Знайти найбільше та найменше значення функції на вказаному відрізку№ 41.1. 1) f(x) =3x2 – x3, [-1; 3]; f’ (x) =6x – 3x2;6x – 3x2 =0;3x(2 –x) =0;x=0 або x=2f(-1) =3∙(-1)2 –(-1)3=4;f(0) =3∙02 -03=0;f(2) =3∙22 -23=4;f(3) =3∙32 -33=0;max f(x)= f(-1) = f(2) =4; [-1; 3]min f(x)= f(0) = f(3) =0.[-1; 3]4) f(x) =x2 +8𝑥−1, [-3; 0];f’ (x) =2𝑥𝑥−1−(𝑥2+8)𝑥−12 =𝑥2−2𝑥−8𝑥−12;𝑥2−2𝑥−8𝑥−12=0 ⟹𝑥2−2𝑥−8=0,𝑥−12≠0, ⟹𝑥=−2,𝑥=4;𝑥≠1,f(-2) =(−2)2 +8−2−1 = -4;f(-3) =(−3)2 +8−3−1 = - 174=− 4,25;f(0) =02 +80−1= -8;max f(x)= f(-2) = -4; [-3; 0]min f(x)= f(0) = - 8.[-3; 0]
№41.7. Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб добуток одного із цих чисел і куба другого числа був найбільшим. Розв'язання. Нехай x (x≥ 0) – одне з таких чисел, тоді (8 – х) – інше число (x≤ 8) .f(x) = (8 – x) x3 ,f’(x) = (8x3 – x4)’ = 24x2 – 4x3,24x2 – 4x3 = 0,4x2(6 – x) = 0,x1 = 0 або x2 = 6,f(0) =8 ∙ 0= 0, f(8) =0, f(6) =2 ∙ 216= 532 ⇒ max f(x)= f(6) =532, [0; 8]Одне число – 6, тоді інше – 2. В.: 8 = 6 + 2
№41.11. Розбийте число 180 на три таких невід’ємних доданки, щоб два з них відносились як 1 : 2, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим. Розв'язання. Нехай x (x≥ 0) – одне з таких чисел, тоді 2x – друге число, третє число – (180 – 3x) (x≤ 60) . Тобто, x ∈ [0; 60].f(x) = x ∙ 2x (180– 3x) = 360x2 – 6x3 ,f’(x) = (360x2 – 6x3)’ = 720x – 18x2,720x – 18x2 = 0,18x(40 – x) = 0,x1 = 0 або x2 = 40, f(0) =0, f(40) =192000,f(60) =0 ⇒ max f(x)= f(40) = 192000, [0; 60]Одне число – 40, друге – 80, третє - 60. В.: 180 = 40 + 80 + 60.
№41.13.•• У трикутник ABC вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на стороні AC, а дві інші — на сторонах AB і BC. Знайдіть найбільше значення площі такого прямокутника,якщо AC = 12 см, BD = 10 см, де BD — висота трикутника ABC. Розв'язання. S пр= ab, ⊿ FBG ~ ⊿ ABC⇒ 10−𝑎10=𝑏12 ⇒b=1,2(10-a) =12 -1,2a,S пр= 12a -1,2a2,S ‘пр= 12 – 2,4a,12 – 2,4a =0,a = 5, ⇒ b =6, S пр = 30 В.: 30 см2