Тема уроку. Тематичне оцінювання з теми «Паралельність прямих і площин у просторі».

Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з теми «Паралельність прямих і площин у просторі».

Хід уроку

Тематичне оцінювання № 2 можна провести шляхом проведення те­матичної контрольної роботи.

1. Тематична контрольна робота № 2

Варіант А

Варіант 1

1. Користуючись зображенням куба ABCDA₁В₁C₁D₁ (рис. 113), запи­шіть ребра куба, які паралельні грані ABCD. (3 бали)
2. Сторона АВ трикутника АВС лежить у площині α, а вершина С не лежить в цій площині. Точки М і N — середини сторін АС і ВС від­повідно. Доведіть, що пряма MN паралельна площині α. (3 бали)
3. Дано дві паралельні площини α і β. Точки А і В належать площи­ні α, точки С і D — площині β. Відрізки AD і ВС перетинаються в точці М, АВ = 10 см, BM = 6 см, CM = 12 см. Знайти довжину відрізка CD. (3 бали)

4. Побудуйте переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через точки А, В і D₁. (3 бали)

Варіант 2

1. Користуючись зображенням куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 114), запишіть грані куба, які паралельні ребру AA₁. (3 бали)
2. Дві сторони даного трикутника паралельні площині α. Доведіть, що і третя його сторона паралельна цій площині. (3 бали)
3. Площина α перетинає сторони АВ і ВС трикутника АВС в точ­ках М і N відповідно і паралельна стороні АС. Знайти довжину від­різка MN, якщо АС = 24 см, а ВМ:АМ = 3:1. (3 бали)
4. Побудуйте переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через діагональ ВС₁ грані куба і паралельна діагоналі АС грані куба. (3 бали)

Варіант 3

1. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 115), укажіть ребра, які паралельні площині BDD₁. (3 бали)
2. Основа AD трапеції ABCD лежить у площині α, а точки В і С не належать цій площині. Доведіть, що пряма ВС паралельна площині α. (3 бали)
3. Дано дві паралельні площини α і β. Промінь SC перетинає площи­ну α в точці А, а площину β — в точці С; промінь SD перетинає площину α в точці В, а площину β — в точці D; SA = 14 см, SC = 42 см, CD = 18 см. Знайти довжину відрізка АВ. (3 бали)
4. Побудуйте переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через точки В, С і A₁. (3 бали)

Варіант 4

1. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда (рис. 116), запишіть  грані  прямокутного  паралелепіпеда,  які  паралельні  прямій ВС. (3 бали)
2. Сторони даного гострого кута паралельні площині α. Доведіть, що і бісектриса цього кута паралельна цій площині. (3 бали)
3. Площина α перетинає сторони АВ і ВС трикутника АВС в точ­ках М і N відповідно і паралельна стороні АС. Знайти сторону АС трикутника, якщо АС – MN = 8 см, ВМ : МА = 2:1. (3 бали)
4. Побудуйте переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через діагональ AD₁ грані куба і паралельна діагоналі BD грані куба. (З бали)

Відповідь. Варіант 1. 1. А₁В₁, В₁С₁, C₁D₁, А₁D₁. 3. 20 cm. 4. Рис. 117.

Варіант 2. 1. ВСС₁В₁, DCC₁D₁. 3. 18 cm. 4. Рис. 118.

Варіант 3. 1. АА₁, СС₁. 3. 6 cm. 4. Рис. 119.

Варіант 4. 1. ADD₁A₁, A₁B₁C₁D₁. 3. 24см. 4. Рис. 120.

Варіант Б

Варіант 1

1. Дано трикутну піраміду SABC. Точки К, L, М — середини ребер SA, SB, SC відповідно.

а) Яке взаємне розміщення прямої KL та площини АВС? (2 бали)

б) Яке взаємне розміщення площин KLM та АВС? (2 бали)

в) Яке взаємне розміщення площин АВС та KLS? (2 бали)

2. Чи правильне твердження: якщо дві прямі, які лежать в одній пло­щині, паралельні двом прямим другої площини, то ці площини па­ралельні? Відповідь обґрунтуйте. (3 бали)
3. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Н належить ребру CD. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка прохо­дить через цю точку і паралельна площині перерізу ACD₁. (3 бали)

Варіант 2

1. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁.

