науково-дослідницької роботи « Застосування похідної для розв’язування алгебраїчних задач та задач прикладного змісту»

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Вінницької обласної державної адміністрації

Вінницьке територіальне відділення МАН України

Могилів - Подільське наукове товариство «Мала Академія Наук»

2017 рік

ТЕЗИ

науково-дослідницької роботи « Застосування похідної для розв’язування алгебраїчних задач та задач прикладного змісту»

Автор – Петровська Анастасія, Вендичанська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів, гімназія, 11 клас.

Науковий керівник – Буланюк Олена Святославівна, учитель математики Вендичанської СЗШ І-ІІІ ст, гімназії, спеціаліст другої кваліфікаційної категорії.

Одним з основних розділів шкільного курсу алгебри і початків аналізу є розділ « Похідна та її застосування ». Під час вивчення цієї теми я звернула увагу на те, що застосування похідної в основному зводиться до математичних задач і частково фізичних. Тому я вирішила проаналізувати застосування похідної не тільки при дослідженні та побудові графіків функцій , а також більш прикладної спрямованості –розв’язуванні задач з економіки,біології, хімії і фізики.

Тема дослідницької роботи вибрана не випадково, оскільки застосування похідної дозволяє більш ефективно вирішувати багато завдань підвищеної складності. Застосування похідної для розв'язування задач потребує від учнів нетрадиційного мислення. Слід зазначити, що знання нестандартних методів і прийомів рішення завдань сприяє розвитку нового, нешаблонного мислення, яке можна успішно застосовувати також і в інших сферах людської діяльність. Це доводить актуальність даної роботи.

Розділ алгебри та початків аналізу “Похідна та її застосування” займає значне місце у шкільному курсі математики, в першу чергу тому, що має велике прикладне значення.

Метою даної роботи є дослідження поняття «похідна», її геометричного і механічного змісту а також застосування похідної при розв’язуванні прикладних задач та вивчення застосування похідної при розв'язування задач з алгебри і початків аналізу.

При вивченні змінюються дуже часто величини і виникає питання про швидкость. Так ми говоримо про швидкість руху літака, поїзда, автобуса, ракети, про швидкість падіння каменя, обертання шківа і т.д. Можна говорити про швидкість виконання певної роботи, про швидкість протікання хімічної реакції, про швидкість зростання населення в даному місті. Про швидкість можна говорити по відношенню до будь-якої величини, яка змінюється з часом. Для всього цього використовується поняття похідної.

Актуальність теми полягає в необхідності більш грунтовного дослідження застосування похідної при розв’язуванні прикладних задач.

Для досягнення даної мети нам необхідно було розв’язати такі завдання:

1.Дати визначення похідної ,її геометричного та механічного змісту.

2.Застосування похідної при дослідженні та побудові графіків функцій.

3.Розглянути застосування похідної при розв’язанні економічних, фізичних,

хімічних задач та задач з алгебри.

ВСТУП

Математика цікава тоді,

коли живить нашу винахідливість і здатність міркувати.

Д.Пойа Виникнення математичного аналізу не випадково припадає саме на XVII

століття.

У цю епоху розвиток науки і техніки дійшов тієї межі, коли для подальшого просування вперед необхідно було більш глибоке проникнення в сутність речей,

вивчення законів природи та процесів, що відбуваються в навколишньому середовищі.

Усі ці процеси відбуваються з певною швидкістю, всі величини, що беруть участь у них, змінюються, причому у взаємозв'язках. Тому постала необхідність у такому апараті, за допомогою якого можна було б вивчати змінні процеси. Саме такий апарат і був розроблений у математичному аналізі. Тобто виникнення математичного аналізу було історично неминучим: цього вимагали потреби механіки, фізики та техніки. У свою чергу, саме ці вимоги були визначені рівнем розвитку виробничих сил суспільства. Проте повне його обґрунтування було подане лише наприкінці XIX століття.[6, ст.28]

Поняття похідної як швидкості зміни функції виникло в XVII столітті у зв'язку з потребою розв'язати деякі математичні і фізичні задачі. Великий І. Ньютон відкрив загальній спосіб обчислення швидкості по заданому шляху, з допомогою цього способу для кожної функції s можна побудувати нову функцію v. Цю функцію називають похідною функції s, а сам перехід від функції s до функції v -

диференціюванням.

