Опорний конспект і тести до теми " Функція"

Про матеріал

Опорні конспекти і тести до теми " Функція" Дидактичний матеріал для узагальнення знань

Перегляд файлу

Лекція 1 «Функція. Властивості функції»

Пригадай !

Що таке функція?

Що таке аргумент функції?

Як можна задати функцію?

Які властивості функцій вивчали раніше?

Функцією називається залежність змінної у від змінної х, якщо кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у.

Позначається або f(x), або у = f(x)

х — незалежна змінна, або аргумент.

у - залежна змінна, або значення функції.

у = 2х + 4

Способи задання функції:

Спосіб

Приклад

формульний

у = - 4х;

у = ;

у =

словесний

Швидкість авто – 70 км/год. Залежність пройденого шляху s (функція) від часу t(аргумент) можна подати формулою s=70t

табличний

t,год	0	1	2	3	4	5	6	7	8
T,C⁰	-3	-5	-7	-2	0	2	3	1	-1

графічний

Що значить дослідити властивості функції?

Це означає виявити її найважливіші властивості:

вказати область визначення ;
вказати область значень;
з`ясувати, чи є дана функція парною або непарною;
знайти точки перетину з віссю Оу;
знайти нулі функції та проміжки знакосталості;
визначити проміжки зростання чи спадання;
побудувати графік функції.

Основні поняття та властивості функції

*Поняття / властивість функції*	*Позначення*	*Означення*	*Приклади*
Область визначення функції у*= f(x)*	D (у)	всі допустимі значення аргумента.	1) у = - 3х + 12, D(у) = (-;+); 2) у = , D(у) = [0;+); 3) у = , D(у )= (; ) (0;+); 4) у = , D(у) = (; ) (4;+);
*Область значень функції у= f(x)***	Е (у)	всі значення, яких набуває залежна змінна.	1)у = - 3х + 12, Е(у) =(-;+); 2) у = - 4х , Е(у) = (-;+); 3) у = , Е(у) = [0;+); 4) у = , Е(у) = (; ) (0;+)
Графіком функції у*= f(x)*		множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції	у =
Нулі функції		значення аргумента, при яких функція дорівнює нулю. (абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох) *Щоб знайти нулі функції y= f(x)_, треба розв'язати рівняння f(x) = 0*	1) у= 2х-6, 2х-6=0, 2х = 6, х=3. 3 - нуль даної функції. 2) у = , = 0, х=0 0 - нуль даної функції. 3) у = , так як , то функція нулів не має.
Проміжки знакосталості		проміжки з області визначення функції, на яких дана функція набуває додатних чи від'ємних значень. *Щоб знайти проміжки, на яких функція у = f(x) набуває додатних значень, треба розв'я**зати нерівність f(x) > 0, від'ємних -* *f(x) < 0.*	1)у = 6х -12 у >О: 6х-12>О, 6х >12; х > 2; При х є (2; +) у > 0. у<0: 6х-І2<0; 6х<12; х<2. При х є (-; 2) *у <* 0. 2) у =,. Оскільки , - невід'ємне число при х є [0; ), то у > 0 при є (0;+).
Функція *y=f(x)* зростає на проміжку [а;в]		якщо більшому значенню аргументу х з цього проміжка відповідає більше значення функції у, а меншому х - менше у. Тобто, якщо х₁ *> х₂ (х₁ є [а; в], х₂ є [а;в]) і f(x₁) > f(x₂), то f(x -зростає на[а;в]. Якщо функція зростає на всій області визначення, то вона називається зростаючою.*	у = х² При х є [0;+) функція зростає. y = k x При k > 0 зростає для х є D(y). Отже, це зростаюча функція. у = При к < 0 дана функція зростаюча.
Функція *y = f(x)* спадає на проміжку [а;в]		якщо більшому значенню аргумента х з цього проміжка відповідає менше значення функції у, а меншому х - більше у. Тобто, якщо х₁*> х₂ (х₁ є [а;в], х₂ є [а;в]) і f (х₁) <* *f(x₂), то f(x)* - спадає на[а;в]. Якщо функція спадає на всій області визначення, то вона називається спадною.	у = х² При х є (-;0] функція спадає. y=k x При k < 0 спадає для х є D(y), то це спадна функція. у = При k > 0 дана функція спадна.
Функція у = *f (х) -* парна		якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення *f (-х)* = *f(x).* Графік парної функції симетричний відносно осі Оу	у = х² D(y) = (-;+) - симетрична відносно нуля. Оскільки у(- х) = (- х )² = х² = у(х), то у = х² – парна функція.
Функція *у = f(x)* - непарна		якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення *f(-x) = - f(x).* Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.	у = х³. D(y) = (-;+) - симетрична відносно початку координат. Оскільки у(-х)=(-х)³ = -х³ = - у(х), то у = х³ – непарна функція.
Функція *у = f(x)* –ні парна, ні непарна		або якщо її область визначення несиметрична відносно нуля , або для кожного х з області визначення *f (-х)* *f(x)* і *f (-х)* -*f(x).* Графік ні парної ні непарної функції несиметричний відносно початку координат та осі Оу	у = ( х-3)² D(y) = (-;+) - симетрична відносно нуля. Оскільки у(- х) = (- х-3 )² = х²+6х+9у(х), то у = х² – ні парна , ні непарна функція.

