Обчислення похибки по одному вимірюванню

Теорія похибок.

Під час користування вимірювальними приладами при проведенні вимірювань виміряна величина завжди буде відрізнятися від її дійсного значення (це пояснюється неточністю самих вимірювальних приладів, неможливістю провести більш точні виміри за даних умов і іншими факторами). Тому будь-які вимірювання проводяться з певною точністю (похибкою). Дійсне значення величини буде відрізнятися від виміряного на величину похибки. Вимірювання характеризуються абсолютною і відносною похибками. Абсолютна похибка показує на скільки дійсне значення шуканої величини відрізняється від виміряного. Відносна похибка характеризує якість (точність) вимірювань. Оскільки дійсне значення вимірюваної величини під час вимірювання невідоме, то для визначення найбільшої похибки використовують клас точності приладу (нанесений на корпусі приладу або в паспорті) або значення ціни поділки шкали.

Абсолютна похибка вимірювань рівна:  

                        ΔА = А_вимір – А_дійсне (1).    

Де А_вимір – виміряне значення величини з допомогою відповідного приладу.

Відносна похибка рівна:                            γ = (ΔА/А_дійсне)·100%       (2).

Цифра яка вказує клас точності приладу визначає величину найбільшої допустимої основної приведеної похибки приладу (γ_привед) виражену в %. Вона знаходиться як відношення максимальної абсолютної похибки до кінцевого значення робочої частини односторонньої шкали.

Користуючись класом точності (γ_привед) можна знайти найбільшу абсолютну похибку вимірювання (ΔА)_макс в будь-якій точці шкали.

                  (ΔА)_макс = ± (γ_привед·А_кінц)/100 (3).

Де А_кінц – кінцева поділка шкали приладу.

Найбільша відносна похибка вимірювання (γ_мах) визначається з формули:                       γ_мах = ± (γ_привед·А_кінц)/(А_вимір - (ΔА)_Макс)        (4).

Є вісім класів точності:   0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2.5; 4,0. Найменша точність при вимірюванні приладами з класом точності 4,0 а найбільша при вимірюванні приладами з класом точності 0,05. 

Якщо клас точності приладу невідомий то (ΔА)_макс беруть рівною половині ціни поділки (Ц.П). 

                    (ΔА)_макс = Ц.П./2     (5).

Ц.П. дорівнює дробу: чисельник якого дорівнює різниці між двома сусідніми рисками позначених цифрами; знаменник дорівнює числу проміжків між цими рисками.

Покажемо методику обчислення похибок на конкретному довільному виразі. Нехай нам потрібно знайти значення якоїсь величини (М), яка обчислюється за формулою:

                              М = а·в/((с – к)·х)     (6).     

Нехай буквами позначено: а – довжина, в – ширина, с – сила, к – вага, х – маса. Припустимо, що користуючись вимірювальною лінійкою, ми знайшли що а = 200 мм, в – 10 мм; використовуючи динамометр виміряли сили і отримали такі значення: с = 4 Н, к = 2 Н; скориставшись терезами знайшли значення маси: х = 250 г.

Знайдемо значення вимірюваної величини (М_вимір) підставивши значення в 

(6):

     М_вимір = 200 мм·10 мм/((4 Н – 2 Н)·250 г) = 2000 мм²/(500 Н·г) = 4,0 мм²/(Н·г).

Для знаходження похибок прологарифмуємо даний вираз (6). Будемо мати:       ln(М) = ln(а) + ln(в) - ln(с – к) - ln(х)     .

Знайдемо першу похідну від прологарифмованого виразу:

      (М)^/ = Δа/а + Δв/в - Δ(с – к)/(с – к) - Δх/х    (7).

Відносна похибка буде дорівнювати першій похідній від обчислюваного виразу (7), однак при обчисленні максимальної похибки всі складові похибки потрібно сумувати (брати з знаком плюс). Тому вираз для обчислення максимальної похибки буде таким:                γ = ΔМ/М = Δа/а + Δв/в + Δ(с – к)/(с – к) + Δх/х     (8).

Врахувавши, що абсолютна похибка суми і різниці дорівнює сумі абсолютних похибок доданків, остаточно отримаємо:               γ = ΔМ/М = Δа/а + Δв/в + (Δс + Δк)/(с – к) + Δх/х (9).

Запишемо значення абсолютної похибки для всіх вимірюваних величин. При користуванні лінійкою з міліметровими поділками похибка вимірювань дорівнює половині ціни поділки, тобто Δа = Δв = 1 мм/2 = 0,5 мм. Похибка яку дає динамометр (з ціною поділки 0,1 Н) буде рівною: Δс = Δк = 0,1 Н/2 = 0,05 Н. При користуванні терезами, з масою найменшого важка рівною 1 г, похибка буде рівною: Δх = 1 г/2 = 0,5 г.

Тепер знайдемо відносну похибку за формулою (9): 

               γ = 0,5/200 + 0,5/10 + (0,05 + 0,05)/(4 – 2) + 0,5/250 = 0,0025 + 0,05 + 0,1/2 + 0,002 = 0,0525 + 0,05 + 0,002 = 0,1045 = 0,1.

Тоді за знайденим значенням відносної похибки і обчисленим значенням шуканої величини знайдемо абсолютну похибку: 

               ΔМ = М_вимір·γ = 4,0 мм²/(Н·г)·0,1 = 0,4 мм²/(Н·г).

Запишемо остаточний результат (при записі число цифр після коми в числовому значенні величини і значенні похибки повинно бути однаковим, при різній кількості справа від останньої цифри дописують нулі):

                М = М_вимір ± ΔМ = (4,0 ± 0,4) мм²/(Н·г),             γ = 0,1 = 10%.

Оцінимо межі вимірювань. Значення шуканої величини менше за 4,0 + 0,4 = 4,4 мм²/(Н·г) і більше за 4.0 – 0,4 = 3,6 мм²/(Н·г), тобто дійсне значення величини лежить в межах від 4,4 мм²/(Н·г) і 3,6 мм²/(Н·г).

Примітка. При обчисленні складних виразів які складаються з сум окремих виразів (що утруднює логарифмування) зручніше обчислити абсолютні похибки окремих виразів а потім знайти загальну абсолютну похибку як їх суму: ΔМ_{загальне} = ΔМ₁ + ΔМ₂ + ΔМ₃ + ... А тоді вже знайти загальну відносну похибку. Взагалі, якщо учні не знайомі з логарифмуванням, то можна просто повідомити учнів що відносна похибка виразу, який являє собою добуток кількох виразів, дорівнює сумі відносних похибок окремих виразів тобто   γ_{загальне}  = γ₁ + γ₂ + γ₃ + ...