Тема уроку. Перпендикулярність прямих у просторі.

Мета уроку: формування поняття про перпендикулярні прямі. Вивчення теореми про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Аналіз виконання тематичного оцінювання

II. Перевірка домашнього завдання

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення та виконання домашнього завдання.

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Означення перпендикулярних прямих у просторі

Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпе­ндикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпен­дикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярнос­ті прямих у просторі.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.

Розв'язування задач

1. Назвіть в оточенні моделі прямих, які перпендикулярні між собою.

2. Дано зображення куба АBСDA₁B₁C₁D₁. Укажіть ребра куба, які пер­пендикулярні до прямої АА₁.

3. Задача № 3 (1, 4) із підручника (с. 34).

Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим

Питання до класу: що можна стверджувати про взаємне розташу­вання прямих а₁ і b₁, які перетинаються і а₁ || а, b₁ || b, а b? Учні висувають гіпотезу, що a₁ b₁. Для ілюстрації цього твердження вико­ристовується каркасна модель куба або прямокутного паралелепіпеда.

Далі формулюємо теорему:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

Доведення цієї теореми проводить учитель. Подаємо запис доведення теореми, який рекомендується зробити на дошці і в зошитах учнів.

Дано: ab, аα, bα; а₁||а, b₁||b, а₁α₁, b₁α₁, а₁ і b, перетинаються (рис. 131).

Довести: а₁ b₁

Доведення

Розв'язування задач

1. SABC — тетраедр; <ABC = 90°; точки К, L, М — середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 132). Знайти <MKL.

2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 133). Точки М, N, Р, К — точки перетину діагоналей граней АВВ₁А₁, CDD₁C₁, А₁B₁С₁D₁ і ABCD відповідно. Довести, що MN РК .

3. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку М, що належить ребру АА₁ в грані AA₁DD₁, проведіть пряму MN так, щоб <MOD₁ = 90° , де точ­ка О — точка перетину прямих MN і AD₁.

Розв'язання

Проведемо в квадраті A₁ADD₁ діагоналі AD₁ і A₁D (AD₁A₁D) (рис. 134). Через точку М ребра АА₁ в грані АDD₁А₁ проведемо пряму MN || А₁D . За теоремою 3.1 MN AD₁, оскільки <A₁OD₁ = 90° .

4. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку О грані А₁АDD₁ проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС , ON || СС₁. Доведіть, що <MON = 90° .

5. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведіть площину α, паралельну основі А₁B₁С₁D₁ куба. Доведіть, що <MON = 90°, де точки М, N — точки перетину ребер СС₁ і BВ₁ з площиною α.

IV. Домашнє завдання

§ 3, п. 14; контрольні запитання № 1, 2; задача № 3 (2; 3) (с. 34).

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?

2) Чи визначають площину дві перпендикулярні прямі? Чому?

3) Сформулюйте теорему про прямі, які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим.

4) Сторони двох трикутників відповідно паралельні. Чи паралельні відповідні висоти цих трикутників?

5) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть довжину діагоналі грані куба. (Відповідь. а.)

6) Довжина діагоналі грані куба дорівнює а. Знайдіть ребро куба.

(Відповідь. .)