Опорні схеми (властивості логарифмів, логарифмічна функція, основні типи логарифмічних рівнянь, нерівностей).Умови та розв"язки завдань ЗНО з даної теми.

𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃− показник степеня до якого необхідно піднести 𝐚, щоб отримати 𝐛 𝒍𝒐𝒈𝒂b=c 𝒂𝒄=b. ОДЗ:𝒂>𝟎𝒂≠𝟏𝒃>𝟎 

ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ1. Основна логарифмічна тотожність 𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃=b.2. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂 =1 3. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏=𝟎4. 𝒍𝒐𝒈𝒂xy = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙+ 𝒍𝒐𝒈𝒂y (х>0, у>0 )5. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 − 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚   (х>0, у>0 )6. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙𝒑 = p𝒍𝒐𝒈𝒂𝐱 (х>0) 7. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒑x = 𝟏𝒑𝒍𝒐𝒈𝒂𝐱 (х>0 )8. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 = 𝒍𝒐𝒈𝒄𝒃𝒍𝒐𝒈𝒄𝒂 - перехід до іншої основи!!! 

ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ y=𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 0111

ОСНОВНІ ТИПИ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}ТИП РІВНЯННЯСПОСІБ РОЗВ»ЯЗАННЯ1. logax=c за означенням   𝒂𝒄=x.2. logax=logay x=y3. m𝒍𝒐𝒈𝒂𝟐𝐱+𝐛𝒍𝒐𝒈𝒂𝐱+𝐜=𝟎 заміна 𝒍𝒐𝒈𝒂𝐱=𝐭 → квадратне рівняння4. 𝒙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙+𝒎 =cлогарифмування лівої і правої частини рівняння 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙+𝒎 =𝒍𝒐𝒈𝒂c → (𝒍𝒐𝒈𝒂x+m)𝒍𝒐𝒈𝒂x =𝒍𝒐𝒈𝒂c →р-ння 3.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}ТИП РІВНЯННЯСПОСІБ РОЗВ»ЯЗАННЯ1. logax=c 2. logax=logay x=y. Обов»язкова перевірка отриманих коренів!!! УВАГА! При використанні властивості 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙𝒑= p𝒍𝒐𝒈𝒂x (р- парне натуральне число) можна втратити корені!  

СХЕМА РОЗВ»ЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ НЕРІВНОСТІ ОДЗ Розв»язування нерівності (див. основні типи логарифмічних нерівностей ) Спільне п.1 і п.2

ОСНОВНІ ТИПИ ЛОГАРИФМІЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}ТИП НЕРІВНОСТЕЙСПОСІБ РОЗВ»ЯЗАННЯ1. logax > logay x>y (якщо а>1), xc𝒍𝒐𝒈𝒂x>c·1 →  𝒍𝒐𝒈𝒂x>c·𝒍𝒐𝒈𝒂𝐚 → 𝒍𝒐𝒈𝒂x>𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂𝒄→ перехід до нерівності 1.3.m𝒍𝒐𝒈𝒂𝟐𝐱+𝐛𝒍𝒐𝒈𝒂𝐱+𝐜<(>)𝟎  заміна 𝒍𝒐𝒈𝒂𝐱=𝐭,  перехід до квадратичної нерівності𝟒. 𝒙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙+𝒎 >cлогарифмуваня: 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙+𝒎 >𝒍𝒐𝒈𝒂c → (𝒍𝒐𝒈𝒂x+m)𝒍𝒐𝒈𝒂x >𝒍𝒐𝒈𝒂c (якщо а>1) 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙+𝒎 <𝒍𝒐𝒈𝒂c → (𝒍𝒐𝒈𝒂x+m)𝒍𝒐𝒈𝒂x <𝒍𝒐𝒈𝒂c (якщо 0<а<1) перехід до нерівності 3.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}ТИП НЕРІВНОСТЕЙСПОСІБ РОЗВ»ЯЗАННЯ1. logax > logay x>y (якщо а>1), xc

ЗНО-2007𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐𝟓𝟓 = 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟓𝟐𝟓𝟏𝟐 = 𝟏𝟐𝒍𝒐𝒈𝟏𝟓𝟐5 = 𝟏𝟐∙𝟏𝟐𝒍𝒐𝒈𝟏𝟓𝟓= 𝟏𝟐∙𝟏𝟐∙−𝟏 = - 𝟏𝟒 Розв`язання. Відповідь. А

ЗНО-20071. ОДЗ х>03. Спільне п.1 і п.2.10 0 Відповідь. Б2.     Оскільки  𝟎<𝟎,𝟏 <𝟏, то  𝟏𝟎>х.     

