"Основні відомості зі шкільної геометрії"

          Основні відомості зі шкільної геометрії

 

Вихвостів

2023

 

  Короткий довідник, в якому наведені  основні відомості з курсу геометрії, для учнів 7-9 класів, необхідні для успішної підготовки до контрольних робіт, олімпіад, підсумкової атестації.

 

       Довідник призначений для учнів та вчителів математики.

 

 

 

 

Автор: Сорока Г.П.

 

 

 

 

«Давно підмічено, що геометрія - це чудова логіка…Набувається звичка міркувати точно, послідовно і методично; ця звичка посилює й загострює розум і стає в нагоді під час пошуків істини в інших галузях».

(Ірландський філософ  Дж.Берклі)

Вступ

У першій частині даного тексту перераховані основні поняття і теореми шкільного курсу геометрії і деякі ключові факти, які будуть корисні тим школярам, які сумлінно вчаться в школі, приймають участь в олімпіадах і хотіли б навчитися вирішувати більш-менш змістовні геометричні завдання. Всі ці факти не виходять за межі шкільної програми і містяться практично в будь-якому шкільному підручнику (іноді у вигляді задач). Перша частина може бути пам'яткою по гео-метрії для вступників до середніх спеціальних  та вищих учбових закладів.

Друга частина. це відомі класичні теореми елементарної геометрії, що не увійшли до шкільних підручників. Теореми другої частини можуть бути рекомендовані тим школярам, які виявляють підвищений інтерес до геометрії, люблять вирішувати геометричні завдання.

І. Основні відомості зі шкільної геометрії

 

1. Ознаки рівності трикутників. 

1) Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то трикутники рівні.

2) Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то трикутники рівні.

3) Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то трикутники рівні.

2. Основні властивості та ознаки рівнобедреного трикутника.

1) Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

2) Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи є бісектрисою і висотою.

3) Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.

4) Якщо медіана трикутника є його висотою, то трикутник рівнобедрений.

5) Якщо бісектриса трикутника є його висотою, то трикутник рівнобедрений.

6) Якщо медіана трикутника є його бісектрисою, то трикутник рівнобедрений.

3. Геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є пряма, перпендикулярна цьому відрізку і проходить через його середину (серединний перпендикуляр до відрізка).

4. Ознаки і властивості паралельних прямих.

1) Аксіома паралельних. Через дану точку можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

2) Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються рівні внутрішні навхрест лежачі кути, то прямі паралельні.

3) Якщо дві прямі паралельні одній і тій же прямій, то вони паралельні між собою.

4) Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же прямій, параллельні.

5) Якщо дві паралельні прямі перетнути третьою, то утворені при цьому внутрішні навхрест лежачі кути рівні.

5. Теорема про суму кутів трикутника і наслідки з неї.

1) Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 ◦ .

2) Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх не суміжних з ним кутів.

3) Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 ◦ (n-2).

4) Сума зовнішніх кутів n-кутника дорівнює 360 ◦.

5) Кути зі взаємно перпендикулярними сторонами рівні, якщо вони

обидва гострі або обидва тупі.

6. Якщо бісектриси кутів B і C трикутника ABC перетинаються в точці M, то ∠BMC = 90 ◦ + ∠A / 2.

7. Кут між биссектрисами суміжних кутів дорівнює 90^◦.

8. Бісектриси внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січної перпендикулярні.

9. Ознаки рівності прямокутних трикутників.

1) За двома катетами.

2) За катетом і гіпотенузою.

3) За гіпотенузою і гостромим кутом.

4) За катетом і гостром кутом.

10. Геометричне місце внутрішніх точок кута, рівновіддалених від його сторін, є бісектрисою кута.

11. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30 ◦ , дорівнює половині гіпотенузи.

12. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, протилежний цьому катету, дорівнює 30^◦.

13. Нерівність трикутника. Сума двох сторін трикутника більше третьої сторони.

14. Наслідок з нерівності трикутника. Сума ланок ламаної більше відрізка, що з'єднує початок першої ланки з кінцем останньої.

15. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона.

16. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут.

17. Гіпотенуза прямокутного трикутника більше катета.

18. Якщо з однієї точки проведені до прямої перпендикуляр і похила, то:

1) перпендикуляр коротший похилої;

2) більшій похилій відповідає більша проекція і навпаки.

19. Паралелограм. Паралелограмом називається чотирикутник,  протилежні сторони якого попарно паралельні.

Властивості і ознаки паралелограма.

1) Діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутники.

2) Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.

3) Протилежні кути паралелограма попарно рівні.

4) Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.

5) Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.

6) Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні, то цей чотирикутник - паралелограм.

7) Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм.

20. Прямокутник. Прямокутником називається паралелограм з прямим кутом.

Властивості і ознаки прямокутника.

1) Діагоналі прямокутника рівні.

2) Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей параллелограм - прямокутник.

21. Ромб. Ромбом називається чотирикутник, всі сторони якого рівні.

Властивості і ознаки ромба.

1) Діагоналі ромба перпендикулярні.

2) Діагоналі ромба ділять його кути навпіл.

3) Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей параллелограм - ромб.

4) Якщо діагоналі паралелограма ділять його кути навпіл, то цей паралелограм - ромб.

22. Квадрат. Квадратом називається прямокутник, усі сторони якого рівні.

23. Геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямої - дві паралельні прямі.

24. Теорема Фалеса. Якщо на одній стороні кута відкласти рівні відрізки і через їхні кінці провести паралельні прямі,які перетинають другоу сторону кута, то на другій стороні кута відкладуться також рівні відрізки.

25. Середня лінія трикутника. Відрізок, що з'єднує серединидвох сторін трикутника називається середньою лінією трикутника.

Теорема про середню лінію трикутника. Середня лінія трикутни-

ка паралельна основі трикутника і дорівнює її половині.

26. Властивість середин сторін чотирикутника. Середини сторін будь-якого чотирикутника є вершинами паралелограма.

27. Теорема про медіану трикутника. Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини.

28. а) Якщо медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої

 вона проведена, то трикутник прямокутний.

б) Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини

прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

29. Трапеція. Трапецією називається чотирикутник, у якоготільки дві протилежні сторони  паралельні. 

Середньою лінією трапеції називається відрізок, що з'єднує середини непапаралельних сторін (бічні сторони).Теорема про середню лінію трапеції. Середня лінія трапеції параллельна основам і дорівнює їх півсумі.

30. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює піврізниці основ.

31. Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.

Властивості і ознаки рівнобедреної трапеції.

1) Кути при основі рівнобедреної трапеції рівні.

2) Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

3) Якщо кути при основі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.

4) Якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.

32. Коло.Колом називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки,  центра кола, на одну й ту саму додатну відстань.

Властивості кола.

1) Діаметр, перпендикулярний хорді, ділить її навпіл.

2) Діаметр, що проходить через середину хорди, яка не є діаметром, перпендикулярний цій хорді.

3) Серединний перпендикуляр до хорди проходить через центр кола.

4) Рівні хорди віддалені від центра кола на рівні відстані.

5) Хорди кола, віддалені від центра на рівні відстані, рівні.

6) Коло симетричне щодо будь-якого свого діаметру.

7) Дуги кола,  між паралельними хордами, рівні.

8) З двох хорд більша та, яка менш віддалена від центру.

9) Діаметр є найбільша хорда кола.

33. Чудова властивість кола. Геометричне місце точок M, з яких відрізок AB видно під прямим кутом (∠AMB = 90◦), є коло з діаметром AB без точок A і B.

34. Геометричне місце точок M, з яких відрізок AB видно під гострим кутом (∠AMB <90◦) є зовнішнє коло з діаметром AB без точок прямої AB.

35. Геометричне місце точок M, з яких відрізок AB видно під тупим кутом (∠AMB> 90 ◦ ), є внутрішня частина круга з діаметром AB без точок відрізка AB.

36. Властивість серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, описаного навколо трикутника.

37. Лінія центрів двох  кіл, що перетинаються, перпендикулярна їх загальній хорді.

38. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника - середина гіпотенузи.

39. Теорема про висоти трикутника. Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

40. Дотична до кола. Пряма, що має з колом єдину спільну точку, називається дотичною до кола.

1) Дотична перпендикулярна радіусу, проведеного в точку дотику.

2) Якщо пряма l, що проходить через точку на колі, перпендикулярна радіусу, проведеного в цю точку, то пряма l – дотична до кола.

3) Якщо прямі, що проходять через точку M, дотикаються до кола в точках A і B, то MA = MB.

4) Центр кола, вписаного в кут, лежить на бісектрисі цього кута.

5) Теорема про бісектриси трикутника. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаною в трикутник.

41. Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c, дорівнює (a + b - c) / 2.

42. Якщо M - точка дотику зі стороною AC кола, вписаного в трикутник ABC, то AM = p - BC, де p - напівпериметр три кутника.

43. Коло дотикається сторони BC трикутника ABC і продовження сторін AB і AC.Тоді відстань від вершини A до точки дотику кола з прямою AB дорівнює півпериметру трикутника ABC.

44. Коло, вписане в трикутник ABC, дотикається сторін AB, BC і AC відповідно в точках K, L і M. Якщо ∠BAC = α, то ∠KLM = 90 ◦ - α / 2.

45. Дано кола радіусів r і R (R> r). Відстань між їх центрами  a (a> R + r). Тоді відрізки загальних зовнішніх і загальних внутрішніх дотичних, між точками дотику, рівні відповідно √a² - (R - r) ² і

√a² - (R + r) ² .

46. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні.

47. Що стосується кола. Кажуть, що два кола дотикаються , якщо вони мають єдину спільну точку (точка дотику).

1) Точка дотику двох кіл лежить на їх лінії центрів.

2) Кола радіусів r і R з центрами O₁ і O₂ дотикаються зовнішньо тоді і тільки тоді, коли R + r = O₁ O₂ .

3) Кола радіусів r і R (r <R) з центрами O ₁ і O ₂ дотикаються внутрішньо

 тоді і тільки тоді, коли R - r = O₁ O₂ .

48. Кути, пов'язані з колом.

1) Кутова величина дуги кола дорівнює кутовій величині центрального кута.

2) Вписаний кут дорівнює половині кутової величини дуги, на яку він спирається.

3) Кут між  хордами, які перетинаються, дорівнює півсумі протилежних дуг, між хордами.

4) Кут між двома січними дорівнює піврізниці дуг, між  січними кола.

5) Кут між дотичною та хордою дорівнює половині кутової величини дуги,  між ними.

49. Вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

50. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок видно під таким кутом, є дві дуги рівних кіл (без кінців цих дуг).

51. Якщо чотирикутник можна вписати в коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 180 ◦ .

52. Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 ◦ , то навколо нього можна описати коло.

53. Якщо в трапецію можна вписати коло, то бічна сторона трапеції видно з центра кола під прямим кутом.

54. Якщо M - точка на відрізку AB, причому AM: BM = a: b, то AM: AB = a: (a + b), BM: AB = b: (a + b).

55. Теорема про пропорційні відрізках. Паралельні прямі, перетинають сторони кута, відтинають на них  пропорційні відрізки.

56. Подібність. Ознаки подібності трикутників.

1) Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам іншого, а кути, утвореніі між цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.

2) Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то трикутники подібні.

3) Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого, то трикутники подібні.

57. Відношення відповідних лінійних елементів подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності.

58. Чудова властивість трапеції. Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовженя бічних сторін і середини основ лежать на одній прямій.

59. Властивість бісектриси трикутника.Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

60. Добуток основи на висоту для даного трикутникає величина стала.

61. Якщо BM і CN - висоти трикутника ABC

(∠A ≠ 90 ◦ ), то трикутник AMN подібний трикутнику ABC, причому коефіцієнт подібності дорівнює | cos ∠A |.

62. Хорди  AB і CD кола, перетинаються в точці E, рівні, якщо| AE | · | EB | = | CE | · | ED |.

63. Теорема про дотичну і січну і наслідок з неї.

1) Якщо з однієї точки проведені до кола дотична і січна, то добуток всієї січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної.

2) Добуток всієї січної на її зовнішню частину для даної точки і даного кола сталий.

64. Тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

1) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус протилежного або на косинус прилеглого до цього

катета гострого кута.

2) Катет прямокутного трикутника дорівнює іншому катету, помно-

женному на тангенс протилежного або котангенс прилеглого

до цього катета гострого кута.

65. Теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

66. Теорема, обернена теоремі  Піфагора. Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то трикутник - прямокутний.

67. Середні пропорційні в прямокутному трикутнику. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середнім пропорційним гіпотенузи і своєї проекції на гіпотенузу.

68. Якщо в трапецію можна вписати коло, то .

 69. Відрізок спільної зовнішньої дотичної до двох кіл, що дотикаються,  радіусів r і R дорівнює відрізку загальної внутрішньої дотичній. Обидва ці відрізки рівні 2√Rr.

70. Метричні співвідношення в трикутнику.

1) Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

2) Наслідок з теореми косинусів. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін.

3) Формула для медіани трикутника. Якщо m - медіана трикутника, проведена до сторони c, то m = , де a і b - інші сторони трикутника.

4) Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

5) Узагальнена теорема синусів.Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника.

71. Формули площі трикутника.

1) Площа трикутника дорівнює половині основи трикутника на висоту.

2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.

3) Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола.

4) Площа трикутника дорівнює добутку трьох його сторін, поділеному на 4 радіуси описаного кола.

5) Формула Герона.

72. Елементи рівностороннього трикутника зі стороною a. Нехай h, S, r, R - висота, площа, радіуси описаного і вписаного кіл рівностороннього трикутника зі стороною a. тоді

h =a√3/2, S =a²√3/4, R =a√3/3, R =a√3/6.

73. Формули площі паралелограма.

1) Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту.

2) Площа паралелограма дорівнює добутку його сусідніх сторін на синус кута між ними.

3) Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін.

4) Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.

74. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту.

75. Площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.

76. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

77. Якщо в багатокутник можна вписати коло, то його площа дорівнює добутку півпериметра багатокутника на радіус цього кола.

78. Якщо M - точка на стороні BC трикутника ABC, то

S (AMB):S (AMC)=BM:CM.

