Однорідні тригонометричні рівняння

Однорідні рівняння

Тригонометричні рівняння  n sin х + m cos х = 0, де n і m— числа, m≠ 0, n ≠ 0, називають однорідними тригонометричними рівняннями 1-го степеня відносно sin х і cos х.

Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Дійсно у разі cos х = 0 рівняння набуває вигляду n sin x = 0. Оскільки n ≠ 0, то матимемо sin x = 0. Проте sin x і cos x не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Поділивши ліву і праву частини рівняння n sin x + m cos x = 0 на cos x ≠ 0, матимемо n tg x + m = 0, після чого залишається розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння tg x= -.

Тригонометричне рівняння n+m sinxcosx+p де n, m, p — числа, з яких хоча б два відмінні від нуля, називають однорідними тригонометричними рівняннями другого степеня відносно sin x і cos x.

 Якщо n ≠ 0, то рівняння (по аналогії з однорідним 1-го степеня) розв’язують, поділивши на cos² х ≠ 0 з подальшою заміною tg x = t. Якщо ж n = 0, то виносимо cos х за дужки та застосовуємо прийом відомий нам з попереднього пункту.

Приклад 1.Розв’яжіть рівняння 2sin x – 6cos x = 0.

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на cos x ≠ 0.Матимемо

- = 0;

2tg x – 6 = 0;

tg x = 3;

x = arctg 3 + πn, n ∈ ℤ.

Приклад 2. - 9sinxcosx+

Розв’язання. Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Розділимо ліву і праву частини рівняння на cos² х ≠ 0. Маємо

- 9 + ;

tg² x - 9 tg x + 20 = 0;

Робимо заміну tg x = t, маємо t² – 9t + 20 = 0.

За теоремою Вієта отримаємо корені t₁=4 та t₂=5.

1. t₁=4; tg x=4;x = arctg 4 + πn, n ∈ ℤ.
2. t₁=5; tg x=5;x = arctg 5 + πk, k ∈ ℤ.

 До однорідних можуть зводитися рівняння, які мають зовнішній вигляд, відмінний від зовнішнього вигляду однорідного рівняння. При цьому часто застосовують формули тригонометричних функцій подвійного кута та основну тригонометричну тотожність.