Найпростіші тригонометричні нерівності

 Найпростіші тригонометричні нерівності
 

Нерівність,у якій невідоме входить тільки під знаком тригонометричної функції,називають тригонометричною нерівністю.

   До найпростіших тригонометричних нерівностей належать sinx < a,sin x > a,cos x < b,cos x > b,tg x < a,tg x > a, ctg x > b, ctg x < b.
 

   1.Нерівність sin x > a.

Якщо a < -1,то розв’язком нерівності є будь-яке дійсне число.

Якщо, -1 ≤ a< 1,то розв’язками нерівності є 2πn + arcsin a<x<π(2n+1) – arcsin a,де n-цілі числа

Якщо a≥-1 ,то система розв’язків немає.
 

   2.Нерівність sinx < a.

Якщо a ≤ -1 ,то система розв’язків немає.

Якщо, -1 < a≤ 1,то розв’язками нерівності є π(2n+1) – arcsin a <x<2π(n+1) + arcsin a,де n-цілі числа.

Якщо a > 1,то розв’язком нерівності є будь-яке дійсне число.
 

   3. Нерівність cos x > b.

Якщо b < -1,то розв’язком нерівності є будь-яке дійсне число

Якщо, -1 ≤ b< 1,то розв’язками нерівності є  -arccos b + 2πn <x<2πn +arccos b,де k-цілі числа.

Якщо b≤ -1 ,то система розв’язків немає.
 

   4.Нерівність cos x < b.

Якщо b ≤ -1 ,то система розв’язків немає.

Якщо, -1 < b≤ 1,то розв’язками нерівності є arccos b + 2πn <x<2π(n+1)-arccos b,де n-цілі числа.

Якщо b > 1,то розв’язком нерівності є будь-яке дійсне число.
 

  5.Нерівність tg x > a має розв’язками значення х з проміжків arctg a+πn<x<(2n + 1),де n – цілі числа.
 

   6.Нерівність tg x < a має розв’язками значення х з проміжків  (2n - 1)<x< arctg a +πn,де n-цілі числа.
 

  7.Нерівність ctg x > b має розв’язками значення з проміжків πn<x< arcctg b +πn, де n-цілі числа.

  8.Нерівність ctg x < b має розв’язками значення х з проміжків arcctg b +πn<x<π(n+1) , де n-цілі числа.