79. Якщо P і Q - точки на сторонах AB і AC (або на їх продовженні) трикутника ABC, то S (AP Q):S (ABC)=AP:AB*·AQ:AC.

80. Довжина кола радіуса R дорівнює 2πR.

81. Площа круга радіуса R дорівнює πR² .

82. Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця і початку цього вектора.

83. Для того, щоб вектори

і були колінеарні, необхідно і досить, щоб виконувалося рівність  = k ·, де k – деяке число.

84. Будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за трьома некомпланарнимиа векторами.

85. Якщо M - середина AB, то

= (  + )/ 2.

86. Якщо M - середина AB, а N - середина CD, то = ( +) / 2.

87. Якщо M - точка перетину медіан трикутника ABC, то

= ( + +) / 3.

88. Якщо M - точка перетину діагоналей паралелограма ABCD, то

=(+++) / 4;

+ = (+ +) / 4.

89. Координати середини відрізка дорівнюють середнім арифметичним

координат його кінців.

90. Властивості скалярного добутку векторів.

а) * = *;

б) α * = ( *);

в) *( + )=  * + *

г) ||= ²;

д) * =| |*||cos(∠ *∠ ),

ж) ненульові вектори) і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

 

91. Якщо φ - кут між ненульовими векторами

(x₁ ; y₁ ; z₁ ) і (x₂ ; y₂ ; z₂ ), то cos φ =x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂/(√x₁² + y₁² + z₁² *√x₂² + y₂² + z₂²).

92. Параметричні рівняння прямої, що проходить через точку M₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ) паралельно ненульовим векторам

(a; b; c) , мають вигляд:

x - x ₀ = at,

y - y ₀ = bt,

z - z ₀ = ct.

93.Пряма як перетин двох площин задається системою

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0,

A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0,

де A₁² + B₁² + C₁² = 0 і A₂² + B₂² + C₂² = 0, а коефіцієнти при відловідних невідомих непропорційні.

94. Якщо φ - кут між площинами, заданими рівняннями

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 і A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, то

cos φ =A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ + C ₁ C ₂/(√A₁²+ B₁² + C₁² √A₂² + B₂² + C₂²).

95. Рівняння площини «в відрізках». Якщо площина перетинає

осі координат в точках A (p, 0, 0), B (0; q; 0) і C (0; 0; r) (p, q, r = 0), то її

рівняння можна представити у вигляді + + = 1.

96. Якщо ρ - відстань від точки M ₀ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) до площини

Ax + By + Cz + D = 0, то

ρ =| Ax ₀ + By ₀ + Cz ₀ + D/√A ₂ + B ₂ + C ₂.

97. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Якщо пряма перпендикулярна двом  прямим, що перетинаються на  площині, то вона перпендbкулярна цій площині.

98. Якщо дві прямі перпендикулярні одній площині, то вони паралельні.

99. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна площині, то друга пряма також перпендикулярна цій площині.

100. Дві площини, перпендикулярні одній прямій, паралельні.

101. Якщо пряма і площина перпендикулярні одній прямій, то вони паралельні.

102. Через дану точку проходить єдина площина, перпендикулярна до даної прямої.

103. Через дану точку проходить єдина пряма, перпендикулярна цій площині.

104. Теорема про три перпендикуляри. Пряма, що лежить в площині, перпендикулярна похилій до площини тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до ортогональної проєкції похилої на цю площину.

105. Якщо з однієї точки проведені до площини перпендикуляр і похила, то:

а) перпендикуляр коротший похилої;

б) рівні похилі мають рівні ортогональні проєкції;

в) більшій похилій відповідає більша ортогональна проєкція;

г) з двох похилих більша та, ортогональна проєкція якої більша.

106. Теорема про кут прямої з площиною. Кут між похилою і її ортогональною проекцією на площину менше кута між цією похилою і будь-якою іншою прямою площини.

107. Геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є площина, перпендикулярна цьому відрізку і проходить через його середину.

108. Геометричне місце точок, віддалених на дану відстань від даної площини, є дві паралельні площини.

109. Геометричне місце точок, рівновіддалених від вершин трикутника, є пряма, що проходить через центр описаного кола навколо трикутника перпендикулярно його площині.

110. Якщо бічні ребра піраміди рівні, то її висота проходить через центр кола, описаного навколо основи.

111. Лінійний кут двогранного кута (переріз двогранного кута площиною, перпендикулярного його ребру) не залежить від вибору точки на ребрі двогранного кута.

112. Геометричне місце внутрішніх точок двогранного кута, рівновіддалених від його граней, є бісекторною площиною двгранного

кута.

113. Необхідна і достатня умова перпендикулярності площин. Дві площини перпендикулярні (утворюють прямий двогранний кут) тоді і тільки тоді, коли одна з них проходить через перпендикуляр до іншої.