Відкриття Ньютона явилось поворотним пунктом в історії природничих наук.

Виявилось, що кількісні характеристики різних процесів, які досліджуються у фізиці, хімії, біології, в технічних дисциплінах можуть бути подані на мові математичного аналізу, що вивчає зв’язок між функціями і їх похідними.

Важливою і найпростішою моделлю для побудови похідної залишається модель, вивчена І. Ньютоном — модель механічного руху. В цій моделі початковою функцією є шлях, її похідною — швидкість. Тому найпростіша відповідь на питання, що таке похідна є відповідь, похідна — це швидкість. Результати своїх досліджень Ньютон виклав у трактаті «Метод функцій нескінченних рядів»,

опублікованому 1736 року. [1,ст.149]

Одночасно з Ньютоном до поняття похідної прийшов німецький математик Лейбніц, вивчаючи дотичні до довільних кривих.

Як пов’язані між собою задачі знаходження швидкості і побудови дотичної?

Накреслимо графік залежності шляху s від часу t. Допустимо, спочатку, що на протязі певного проміжку часу рух рівномірний. Тоді відповідна ділянка матиме вигляд відрізку деякої прямої l. Швидкість при цьому постійна, вона дорівнює кутовому коефіцієнту прямої l. А з іншого боку пряма l і буде дотичною до графіка руху в точках даного відрізку. В першому підручнику по математичному аналізу, що був написаний 300 років тому, учнем Лейбніца маркізом Лопіталем було сказано:

якщо продовжити одну із ланок MN кривої, що складаю криву лінію, то продовжена таким чином сторона буде називатися дотичної до кривої в точці M чи N.

Рис. 1 Рис. 2

На цьому маленькому відрізку швидкість руху постійна і рівна кутовому коефіцієнту прямої MN. Отже, швидкість рівна кутовому коефіцієнту дотичної до графіка шляху. [2,ст.51-53]

Таким чином, актуальність теми полягає в необхідності більш грунтовного дослідження застосування похідної при розв’язуванні прикладних задач.

Об'єктом дослідження наукової роботи є прикладні задачі, під час розв’язування яких використовується похідна.

Предметом дослідження є застосування похідної при розв'язуванні задач з математики,хімії, фізики, економіки.

Дане дослідження виходить з тези « математику треба вчити так, щоб вміти її застосовувати».

Методи дослідження обумовлені поставленими в роботі науковими цілями й завданнями. Я використовувала прийоми аналізу ,порівняння,узагальнення.

Наукова новизна роботи полягає у тому, що в ній розглянуто практичне застосування похідної під час розв’язування задач з фізики ,хімії,біології,економіки.

Практичне значення дослідження полягає у тому, що його висновки та основні твердження можна використовувати для поглибленого вивчення теми

«Похідна». Зважаючи на важливу роль прикладних задач сприяє посиленні мотивації вивчення похідної а також формуванні в учнів здатностей застосування знань при вивченні інших предметів. Матеріали та результати роботи можуть бути використані при підготовці до ЗНО, а також для факультативних занять .

РОЗДІЛ 1. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ, ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА ФІЗИЧНИЙ

(МЕХАНІЧНИЙ) ЗМІСТ

1.1. Означення похідної

Нехай задано функцію у=f(х) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку x₀ цього проміжку, надамо значенню х₀ довільного приросту ∆х

(число ∆х може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка х₀+∆х

належала даному проміжку.

Тоді:

1) обчислимо в точці х₀ приріст ∆у = ∆f(х₀) функції:

∆у = ∆f(х₀)= ∆у = f(х₀+∆х)- f(х₀);

х

2) складемо відношення

3) Знайдемо границю цього відношення за умови, що ∆х→0, тобто:

Якщо дана границя існує, то y називають похідною функції у=f(х) у точці х₀ і

позначають f'(х₀) або y'.

