Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині.
Мета уроку: формування знань про паралельне проектування. Вивчення властивостей паралельного проектування. Дати уявлення про зображення просторових фігур на площині.
Обладнання: стереометричний набір.
Хід уроку
1. Відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв'язуванні домашньої задачі.
2. Самостійна робота.
Варіант 1
Варіант 2
Варіант З
Варіант 4
Відповідь. Варіант 1. 1) 5 см; 2) см. Варіант 2. 1) 3 см; 2) см.
Варіант 3. 1) 1,5 см; 2) 4см. Варіант 4. 1) 3 см; 2) 3 + 2 см.
II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу
Для зображення просторових фігур у стереометрії користуються паралельним проектуванням. Пригадаємо, що це таке.
Нехай дано довільну площину α, точку А (рис. 83) і пряму h, яке перетинає площину α. Проведемо через точку А пряму, яка паралельна h, вона перетинає площину α у деякій точці А1. Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину α у напрямі h. Пряму h називають проектуючою прямою, площину α — площиною проекцій.
Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури (рис. 84). Наведемо деякі властивості паралельного проектування.
Теорема.
Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:
3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.
Ці частини площин перетинають площину а відповідно або по відрізках однієї прямої, або по паралельних відрізках А1В1 і С1D1.
Якщо відрізки АВ і CD паралельні, а їх проекції А1B1 і С1D1 лежать на одній прямій (див, рис. 86), то АВВ2A2 — паралелограм. У цьому випадку A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD. Нарешті, якщо проекції А1В1 і С1D1 даних відрізків АВ і CD не лежать на одній прямій (див. рис. 87), то побудуємо паралелограм CDKB. Його проекція — паралелограм СDKВ. Отже, маємо: А1В1 : C1D1 = А1В1 : В1К1 = АВ : ВК = АВ : CD.
Доведення третього твердження теореми можна опустити, обмежившись поясненнями, які зроблені в підручнику.
Виконання вправ
Розглянуті властивості паралельного проектування дають змогу наочно зображати просторові фігури на площині.
Зображенням фігури називається будь-яка фігура, подібна до паралельної проекції даної фігури на деяку площину.
Розв'язування задачі № 37 із підручника (с. 22).
§ 2, п. 13; контрольне запитання № 12; задача № 38 (с. 22).
Запитання до класу
1) Як виконується паралельне проектування?
2) Що називається паралельною проекцією точки; фігури?
3) Що є паралельною проекцією прямої; двох паралельних прямих?
4) Чи зберігається при паралельному проектуванні довжина відрізків; величина кутів?
5) В якому випадку відношення довжин проекцій відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектують?
6) Відрізок А1B1 — паралельна проекція відрізка АВ на площину α (рис. 89). Точка С лежить на відрізку АВ. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) проекція точки С на площину α не належить відрізку А1B1;
б) відрізки АВ і А1В1 не лежать в одній площині;
в) якщо AC : BC = 2 : 3, то А1C1 : С1В1 = 2 : 3;
г) якщо АС = СВ, то А1С1 = 2С1В1;
д) якщо АС = 3 см, АВ =12 см, то А1С1 : А1В1 =1: 4.