а) Яке взаємне розміщення прямої А₁В₁ та площини АВС? (2 бали)

б) Яке взаємне розміщення площин ACD₁ та А₁С₁В ? (2 бали)

в) Яке взаємне розміщення площин ACD₁ та BB₁D₁ ? (2 бали)

2. Чи правильне твердження: якщо дві прямі, які лежать в одній пло­щині, паралельні другій площині, то ці площини паралельні? Від­повідь обґрунтуйте. (3 бали)
3. У трикутній піраміді SABC точки Е, К, Р належать ребрам АВ, SB, SC відповідно, причому РК ВС . Побудуйте переріз тетраедра площиною ЕКР. (3 бали)

Варіант З

1. Дано трикутну піраміду SABC. Точки К, L, М — середини ребер SA, SB, SC відповідно.

а) Яке взаємне розміщення прямої АВ та площини КLМ? (2 бали)

б) Яке взаємне розміщення площин KLM та АВС? (2 бали)

в) Яке взаємне розміщення площин KLC та АВМ? (2 бали)

2. Яким може бути взаємне розташування прямих а і b, якщо пряма а лежить в площині  α,  а  пряма  b  паралельна  цій  площині?  Відпо­відь  обґрунтуйте. (3 бали)
3. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ точки К, Р, М на­лежать відповідно ребрам АА₁, A₁B₁ і ВС. Побудуйте переріз пара­лелепіпеда площиною КРМ. (3 бали)

Варіант 4

1. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки К, L, М — середини ребер АВ, AD, АА₁ відповідно.

а) Яке взаємне розміщення прямої KL та площини BDC₁ ? (2 бали)

б) Яке взаємне розміщення площин KLM та BDA₁ ? (2 бали)

в) Яке взаємне розміщення площин KLM та B-DC, ? (2 бали)

2. Яким може бути взаємне розташування двох прямих, якщо обидві вони паралельні одній площині? Відповідь обґрунтуйте. (3 бали)
3. У тетраедрі SABC точка Е належить ребру АС. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку Е і паралельна ре­брам AD і ВС. Визначте вигляд перерізу. (3 бали)

Тематичне оцінювання № 2 можна провести за допомогою тесту, текс­ти якого подано нижче.

При оцінюванні виконання тестів враховуються тільки ті шість із виконаних завдань, яким відповідає найбільша кількість балів.

Тест

Паралельність прямих і площин

Мета даного тесту — перевірити, чи вміє учень:

• зображати та знаходити на малюнках прямі, що перетинають площину і паралельні їй;
• розв'язувати задачі, використовуючи ознаку паралельності пря­мої і площини;
• зображати та знаходити на малюнках паралельні площини і площини, що перетинаються;
• розв'язувати задачі на взаємне розміщення площин, використо­вуючи відповідні властивості та ознаки.

Варіант 1

І рівень

1. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда (рис. 121). Яка з вказаних площин паралельна прямій СЛ? (1 бал)

a) AA₁D;      б) ABB₁;      в) ВВ₁D₁;       г) AD₁C .

2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 122). Яка з вказаних площин паралельна площині BDA₁ ? (1 бал)

а) В₁D₁А;     б) АСВ₁;       в) А₁С₁D₁;       г) В₁D₁С .

3. Точки К, L, М — середини ребер SA, SB, SC тетраедра SABC (рис. 123). Яке взаємне розміщення площин АВС і KLM ? (1 бал)

а) Перетинаються;  б) збігаються;  в) паралельні; г) визначити неможливо.

II рівень

1. Відрізок АВ не перетинає площину α, С — середина відрізка АВ. Через точки А, В, С проведені паралельні прямі, які перетинають площину а відповідно в точках А₁, В₁, С₁. (рис. 124). Знайдіть АА₁, якщо ВВ₁ = 4 cm; CC₁ = 3 см. (1 бал)

а) 1 см; б) 2 см;    в) 3 см;    г) 4 см.

2. Площина α перетинає сторони АВ і AC трикутника АВС відповідно в точках В₁ і С₁, ВС || α (рис. 125). Знайдіть ВС, якщо В₁С₁ = 1 см, ВВ₁ : В₁А = 3:1. (1 бал)

 а) 1 см;   б) 2 см;   в) 3 см;   г) 4 см,

3. Дано площину α і точку А поза нею. Скільки існує різних прямих, які проходять через точку А і паралельні α? (1 бал)

а) Одна; б) жодної; в) дві;  г) безліч.

III рівень

1. Точки К, L, М, N є серединами відповідно ребер SA, ВА, ВС, SC те­траедра SABC. Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо АС = т , SB = п. (2 бали)

а) 2т;          6) 2п;           в) т + п ;         г) .