Похідною функції у=f(х) у точці х₀ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а

границя існує, тобто:

Функцію, яка має похідну в точці х₀, називають диференційованою в цій точці. Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Нехай D₁ — множина точок, у яких функція у=f(х) диференційована. Якщо кожному поставити у відповідність число f'(х), то одержимо нову функцію з областю визначення D₁. Цю функцію позначають f':

наближатися до швидкості в момент t₀.

Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, у момент часу t₀

називають границю середньої швидкості за умови, що ∆t наближається до нуля:

Числа ∆t , ∆s називають відповідно приростом часу і приростом шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, є границя відношення приросту шляху ∆s до відповідного приросту часу ∆t, коли приріст часу наближається до нуля.

Висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом s=s(t), то швидкість її руху v(t) у момент часу t дорівнює похідній s'(t): v(t)= s'(t).

1.3. Геометричний зміст похідної

Для  введення  означення  дотичної  до  кривої

розглянемо функцію у=f(х) і її графік — криву лінію

«рис. 1.3.1». Нехай точки А і М належать графіку функції у=f(х), проведемо січну АМ.

Зафіксуємо точку А. Нехай точка М,

рухаючись по кривій, наближається до А. При цьому

січна  АМ  буде  повертатися  навколо  точки А  і  в

«Рис. 1.3.1»

граничному положенні при наближенні точки М до

точки А січна займе положення прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кривої в точці А.

дотичної, бо якщо точка М буде наближатися до точки А по лівій частині кривої, то січна МА займе граничне положення АQ.

Якщо точка N буде наближатися по правій частині кривої, то січна NА займе граничне положення АТ. Одержуємо дві різні прямі АQ і АТ. Це означає, що в точці

А до даної кривої дотичної не існує.

Поставимо задачу:  провести дотичну до графіка функції у=f(х) у точці

А(х₀;y₀).

Дотична — це пряма, а положення прямої у=kх+b, яка проходить через точку

А(х₀;y₀), визначається кутовим коефіцієнтом прямої k=tg , де — кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ (рис. 1.3.3).

Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай у точці А(х₀;y₀) «рис. 1.3.4» кривої у=f(х)

існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1. надамо аргументу х₀ приросту ∆х, одержимо нове значення аргументу х₀+∆х;

2. знайдемо   відповідний   приріст   функції

∆у=f(х₀+∆x)-f(x₀);

РОЗДІЛ 2. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ

2.1. Застосування похідної до наближених обчислен

Функція у=f(x) називається нескінченно малою, якщо  lim  f ( x)  0 .

x a

( x)

Якщо функція y=f(x) має похідну в точці х₀, то за означенням:

_{f '( x0 )  lim} ^{f ( x}0 ⁾

x 0 _x

Адже тоді функція

Так, як h( x ) x нескінченно мала функція вищого порядку порівняно з x ,

то маємо

f ( x₀ )  f '( x₀ ) x

Застосовуючи цю формулу можна вивести наближену формулу для знаходження за якою обчислюються наближені значення коренів з чисел

n  _x

ⁿ x₀ x  ⁿ x₀ ^0x[9,ст.3], [11,ст.93](x0).n x₀

Приклади. Обчислити наближене значення коренів

Відповідь: 2,006

13

Відповідь: 3,003

2.2. Застосування похідної до дослідження функції на побудови її графіка

У курсі математичного аналізу похідна застосовується, як правило, з метою:

1. Дослідження функцій на монотонність.

2. Дослідження функцій на екстремум.

3. Знаходження найбільших і найменших значень функцій.

4.   Дослідження їх на опуклість, угнутість та знаходження точок перегину. (див. додаток А,Б)

2. Дана функція не є ні парною, ні непарною, неперіодична.

3. Точки перетину з осями координат та проміжки знакосталості функції з віссю Оу точок перетину немає, бо х ≠ 0. Тоді у ≠ 0, тобто з віссю Ох точок перетину також немає. Визначимо знак функції на D(у).