114. Якщо дві площини, що перетинаються перпендикулярні третій,

то вони перетинаються по прямій, також перпендикулярній цій площині.

115. Якщо бічні грані трикутної піраміди утворюють рівні двогранні кути з площиною основи, то висота піраміди проходить  через центр вписаного кола.

116. Плоский кут тригранного кута менше суми двох інших його плоских кутів.

117. Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 ◦ .

118. Властивості діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

а) Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

б) Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі  квадратів трьох його вимірів (довжин трьох ребер із загальною вершиною).

 119. Перетин кулі площиною, віддаленої від центру кулі на відстань, менше радіуса, є коло. Основа перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину, є центр цього кола.

120 Дотична площина до кулі (площин\а, що має з кулею єдину спільну точку) перпендикулярна радіусу кулі, проведенному в точку дотику.

121. Дотична пряма до кулі (пряма, має з кулею єдину загальну точку) перпендикулярна радіусу кулі, проведенному в точку дотику

122. Центр кулі, вписаної в двогранний кут, лежить в біссекторній площині цього кута.

123. Відрізки дотичних прямих, проведених до кулі з однією точки, рівні між собою.

124. Лінія центрів  куль (що мають одну точку дотику) проходить через їх точку дотику.

125. Якщо дві різні кулі мають більше однієї спільної точки, то вони перетинаються по колу. Площина цього кола перпендикулярна лінії центрів даних куль.

126. Якщо ABCD - правильна трикутна піраміда з вершиною D,

висотою DM і стороною основи a, а A₁ , B₁ і C₁ - середини сторін

відповідно BC, AC і AB, то

а) ∠DAM = ∠DBM = ∠DCM - кут бічного ребра з площиною основи;

б) ∠DA ₁ M = \∠DB 1 M = ∠DC ₁ M - лінійний кут двогранного кута бічної грані з площиною основи;

в) ∠AFB (де F - основа перпендикуляра, опущеного з вершини A основи на бічне ребро DC) - лінійний кут між бічними гранями піраміди;

г) AA ₁ = BB ₁ = CC ₁ = a√3/2 - висота трикутника основи;

д) AM = BM = CM = 2AA ₁ /3 = a /√3 = (a√3) / 3 – ортогональна проєкція бічного ребра на площину основи;

е) A ₁ M = B ₁ M = C ₁ M = AA ₁ /3 = a / (2√3) = a√3/6 – ортогональна проєкція апофеми на площину основи;

ж) C ₁ F - загальний перпендикуляр протилежних ребер AB і CD.

127. Протилежні ребра правильної трикутної піраміди попарно перпендикулярні.

128. Висота правильного тетраедра з ребром a дорівнює a√2 / 3.

129. Якщо PABCD - правильна чотирикутна піраміда з вершиною P, висотою PM і стороною основи a, а A ₁ , B ₁ , C ₁ і D ₁ - середини сторін відповідно AB, BC, CD і AD, то

а) ∠P AM = ∠PBM = ∠PCM = ∠PDM - кут бічного ребра з площиною основи;

б) ∠PA ₁ M = ∠PB ₁ M = ∠PC ₁ M = ∠PD ₁ M - лінійний кут двогранного кута бічної грані з площиною основи;

в) ∠BFD (де F - основа перпендикуляра, опущеного з вершини B основи на бічне ребро AP) - лінійний кут між сусідніми бічними гранями піраміди;

г) ∠A ₁ PC ₁ = ∠B ₁ PD ₁ - лінійний кут двогранного кута між протилежними бічними гранями;

д) AM = BM = CM = DM = DB / 2 = (a√2) / 2 = a /√2 - ортогональна проєкція бічного ребра на площину основи;

е) A₁ M = B₁ M = C₁ M = D₁ M = a / 2 - ортогональна проєкція апофеми на площину основи;

ж) FM - загальний перпендикуляр діагоналі BD основи і  бічного ребра AP, що перетинаються.

130. Бічна поверхня призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на бічне ребро.

131. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює площі її основи, поділеній на косинус кута бічної грані з площиною основи.

131. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів.

132. Об’єм похилої призми дорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на бічне ребро.

133. Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту.

134. Об’єм трикутної призми дорівнює половині добутку площі бічної грані на відстань між цією гранню і протилежним  їй бічним ребром.

135. Об’єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту.

136. Піраміди з рівними висотами і рівними основами рівновеликі.

137. Якщо точки A₁ , B₁ і C₁ лежать на бічних ребрах відповідно DA, DB і DC трикутної піраміди ABCD або на їх продовженнях, то об’єм піраміди A₁B₁ C₁D₁ відноситься до об’єму піраміди ABCD, як DA₁/DA·DB₁/DB·DC₁/DC.

