Опорний конспект "ПІРАМІДА, ВПИСАНА У КОНУС. ПІРАМІДА, ОПИСАНА НАВКОЛО КОНУСА"

Піраміда, вписана у конус

Піраміду називають вписаною у конус, якщо її основа вписана в основу конуса, а вершиною є вершина конуса.

При цьому конус називають описаним навколо піраміди.

Бічні ребра піраміди, вписаної у конус, є твірними конуса.

Властивості піраміди, вписаної у конус

1. Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.
2. Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола R, описаного навколо основи піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Задача

Навколо піраміди, сторони основи якої дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см, а висота 8 см, описано конус. Знайти площу осьового перерізу конуса.

Розв’язання

1. Нехай радіус основи дорівнює R, а висота ‒ Н. Тоді площа осьового перерізу конуса  .
2. Висота конуса дорівнює висоті піраміди, тому Н = 8 см.
3. Радіус конуса знайдемо як радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 10 см, 10 см і 12 см. Використаємо формулу , де а, b, с ‒ сторони трикутника, S ‒ його площа.
4. За формулою Герона , де .
5. ; .
6.  .
7. .

Піраміда, описана навколо конуса

Піраміду називають описаною навколо конуса, якщо її основа описана навколо основи конуса, а вершиною є вершина конуса.

При цьому конус називають вписаним у піраміду.

Бічні грані піраміди належать площинам, дотичним до конуса.

Площину називають дотичною до конуса, якщо вона проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, який містить цю твірну.

Властивості піраміди, описаної навколо конуса

1. Конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.
2. Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Задача

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють по 60º. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

Розв’язання

1. Нехай у трикутну піраміду з основою АВС і вершиною Q вписано конус. Основа висоти конуса точка О ‒ центр кола, вписаного в ∆АВС.
2. Нехай точка К ‒ точка дотику кола, вписаного в ∆АВС, до сторони АВ. Позначимо ОК = r - радіус кола, вписаного в ∆АВС, а також радіус основи конуса.
3. ОКАВ, за теоремою про три перпендикуляри QКАВ, тому QКО ‒ лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою   QКО = 60°.
4. Радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знайдемо за формулою ,  де а, b ‒ катети, с ‒ гіпотенуза.
5. За умовою АС = 6 см, ВС = 8 см ‒ катети. Тоді гіпотенузаАВ = 10 см. (∆АВС ‒ єгипетський).
6. OK = .
7. QO ‒ висота піраміди і конуса. З ∆OQK (O=90°): , тоді .