2. У просторі дано дві паралельні прямі а і b, а також точку А, що не належить їм. Скільки існує площин, які проходять через точку А і паралельні прямим а і b? (2 бали)

а) Одна;   б) жодної;    в) дві;     г) безліч.

3. Які з вказаних фігур можуть бути паралельною проекцією трапе­ції? (2 бали)

а) Квадрат;  б) трапеція;   в) ромб;    г) трикутник.

IV рівень

1. АВСDА₁В₁С₁D₁ — куб, К — середина ребра СС₁. Визначити число сторін перерізу куба площиною, яка проходить через точки В, К, А. (3 бали)

а) 3;    б) 4;    в) 5;   г) 6.

2. Яку фігуру утворюють усі відрізки, що сполучають будь-які точки двох мимобіжних відрізків? (3 бали)

а) Чотирикутник;   б) площину; в) тетраедр;  г) відрізок.

3. ABCD — квадрат зі стороною 6 см. Точка S віддалена від кожної вершини квадрата на 7 см. Знайдіть відстані від середини відрізка SA до середин сторін квадрата. (3 бали)

а) 2,5 см; б) 3,5 см; в) 4,5 см;  г) 5,5 см.

Варіант 2

І рівень

1. Дано зображення тетраедра SABC (рис. 126). Точки К, L — середини ребер SA і SB. Яка з вказаних площин пара­лельна прямій KL? (1 бал)

a) SAC;    б) SAB;     в) SBC;   г) АВС.

2. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 127). Яка із вказаних площин паралельна площині АВС? (1 бал)

a) BDC₁;      б) А₁В₁С₁;     в) BCD;         г) DCC₁.

3. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 128). Яке взаємне роз­міщення площин АСВ₁ і A₁C₁D ? (1 бал)

а) Перетинаються; б) збігаються; в) паралельні; г) визначити неможливо.

II рівень

1. Відрізок АВ не перетинає площину α, С — середина відрізка АВ. Через точки А, В, С проведено паралельні прямі, які перетинають площину а відповідно в точках А₁, В₁, С₁ (рис. 129). Знайдіть СС₁, якщо АА₁ = 2 см; ВВ₁ = 4 см. (1 бал)

а) 4 см; б) 3 см;    в) 2 см;    г) 1 см.

2. Площина α перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС відповідно в точках В₁ і С₁, ВС || α (рис. 130). Знайдіть АС, якщо АС₁ = 2 см, ВС:В₁С₁=2:1. (1 бал)

а) 1 см; б) 2 см;    в) 3 см;    г) 4 см.

3. Дано площину α і точку А поза нею. Скільки існує площин, що проходять через точку А і паралельні α ? (1 бал)

а) Одна;   б) жодної;    в) дві;    r) безліч.

III рівень

1. Точки К, L, М, N є серединами відповідно ребер SA, АС, ВС, BS те­траедра SABC. Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо кожне ребро тетраедра дорівнює а. (2 бали)

а) а;    б) 2а;    в) 3а;  г) 4а.

2. У просторі дано дві мимобіжні прямі а і b і точку А, що не нале­жить їм. Скільки існує площин, які проходять через точку А і па­ралельні прямим а і b? (2 бали)

а) Одна;    б) жодної;    в) дві;   г) безліч.

3. Які з вказаних фігур можуть бути паралельною проекцією прямо­кутника? (2 бали)

а) Квадрат;   б) трапеція;   в) ромб;  г) трикутник.

IV рівень

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, К — середина ребра СС₁. Визначити число сторін перерізу куба площиною, яка проходить через точки А, В₁, К. (3 бали)

а) 3;     б) 4;     в) 5;   r) 6.

2. Прямі а і b — мимобіжні. Знайдіть геометричне місце точок, утво­рене прямими, кожна з яких перетинає пряму b і паралельна пря­мій а. (3 бали)

а) Пряма;    б) площина;   в) тетраедр; г) відрізок.

3. Три паралельні площини перетинають дві мимобіжні прямі в точках А₁, А₂, А₃ і В₁, В₂, В₃. Відомо, що А₁А₂ = 4 см, В₂В₃ = 9 см, А₂А₃ = В₁В₂. Знайдіть довжину відрізка А₁А₃. (3 бали)

а) 5 см;    б) 10 см;    в) 13 см;   г) 15 см.

Відповіді до тестових завдань

II. Домашнє завдання

Якщо в класі виконувалася тематична контрольна робота № 2, то вдома можна запропонувати виконати тест, і навпаки.

III. Підведення підсумку уроку

У ході фронтальної бесіди з'ясувати, які завдання викликали труд­нощі, та відповісти на запитання учнів.