Дослідивши властивості функції, можна побудувати графік функції за отриманими точками.

Тест 1 «Функція та її властивості»

Функція задана формулою у= х³-х²+1 . Обчислити у(-1)

3
1
-1
-3

Які з точок належить графіку функції у= 3х-1

(-3;-8)
(-1;-4)
(0;-1)
(-2;5)

Область визначення функції у=

(-4;∞)
[-4;∞)
(4;∞)
[4;∞)

Областю значень функції, зображеної на рисунку є проміжок:

(-4;-6)
(-1;2)
(0;6)
(-2;2)

Нулі функції У=

3
-3 і 3
-3
9

Задано функцію у=. Яке з тверджень правильне:

у(0) = -3
Областю визначення функції є всі дійсні числа.
Графік функції проходить через точку А(-8;6)
Область визначення функції задається умовою х≠-2

Областю визначення якої з функцій є множина дійсних чисел

Вказати проміжок спадання функції , графік якої зображений на рисунку:

(-4;1)
[1;4]
[-4;∞)
(1;6)

Встановити відповідність між твердженням і графіком функції

Функція парна –

Функція непарна –

Функція ні парна, ні непарна –

b) c)

За графіком функції f(x), зображеному на рисунку, визначити неправильне твердження:

Якщо х є (1;3), то f(x ) < 0
Якщо х є [3;5], то f(x) ≥ 0
f(x) > 0,якщо х є (3;5), х є (6;∞)
Якщо х є (5;6), то f(x) > 0
Нулі функції: 1, 3, 5, 6

Функція у= 1,5х – 2 задана на проміжку [-2;5]. Знайти найбільше значення функції

-5
-2
5,5
9,5

Визначити область значень функції у =

(-;+);
(;+);
(-; 0 );
[ 0 ;+);

Відповіді до тесту 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
c	b, c	d	d	b	a, d	c	b	b, c, a	d	с	d	в

Лекція 2 «Приклади функцій та їх властивості»

Пригадай !

Як дослідити властивості та побудувати графік функції?

Що таке графік функції?

Що таке область визначення функції?

Що таке область значень функції?

Властивості яких функцій вивчали раніше?

