 1968.
- Чепа М.-Л. А. Шлях від народження до смерті: осмислення сутнісних рівнів людського розвитку / Проблеми загальної та педагогічної психології. Збірник наукових праць Інституту психології їмені Г. С. Костюка АПН України.- К., 2001, Т.ІІІ, Ч.2.- С.31-40.
- Кукушкін Ю. М. - Хімічні елементи в організмі людини [Архівовано 29 грудня 2011 у Wayback Machine.]
- http://uk.wikipedia.org/wiki
- http://elementy.ru/trefil/21136
про публікацію авторської розробки
Додати розробку