ЗНО-2007 Розв`язання.𝒍𝒐𝒈𝟑𝟒∙𝒍𝒐𝒈𝟒𝟓∙𝒍𝒐𝒈𝟓𝟕∙𝒍𝒐𝒈𝟕𝟖𝟏 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟒𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑∙𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓𝒍𝒐𝒈𝟐𝟒∙𝒍𝒐𝒈𝟐𝟕𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓∙𝒍𝒐𝒈𝟐𝟖𝟏𝒍𝒐𝒈𝟐𝟕 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟖𝟏𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑 = 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟖𝟏= 4 Використаємо властивість логарифмів (перехід до іншої основи). Основу вибираємо довільну. Відповідь. 4

ЗНО-2007 Розв`язання.x+2 = 2x – a -x = -a-2 x = a+2. Корінь x = a+2 повинен задовольняти умови: x+2 >0 і 2x – a >0. Оскільки x+2 = 2x – a, то достатньо забезпечити виконання однієї з умов. Наприклад  x + 2 > 0,     x  > −2, а + 2  > −2, а   > −4. Відповідь. -3

ЗНО-2008 Розв`язання.𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂𝒃 = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂∙𝒃𝟏𝟐= 𝟏𝟐∙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂∙𝒃= 𝟏𝟐∙𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂+ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 = 𝟏𝟐∙𝟏+𝟕 = 4 Відповідь. Д

ЗНО-2009  𝒍𝒐𝒈𝟔𝒙−𝟑𝒙−𝟖=𝒍𝒐𝒈𝟔 𝟑𝟔;       𝒙2−𝟏𝟏𝒙+𝟐𝟒=𝟑𝟔;        𝒙2−𝟏𝟏𝒙−𝟏𝟐=𝟎;      З т-ми Вієта х𝟏=−𝟏;    х𝟐 = 12.  Перевіркою встановлюємо, що тільки х𝟐 = 12 є коренем рівняння.  Відповідь. 12 Розв`язання.

ЗНО-2010 Розв`язання.𝒍𝒐𝒈𝟑𝟏𝟖−𝒍𝒐𝒈𝟑𝟐= 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟏𝟖𝟐=𝒍𝒐𝒈𝟑𝟗 = 2 Відповідь. А

ЗНО-20101. ОДЗ х²+6х>0,      𝒙∈(−∞;−𝟔)∪(𝟎 ;+∞)  3. Спільне п.1 і п.2.20 Відповідь. чотири цілі розв‘язки2.   𝒍𝒐𝒈𝟏𝟒𝒙2+𝟔𝒙≥𝒍𝒐𝒈𝟏𝟒𝟏𝟔  .    Оскільки  0<14 <1, то  х2+6𝑥≤16,  х2+6𝑥−16≤𝟎 Розв'язання.𝒙∈−𝟖;𝟐. -6-8 Цілі розв'язки: -8; -7; 1; 2

ЗНО-2012 Розв'язання.𝒍𝒐𝒈а𝟓𝟎𝟎−𝒍𝒐𝒈а𝟒= 𝒍𝒐𝒈а𝟓𝟎𝟎𝟒=𝒍𝒐𝒈а𝟏𝟐𝟓 = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝟓𝟑== 3𝒍𝒐𝒈𝒂𝟓=𝟑∙𝒍𝒐𝒈𝟓𝟓𝒍𝒐𝒈𝟓𝒂 = 3∙𝟏𝟏𝟒 = 12 Відповідь. 12

ЗНО-2015 Розв'язання. Оскільки 5>1, то 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟏<𝒍𝒐𝒈𝟓𝟒< 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟓 Отже, 0<𝒍𝒐𝒈𝟓𝟒<𝟏 Відповідь. А

ПРОБНЕ ЗНО-2015 Розв'язання.𝟑𝟔𝒍𝒐𝒈𝟔𝟓=𝟔𝟐𝒍𝒐𝒈𝟔𝟓= 𝟔𝒍𝒐𝒈𝟔𝟓𝟐= 𝟓𝟐=25 Відповідь. Г

ЗНО-2017 Розв'язання. За рисунком видно, що розв‘язком нерівності є проміжок 𝟎;х𝟎 Зрозуміло, що х𝟎=𝟐𝒃, тому  розв‘язком нерівності є проміжок 𝟎;𝟐𝒃 . Відповідь. А𝒙𝟎 

Приклад log𝟑𝟐𝟔−𝒙−𝒍𝒐𝒈𝟑𝟔−𝒙−𝟏𝟐>𝟎       1. ОДЗ 6-х>0, х<62. Заміна 𝒍𝒐𝒈𝟑x=t t² - t -12 > 0 𝐭∈−∞;−𝟑∪𝟒;+∞ це записується ( об»єднання) 𝒕<−𝟑𝒕>𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟔−𝒙)<−𝟑𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟔−𝒙)>𝟒       𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟔−𝒙)<𝒍𝒐𝒈𝟑𝟏𝟐𝟕𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟔−𝒙)>𝒍𝒐𝒈𝟑𝟖𝟏      3>1, тому   𝟔−𝒙<𝟏𝟐𝟕𝟔−𝒙>𝟖𝟏     𝒙>𝟓𝟐𝟔𝟐𝟕𝒙<−𝟕𝟓          𝒙∈(−∞;−𝟕𝟓)∪(𝟓𝟐𝟔𝟐𝟕 ;+∞)  3. Спільне п.1 і п.2.6-755𝟐𝟔𝟐𝟕 Відповідь −∞;−𝟕𝟓∪(𝟓𝟐𝟔𝟐𝟕; 6)