Отже, функція додатна, якщо х є (-∞; 0) та x є (1; +∞), функція від’ємна,якщо

• є (0; 1) .

4. Похідна та критичні точки. y' (x)=

y' (x) = 0; 2x – 1 = 0; x = . y' (x) не існує в точках  x = 0  і  x= 1.

5) Інтервали монотонності та точки екстремуму:

y .

6) Розглянемо функцію на кінцях області визначення і знайдемо асимптоти.

Якщо х 0 зліва, то у(х)

Якщо х 0 справа, то у(х)

Якщо х 1 зліва, то у(х)

Якщо х 1 справа, то у(х)

Отже, вертикальні асимптоти — х = 0тах = 1.

Оскільки , то у = 0 - горизонтальна асимптота.

7) Друга похідна, напрям опуклості, точки перегину.

Y

2.3. Застосування похідної в геометрії

Приклад 1. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до параболи y  x² 3 в точці

x  ¹₂

Розв’язання

1. Знаходимо похідну заданої функції y '  2  x .

2. Для  знаходження  кутового  коефіцієнта  дотичної  до  параболи  в  точці  з

абсцисою x  ¹₂ підставляємо це значення в y ' :

6. ' ^_ ^{1 }_  1, тобто tg 1.

• 2 

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 1. 3) Якщо tg  1    45⁰ .

Відповідь: k 1

Приклад 2. Записати рівняння дотичної до графіка функції в точці

Підставляючи ці значення в рівняння дотичної y  y₀  f '( x₀ )  ( x  x₀ ) ,

дістанемо

y  3  4  ( x  1) 4 x  7 .

Відповідь: Рівняння дотичної y 4 x  7

Приклад 3. У прямокутний трикутник з гіпотенузою

24 см і кутом 60 ° вписано прямокутник, основа якого лежить на гіпотенузі. Якими мають бути довжини сторін прямокутника, щоб його площа була найбільшою? [4,ст.416]

«Рис.2.3.1»

Розв’язання

Нехай прямокутник DEFG вписано в трикутник ABC «Рис. 2.3.1». Оскільки

BA=24 см, то АС=12 см як катет, що лежить проти кута 30°. Нехай DG=EF=x (0<x<24).

Тоді у  CEF CF= ₂^x ; далі FA=CA-CF=12- ₂^x .

У  FGA маємо

FG=FA  sin 60 ⁰  ₂³  (12  ₂^x) .

Площа прямокутника DEFG

S '( x )  63  ₂³ x ,

S '  0 , якщо x 12 . Розставимо знаки похідної «рис 2.3.2». Отже, x 12 — точка максимуму. Тоді умові задачі задовольняють

«Рис 2.3.2»

