Тема. Нескінченна спадна геометрична прогресія зі знаменником |q| < 1 там сума.
Мета. Познайомити учнів з нескінченними спадними геометричними прогресіями зі знаменником |q| < 1. Ввести поняття суми нескінченної спадної геометричної прогресії, вивести формулу для знаходження суми. Формування в учнів уміння застосовувати виведену формулу до розв'язування вправ.
I. Перевірка домашнього завдання
Вправа № 264 (а)
.
Відповідь. .
Вправа № 265 (а)
Відповідь. .
Вправа № 265 (г)
Чисельник дробу одиницю можна подати у вигляді добутку суми і різниці коренів, що стоять у знаменнику:
Тоді
Відповідь. .
II. Формування поняття нескінченної спадної геометричної прогресії та її суми
Розглянемо квадрат зі стороною 1. Візьмемо його половину, потім половину частини, що залишилася, і т. д. (рис. 151). Площі заштрихованих прямокутників утворюють геометричну прогресію ,
,
,
,
,
, …, знаменник якої дорівнює q =
.
Із рис. 151 видно, що заштриховані прямокутники заповнюють увесь квадрат. Доречно вважати, що сума площ всіх заштрихованих прямокутників дорівнює 1, тобто
+
+
+
+
+
+ … + = 1.
У лівій частині цієї рівності записано суму нескінченного числа доданків.
До сьогоднішнього уроку ми розглядали суми тільки зі скінченним числом доданків. Для надання змісту виразу в лівій частині останньої рівності розглянемо суму п перших членів:
Sn = +
+
+ … +
.
За формулою суми п перших членів геометричної прогресії маємо:
.
Якщо п необмежено збільшується (пишуть n → ∞), то вираз наближається до нуля (пишуть
→ 0), а вираз 1 –
наближається до 1.
Отже, , якщо n → ∞.
Таким чином, сумою нескінченної спадної геометричної прогресії називається число, до якого наближається сума п перших членів цієї прогресії, якщо п нескінченно збільшується.
Виведемо формулу суми нескінченної спадної геометричної прогресії
b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + …, знаменник якої |q| < 1.
За формулою суми п перших членів геометричної прогресії маємо:
Якщо |q| < 1, то при необмеженому збільшенні п вираз qn прямує до нуля, при цьому вираз теж прямує до нуля.
Отже, при п → ∞.
Таким чином, сума S нескінченної спадної геометричної прогресії дорівнює:
.
Зокрема, якщо b1 = 1, то маємо .
Формули ,
справедливі тільки для |q| < 1.
Розглянемо приклади.
Задача 1. Знайдіть суму нескінченної спадної геометричної прогресії 9; 3; 1; ... .
Розв'язання
Оскільки b1 = 9, q = , то за формулою
маємо
.
Відповідь. .
Задача 2. Знайдіть суму нескінченної спадної геометричної прогресії, якщо b4 = , q =
.
Розв'язання
Використовуючи формулу bn = b1qn-1 при п = 4, знайдемо b1:
b1 = 1. Тоді за формулою
маємо:
.
Відповідь. 2.
Виконання вправ
Вправи № 267 (б, г), 268 (б, г), 269, 270.
III. Домашнє завдання
§ 62 (від кінця приклада 2); № 267 (а, в), № 268 (а, в).
IV. Підведення підсумків уроку
Запитання до класу
а) 1 + +
+
+ … ; б) 1 +
+
+
+ … ; в) 1 +
+
+
+ … .
1