№	*Назва*	*формула*	*Властивості функції*	*Графік*
1	*лінійна*	*у= k x + l*	D(у) = (-;+); Е(у) =(-;+); Функція ні парна ні непарна Проходить через точку ( 0; *l )* Нулі функції: х= Якщо При х є ( При х є ( Функція зростаюча Якщо При х є ( При х є ( Функція спадаюча	Графік – пряма , у= *x + 2* 2)
2	*Пряма пропорційність (лінійна, l = 0)*	*у= k x*	D(у) = (-;+); Е(у) =(-;+); Функція непарна Проходить через початок відліку Якщо При х є ( При х є ( Функція зростаюча Якщо При х є ( При х є ( Функція спадаюча	Графік – пряма, яка проходить через початок відліку *у=2х*
3	*Стала*	*у = k*	D(у) = (-;+); Е(у) =; Функція парна Графік проходить через точку (0;k), не перетинає вісь Ох	Графік – пряма, паралельна осі Ох *у = 3,5*
4	*Обернена пропорційність*	у =	D(у) = (-;0 ) U ( 0;+); Е(у) =(-;0 ) U ( 0;+); Функція непарна Графік не перетинає вісі Ох, Оу Якщо При х є ( При х є ( Функція спадаюча Якщо При х є ( При х є ( Функція зростаюча	Графік – гіпербола
5	*Квадратична*	*у = x*²	D(у) = (-;+); Е(у) = ;+); Функція парна Проходить через початок відліку на всій області визначення При х є (спадає При х є зростає	Графік – парабола з двома вітками, направленими вгору
6		у=	D(у) = [;+); Е(у) = [ 0;+); Функція ні парна ні непарна Проходить через початок відліку на всій області визначення Функція зростаюча	Графік – парабола з однією віткою
7	*Кубічна*	*у = x*³	D(у) = (-;+); Е(у) =(-;+); Функція непарна Проходить через початок відліку При х є ( При х є ( Функція зростаюча	Графік – парабола з двома вітками, направленими вгору та вниз

Тест 2 «Приклади функцій та їх властивості»

Графік якої функції проходить через початок координат

у= х²
у=
у= -3х+4
у=

Графіком якої з наведених функцій є горизонтальна пряма

у=
у=х²
у= -3
у= -3х+4

Графіком якої з поданих функцій є парабола з однією віткою

у=х²
у=
у= -3х+4
у=

На якому з рисунків зображений графік оберненої пропорційності:

Яка з лінійних функцій є спадна і не проходить через початок відліку:

у= х
у=
у= 4-3х
у=2х+5

Яка з наведених прямих перетинає пряму у = -3х+7

у = -3х+7
у = 3х+7
у = -3х-1
у = -3х

Які з функцій спадні на множині дійсних чисел

у= -х³
у=
у = х²
у= -5х+1

Для яких функцій область визначення є множина всіх дійсних чисел

у= х²+5
у=
у=2х+5
у=

Для кожної функції вказати відповідний графік

у=

у= х²

у= 3,5

у=

a) b) c) d)

Графік якої з функцій не перетинає вісь Ох

у=
у=
у= 2х
у= х²

Відповіді до тесту 2

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а, d	c	b	a	c	b	a, d	a, c	c, a, d, b	b

Лекція 3 « Найпростіші перетворення графіків функцій»

№	Функція	перетворення графіка	Зразок
1	*у = -* *f (x)*	Графік функції *у = f(x)* відобразити симетрично відносно осі Ох.
2	*у = f ( - x)*	Графік функції *у = f(x)* відобразити симетрично відносно осі Оу.
3	*у = f ( x*	Виконати паралельне перенесення графіка функції *у = f(x)* вздовж осі Оу на а одиниць вгору, якщо *а >* 0 на -а одиниць вниз, якщо *а <* 0.
4	*у = f ( x* )	Виконати паралельне перенесення графіка функції *у = f(x)* вздовж осі Ох на а одиниць вправо, якщо а < 0. на а одиниць вліво, якщо *а >* 0
5	*у = k f ( x )* *k >0*	Графік функції *у =* *f ( x)* *якщо k >1* розтягти від осі Ох у k разів *якщо 0< k < 1* стиснути в разів до осі Ох
6	*у = f ( k x )*	Графік функції *у =* *f ( x)* *якщо k >1* стиснути вздовж осі Ох у k разів *якщо 0< k < 1* розтягти вздовж осі Ох в разів
7	*у =*	*у =*= Побудувати графік функції . Частини графіка функції, які лежать нижче від осі Ох, замінити симетричними їм відносно цієї осі, а решту – лишити без зміни.
8	*у =f(*)	Так як *f ()= f (***), то функція парна, а тому графік функції симетричний відносно осі Оу Побудувати графік функції . Частину графіка функції, яка лежать ліворуч від осі Оу, замінити симетричною правій частині відносно осі Оу , а праву – лишити без зміни.