138. Об’єм тетраедра V дорівнює шостій частині добутку довжин двох протилежних ребер a і b на відстань між ними c і на синус кута φ між ними,

V =1/6abc · sin φ.

139. Об’ єм  тетраедра V дорівнює двом третинам добутку площ

двох граней P і Q на синус кута φ між ними, поділеній на їх загальне

ребро a, тобто V =2/3(P · Q · sin φ)/a

140. а) Об’єм тетраедра дорівнює третині добутку його повної поверхні на радіус вписаної кулі.

б) Об’єм багатогранника, в який можна вписати кулю, дорівнює

одній третій добутку повної поверхні багатогранника на радіус кулі.

141. Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основина висоту.

142. Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі його основина висоту.

143. Об’єм кулі радіуса R дорівнює 4πR³.

144. Об’єм кульового сегмента висотою h кулі радіуса R дорівнює πh²(R - h/ 3).

145. Бічна поверхня циліндра з висотою h і радіусом основи r дорівнює 2πrh.

146. Бічна поверхня конуса з твірною l і радіусом основи r дорівнює πrl.

147. Поверхня кулі радіуса R дорівнює 4πR ² .

148. Сферична поверхня кульового сегмента висотою h кулі радіуса R дорівнює 2πRh.

2. Вибрані теореми елементарної геометрії

1. Сума відстаней від довільної точки основи равнобедренного трикутника до бічних сторін стала.

2. Якщо три медіани одного трикутника відповідно рівні трьом медианам іншого трикутника, то трикутники рівні.

3. Медіана трикутника ABC, проведена з вершини A, менша півсуми сторін AB і AC, але більша їх піврізниці.

4. Сума трьох медіан трикутника менша периметра, але більша трьох чвертей периметра трикутника.

5. Сума діагоналей опуклого чотирикутника більша суми його двох протилежних сторін.

6. Відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою, що лежить на протилежній стороні, менший від більшої з двох інших сторін.

7. Нехай AA ₁ - медіана трикутника ABC. Кут A гострий тоді і тільки тоді, коли AA ₁ > BC / 2_.

8. Сума відстаней від будь-якої точки всередині трикутника до трьох його вершин більша за півпериметра, але менша периметра трикутника.

9. Два кола радіусів r і R (r <R) перетинаються тоді і тільки тоді, коли відстань між їх центрами менше, ніж r + R, але більше, ніж R - r.

10. Якщо відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін чотирикутника,

а) рівні, то діагоналі чотирикутника перпендикулярні;

б) перпендикулярні, то діагоналі чотирикутника рівні.

11. Точки K, L, M і N - середини сторін відповідно AB, BC,CD і DE п'ятикутника ABCDE, а точки P і Q - середини відрізків відповідно KM і LN. Тоді PQ AE і PQ = AE / 4.

12. Бісектриси кутів при бічній стороні трапеції перетинаються на її середній лінії.

13. Сторони паралелограма дорівнюють a і b. Тоді діагоналі чотикутника, утвореного перетинами бисектрис кутів паралелограмма, рівні | a - b |.

14. Якщо сума кутів при одній з основ трапеції дорівнює 90^◦,

то відрізок, що з'єднує середини основ трапеції, дорівнює їх піврізниці.

15. Відрізок прямої, паралельної основам трапеції, проведений всередині трапеції, розбивається її діагоналями на три частини. Тоді відрізки, що прилягають до бічних сторонах, рівні між собою.

16. Через точку перетину діагоналей трапеції з основами a і b проведена пряма, паралельна основам. Відрізок цієї прямої, між бічними сторонами трапеції, дорівнює2ab/a + b.

17. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти BD і CE. Якщо BF і CG - перпендикуляри, опущені з вершин B і C на пряму ED, то EF = DG.

18. На відрізку AB взята точка C. Пряма, що проходить через точ-ку C, перетинає кола з діаметрами AC і BC в точках K і L, а також коло з діаметром AB - в точках M і N. ТодіKM = LN.

19. Нехай α, β і γ - кути трикутника, причому α ≤ β ≤ γ. тоді α ≤ 60^◦ , γ ⩾ 60^◦ , 0 ◦ <β <90^◦ .

20. На двох сторонах трикутника зовні побудовано квадрати, тоді відрізок, що з'єднує кінці сторін квадратів, що виходять з одної вершини трикутника, в два рази більше медіани трикутника, що виходить з тієї ж вершини.

21. Два кола перетинаються в точках A і B. Продовження хорд AC і BD першого кола перетинають друге коло в точках E і F. Тоді прямі CD і EF паралельні.

22. Через точку дотику двох кіл проведена січна. Тоді дотичні, проведені до кіл через кінці утворених  хорд, паралельні.

