Опорні схеми "Основні типи тригонометричних рівнянь та способи їх розв"язання"

Найпростіші тригонометричні рівняння

Розв′язки

sinx = a

Якщо |а|>1, то рівняння не має коренів

Якщо |а|≤1, то

Особливі випадки ( розглянути на одиничному колі!!!):

1. а=0 , то 
2. а=1 , то 
3. а=-1 , то 

cosx = a

Якщо |а|>1, то рівняння не має коренів

Якщо |а|≤1, то

Особливі випадки ( розглянути на одиничному колі!!!):

1. а=0 , то 
2. а=1 , то 
3. а=-1 , то 

tgx = a

сtgx = a

Основні типи рівнянь

Спосіб розв′язання

1. Зведення до квадратного рівняння  :asin²u+bsinu+c=0

                    acos²u+bcosu+c=0

                    atg²b+btgu+c=0

Заміна: sinu=x, cosu=x, tgu=x  →  квадратне  рівняння     ax² + bx + c = 0

2. Лінійне однорідне рівняння

asinu+bcosu=0  (а≠0,  b≠ 0)

Ділення лівої і правої частини на сosu

3. Однорідне рівняння другого порядку

asin²u+bsinuсosu+dcos²u=0

Ділення лівої і правої частини на сos²u (при умові а≠0, d≠0) → рівняння 1.

Якщо а=0 або d=0 →винесення за дужки cosu (sinu)

4. Неоднорідне рівняння другого порядку asin²b+bsinuсosu+dcos²u=с

c=c·1=c(sin²u+cos²u) =c·sin²u+с·cos²u  → тип рівняння 3.

5. Лінійне неоднорідне рівняння

asinu+bcosu=с

Перехід до кута : -   → тип рівняння 4.    (якщо b=±c → тип рівняння 3.)

Особливі випадки:

1) а=b→ ділення лівої і правої частини на а і множення на ,  

2) а=b або b=a→ ділення лівої і правої частини на b (a) і множення на

6. sinu+sinz=0   cosu+cosz=0

  (різні кути: u≠2z,  z≠2u)

Перетворення лівої частини рівняння у добуток

(формули суми,  різниці синусів, косинусів)

Якщо u=2z або  z=2u, то за формулами  синуса (косинуса) подвійного кута переходимо до меншого з кутів