Науково-дослідницька робота МАН "Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера"

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера. Олійник Олег Ігорович, учень 10 класу Тлумацького ліцею №1 Тлумацької міської ради Науковий керівник : Насадик Марія Ярославівна, учитель математики Тлумацького ліцею №1 , Тлумацької міської ради. Відділення : математики Секція : математика

Предметом дослідження є системи лінійних рівнянь n порядку , які розв’язуються методом Крамера. Для виконання сформульованої мети дослідження , були поставлені наступні завдання: Провести аналіз та історію виникнення та ввести понятя «матриця» , «визначник» та їх властивості ; Ввести поняття систем лінійних рівнянь з n невідомими та її властивостей ; Опрацювати правило Саррюса та формули Крамера , а також поняття «алгебраїчного доповнення». Побудувати і обгрунтувати алагоритм системи лінійних рівнянь n порядку ,за методом Крамера. Застосувати алагоритм при розв’язуванні системи лінійних рівнянь n порядку; Підготувати збірку систем лінійних рівнянь для самостійного опрацювання. Методи дослідження у роботі використані такі: пошуковий по наявній літературі та інтернет ресурсах із аналізом знайденого матеріалу, порівняння, систематизація та конкретизація

Ключові слова:квадратна матриця, визначник(детермінанат), алгебраїчне доповнення, мінор, система лінійних рівнянь n порядку. Матрицею називають таблицю упорядкованих чисел або будь-яких інших об'єктів, розташованих в m рядках та n стовпцях. Визначником n-го порядку квадратної числової матриці А по­рядку n називають число, яке знаходиться з елементів матриці А за певним правилом і позначають |А|, або ∆, або det A.

Визначник (детермінант) третього порядку Визначник третього порядку обчислюється за правилом трикутників ПРАВИЛОМ САРРЮСА

Приклад 1

Мінором M[j,k] визначника є визначник, одержаний з даного викреслюванням рядка та стовпця, які стоять на перетині до елемента a[j,k]. Мінори є визначниками на одиницю меншого порядку ніж матриця для якої їх шукають.

Алгебраїчне доповнення А[j,k] – це мінор M[j,k], взятий зі знаком "плюс" , якщо j+k – парне число і зі знаком "мінус" –якщо непарне

Приклад 2

Габріель Крамер Крамер є одним з творців лінійної алгебри. Однією з найвідоміших його робіт є «Введення в аналіз алгебраїчних кривих», опублікований французькою мовою в 1750 році. У ній Крамер будує систему лінійних рівнянь і вирішує її за допомогою алгоритму, названого пізніше його ім'ям — метод Крамера.

Алгоритм розв’язку системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:1 Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:2 Аналогічним чином обчислюємо допоміжні визначники:3 . Використовуючи формули Крамера , знаходимо рішення системи

Приклад розв'язання системи 3 розміру

Приклад розв'язання системи 4 розміру

У ході науковової роботи досягнуто цілей:• Проведено аналіз та історію виникнення та введено поняття «матриця» , «визначник» та їх властивості ;• Введено поняття систем лінійних рівнянь з n невідомими та її властивостей ;• Опрацювано правило Саррюса та формули Крамера , а також поняття «алгебраїчного доповнення».• Побудувано і обгрунтувано алагоритм системи лінійних рівнянь n порядку ,за методом Крамера. • Застосувано алагоритм при розв’язуванні системи лінійних рівнянь n порядку; • Підготовлено збірку систем лінійних рівнянь для самостійного опрацювання.