23. Продовження бісектрис гострокутного  трикутника ABC перетинають описане коло цього трикутника в точках A₁ , B₁ , C₁ . Тоді висоти трикутника A ₁ B ₁ C ₁ лежать на прямих AA ₁ ,

BB₁ , СC₁ .

24. Якщо виконується одна з таких умов, то чотири точки A, B, C і D лежать на одному колі.

а) ∠CAD = ∠CBD = 90^◦ .

б) Точки A і B лежать по одну сторону від прямої CD і ∠CAD = ∠CBD.

в) Прямі AC і BD перетинаються в точці O і OA *OC = OB * OD.

25. а) Три прямі, що проходять через точку O, утворюють один з другим кути в 60^◦ . Тоді проєкції довільної точки, відмінної від O, на ці прямі є вершинами правильного трикутника.

б) Проєкції довільної точки на висоти трикутника є вершинами трикутника, подібного даному.

26. Точка Торрічеллі. На сторонах трикутника ABC побудовані зовні трикутника рівносторонні трикутники BCA₁ , CAB₁ , ABC₁ ,

і проведені відрізки AA ₁ , BB ₁ і CC ₁ . тоді

а) ці відрізки рівні;

б) ці відрізки перетинаються в одній точці;

в) якщо ця точка знаходиться всередині трикутника ABC, то сума її відстаней до трьох вершин трикутника дорівнює кожному з відрізків

AA ₁ , BB ₁ , CC ₁ .

27. Формула Ейлера. Якщо O ₁ , O ₂ - центри вписаного і описаного кіл трикутника ABC, а r і R - радіуси цих кіл, то O ₁ O ₂ =√R² - 2rR.

28. Чотири круги, побудованих на сторонах опуклого чотирикутника як на діаметрах, покривають весь чотирикутник.

29. Загальні хорди трьох попарно  кіл, що перетинаються, або їх продовження проходять через одну точку, або паралельні, або лежать на одній прямій.

30. Точка M перебуває на продовженні хорди AB. якщо точка C кола така, що MC² = MA · MB, то MC – дотична до кола.

31. Центри квадратів, побудованих на сторонах паралелограма зовні, самі утворюють квадрат.

32. Якщо в трикутнику ABC з кутом B, рівним 120^◦ , бісектриси AE, BD і CM перетинаються в точці O, то ∠DMO = 30^◦ .

32. Пряма Ейлера. У будь-якому трикутнику точка H перетину висот (Ортоцентр), центр O описаного кола і точка M перетину медіан (центр ваги) лежать на одній прямій, причому точка M розташована між точками O і H, і MH = 2MO.

33. Теорема Менелая. Дано трикутник ABC. деяка пряма перетинає його сторону AB, BC і продовження сторони AC в точках C₁ , A₁ , B ₁ відповідно. Тоді BA ₁/A ₁ C·CB ₁/B ₁ A·AC ₁/C ₁ B= 1.

34. Теорема Чеви. Нехай точки A ₁ , B ₁ і C ₁ належать вівдловідно сторонам BC, AC і AB трикутника ABC. Відрізки AA ₁ , BB ₁ ,CC₁ перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, колиAB ₁/B ₁ C·CA ₁/A ₁ B·BC ₁/C ₁ A= 1.

35. а) Точка Жергона. У трикутник вписане коло. Точки дотику зі сторонами трикутника з'єднані з протилежними вершинами. Тоді три отриманих відрізки перетинаються в одній точці.

б) Точка Нагеля. У будь-якому трикутнику відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику зовнішньовписанних кіл з протилежними сторонами, перетинаються в одній точці.

36. Через точку M на висоті AD довільного трикутника ABC проводяться прямі BM і CM, які перетинають сторони AC і AB в точках P і Q відповідно. Тоді AD - бісектриса кута PDQ.

37. Пряма, що з'єднує точку P перетину діагоналей чотирикутника ABCD з точкою Q перетину прямих AB і CD, ділить сторону AD навпіл. Тоді вона ділить навпіл і сторону BC.

38. Якщо на стороні BC трикутника ABC, як на діаметрі, побудувати коло, що перетинає сторони AB і AC в точках M і N, то S (AMN) = S (ABC) cos²α.

39. Дві прямі ділять протилежну сторону опуклого чотирикутника на три рівні частини. Тоді між цими прямими знаходиться 1/3S чотирикутника

40. Якщо площа трикутника ABC дорівнює S, то площа трикутника, сторони якого рівні медіанам трикутника ABC, дорівнює 3S / 4.

41. Через деяку точку, взяту всередині трикутника, проведені три прямі, паралельні сторонам. Ці прямі розбивають трикутник на шість частин, три з яких - трикутники з площами S ₁ , S ₂ , S ₃ . Тоді площа даного трикутника дорівнює (√S ₁ + √S ₂ + √S ₃ ) ² .