2.4. Застосування похідної в фізиці

Задачі що приводять до поняття похідної.
Нехай з міста А до міста В рухається автомобіль. Відстань між містами дорівнює Sкм. і автомобіль проходить її за T годин.
Якби автомобіль рухався рівномірно, тобто проходив однакову відстань за однакові проміжки часу незалежно від того, на які ділянці шляху він знаходиться, то за означенням, швидкість руху автомобіля дорівнювала б відношенню довжини шляху до часу за який пройдено цей шлях:
Припустимо тепер, що рух не рівномірний. Тоді справа з означенням швидкості зразу стає набагато складнішою. Відношення   характеризує тільки так звану “середню швидкість” і майже зовсім не дає інформації про те, як саме рухається автомобіль. Справді, середня швидкість є стала величина, що не змінюється з часом, а “реальна швидкість” руху автомобіля різна в різні моменти часу.
Ми звикли до інтуїтивного поняття швидкості. Всі розуміють таку фразу: “спочатку автомобіль стояв, потім почав рухатись, і швидкість його руху поступово зростала”. Але це означає, що ми маємо на увазі не деяку середню швидкість, а швидкість руху в кожний момент часу. Але як дати строге з точки зору математики означення цієї “миттєвої швидкості”? Можна підійти до цієї справи так.
Позначимо через S(t) – відстань, яку пройде автомобіль за час t від початку руху. Якщо в момент t автомобіль знаходився в деякій точці Е, то в момент часу t+∆t він буде знаходитись в деякій інші точці Е’, що знаходить на відстані S(t+∆t) від початкової. Тоді це означає що за час ∆t автомобіль пройшов відстань S(t+∆t)-S(t)=∆S. Середня швидкість на цьому проміжку часу [t, t+∆t] дорівнюватиме відношенню
Якщо зменшувати ∆t, то дістанемо середню швидкість на все меншому проміжку часу, який починається з t, і тому природно називати швидкість руху в момент часу t
Означення похідної
З фізичної точки зору похідна є швидкість зміни характеристики деякого фізичного процесу, коли ця характеристика змінюється з часом.
Означення. Якщо в кожній точці проміжку Х існує похідна f’(x), то її називають похідною функції від функції f(x), або просто похідною від f(x) (на проміжку Х).
Похідну часто позначають ще так:  , ніби вона є відношення деяких величин df(x) та dx.
На основі цього означення можна сказати, що швидкість V(t) руху тіла є похідна від функції S(t) – шляху, який пройшло тіло за час t.
Всім добре відоме фізичне поняття прискорення. З ним пов’язана, наприклад, поняття рівномірного руху, рівноприскореного руху. У випадку з прискоренням ми повинні знайти таку характеристику руху, яка б відображала “швидкість зміни швидкості руху”, тобто якщо швидкість з часом зростає – прискорення повинно збільшуватися, в будь-якому випадку бути додатним; якщо швидкість стала – прискорення не повинно бути, або точніше, воно повинно дорівнювати нулю; якщо швидкість спадає, то прискорення від’ємне. Позначивши через V(t) швидкість в момент часу t, введемо поняття середнього прискорення на проміжку від t0 до t0+∆t як відношення 
приросту швидкості на цьому проміжку до довжини проміжку. Отже, строгим означенням прискорення руху тіла є таке: 
Прискорення в момент часу t0 називається границя
якщо вона існує, де V(t) – швидкість руху в момент часу t.
Таким чином, прискорення є похідна швидкості.
a(t)=V’(t), або  .
а) Закон вільного падіння.
Запишемо закон вільного падіння:
Для середньої швидкості падіння в проміжку часу (t, t+∆t) маємо 
а для швидкості в момент t 
Звідси видно, що швидкість вільного падіння пропорційна часу руху (падіння).Застосування похідної в фізиці розглянемо на прикладі таблиці

Розв’яжемо фізичні задачі на знаходження сили, яка діє на тіло в момент часу, сили струму,кутову швидкість .

Приклад 1. Матеріальна точка масою 4кг рухається прямолінійно по закону

S (t )  4t  t ²  ¹₆ t³ (м). Знайти силу, яка діє на неї в момент часу t  2 (с).

Розв’язання Так, як F  ma , то знаходимо прискорення:

1. v  S '(t )  4  2t  ¹₂ t ²

2. a  v '(t )  S ''(t )  2 t , при t  2 , a  0

Відповідь: F  0

Приклад 2. Кількість електроенергії, що проходить через провідник,

починаючи з часу t  0 задається формулою Q  3t ²  3t  4 (Кл). Знайти величину сили струму в кінці 6-ї секунди.

Розв’язання Сила струму є похідна від кількості електрики по часу, отже, потрібно знайти

похідну заданої  функції  Q  3t ²  3t  4  і  обчислити її  значення при  t  6 .              Маємо

I  Q '  6t 3 .

Якщо t  6 , I  33 А.

Відповідь: I  33 А.

Приклад 3. Маховик, що затримується гальмом, за t с повертається на кут

  5t  0, 4t²  рад. Знайти  кутову  швидкість  W (t)  маховика  в  момент  часу  t  2 с  і

обчислити момент зупинки руху.

Розв’язання

Кутова швидкість  W (t) в момент часу  t с ( t час до зупинки) дорівнює