42. Кожна сторона опуклого чотирикутника поділена на три рівні частини. Відповідні точки поділу на протилежних сторонах з'єднані відрізками. Тоді ці відрізки ділять один одногона три рівні частини.

43. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то відрізок, що з'єднує точки, дотику кола протилежних сторін чотирикутника, проходить через точку перетину діагоналей.

44. Геометричне місце точок, різниця квадратів відстаней від яких до точок A і B величина стала, є пряма, перпендикулярна AB.

45. Прямі AB і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

AC ² + BD ² = AD ² + BC ² .

46. У трикутнику ABC, сторони AC і BC якого не рівні, бісектриса кута C ділить навпіл кут між медіаною і висотою, проведеними з вершини C, тоді і тільки тоді, коли кутC = 90^◦ .

47. Три кола рівних радіусів перетинаються в точці O і, крім  того, попарно перетинаються в точках A, B і C. Тоді

а) коло, описане навколо трикутника ABC, має той же радіус;

б) три прямі, кожна з яких з'єднує центр оного кола  з точкою перетину двох інших, перетинаються в одній точці;

в) точка O - ортоцентр трикутника ABC.

48. Нехай O - центр описаного кола трикутника ABC, H - точка перетину висот. Тоді ∠HAB = ∠OAC.

49. Якщо BM і CN - висоти трикутника ABC, а O - центр описанного кола трикутника, то OA ⊥ MN.

50. Коло дев'яти точок. У будь-якому трикутнику дев'ять точок - середини сторін, основи висот і середини відрізків від вершин до ортоцентра - лежать на одному колі.

51. Коло,що дотикається до сторони  BC трикутника ABC в точці M, а продовження сторін AB і AC - в точках N і P відповідно. Вписане коло цього трикутника дотикається до сторони BC в точці K, а до сторони AB - в точці L. Тоді

а) відрізок AN дорівнює півпериметру трикутника ABC;

б) відрізок AL дорівнює різниці півпериметра і сторони BC;

в) BK = CM; г) NL = BC.

52. На сторонах BC, CA, і AB трикутника ABC взяті

відповідно точки A ₁ , B ₁ і C ₁ , причому AC ₁ = AB ₁ , BA ₁ = BC ₁

і CA ₁ = CB ₁ . Тоді A ₁ , B ₁ і C ₁ - точки дотику вписаного кола і зі сторонами трикутника.

53. Якщо AD - бісектриса трикутника ABC, то

а) AD =2AB * AC cos (ZBAC / 2)/AB + AC,

б) AD² = AB * AC - BD * CD.

54. Властивості вписаного чотирикутника з взаємно перпендикулярними діагоналями. Чотирикутник ABCD вписаний в коло радіуса R з центром O. Його діагоналі AC і BD взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці P. Тоді

а) медіана трикутника APB перпендикулярна стороні CD;

б) ламана AOC ділить чотирикутник ABCD на дві равновеликі фігури;

в) AB ² + CD ² = 4R ² ;

г) AP ² + BP ² + CP ² + DP ² = 4R ² і AB ² + BC ² + CD ² + AD ² = 8R ² ;

д) відстань від центру кола до сторони чотирикутника вдвічі менша протилежної сторони.

е) якщо перпендикуляри, опущені на сторону AD з вершин B і C, перетинають діагоналі AC і BD в точках E і F, то BCFE - ромб;

з) чотирикутник, утворений дотичними до описаного кола чотирикутника ABCD, проведеними в його вершинах, можна вписати в коло.

55. Якщо в чотирикутник зі сторонами a, b, c, d можна вписати і навколо нього можна описати коло, то його площа дорівнює √abcd.

56. В будь-якому трикутнику радіус описаного кола не менший подвоєного радіуса вписаного кола, причому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли трикутник рівносторонній.

57. Теорема Ньютона. У всякому описаному чотирикутнику середини діагоналей і центр вписаного кола розташовані на одній прямій.

58. Якщо M - точка перетину медіан трикутника ABC, а O -

довільна точка, то =1/3(  + +).

59. Теорема Монжа. Прямі, проведені через середини сторін вписаного чотирикутника перпендикулярно протилежним сторонам, перетинаються в одній точці.

60. Теорема Гауса. Якщо продовження сторін AB, AC і BC трикутника ABC перетинають пряму l в точках C ₁ , B ₁ і A ₁ , то середини відрізків AA ₁ , BB ₁ і CC ₁ лежать на одній прямій.

Зміст

 

 Вступ

 1. Основні відомості зі шкільної геометрії.

2. Вибрані теореми елементарної геометрії

 

 

 

Література

1.Р.К.Гордин «Это должен знать каждый матшкольник».

2. Г.В.Апостолова. Геометрія 8 клас. Підручник для загальноосвітніх закладів.

3. Г.В.Апостолова. Геометрія 8 клас. Підручник для загальноосвітніх закладів 9 клас.