Тема уроку. Перпендикуляр і похила. Взаємозв'язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій.
Мета уроку: формування понять: перпендикуляр до площини, похила, основа похилої, основа перпендикуляра, проекції похилої на площину, відстань від точки до площини. Виявлення взаємозв'язку між довжинами двох похилих, проведених з однієї точки до площини, і довжинами їх проекцій.
Обладнання: стереометричний набір.
1. Два учні відтворюють на дошці розв'язання задач № 14, 15.
2. Розв'язування задач.
1) Дано площину α, перпендикулярну до неї пряму а і іншу пряму b, яка не лежить в площині α. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) якщо b || a, то b α;
б) якщо b α , то b || а ;
в) якщо b α, то а і b мимобіжні;
г) якщо b α, то а і b перетинаються.
2) Дано площину α, паралельну їй пряму а і деяку пряму b, яка не лежить в площині α. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) якщо b || a, то обов'язково b || α;
б) якщо b α, то обов'язково b
а;
в) якщо b α і b перетинає а, то b
а;
г) якщо b α, то b і а обов'язково мимобіжні.
3. Обговорення правильності виконання учнями задач № 14, 15.
Перпендикуляр і похилі, взаємозв'язок між довжинами похилих. проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій
Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.
На рис. 162 пряма AC перпендикулярна до площини α і перетинає її в точці С, отже, відрізок AC — перпендикуляр, опущений з точки А на площину α. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, тобто точка С, називається основою перпендикуляра.
Якщо AC — перпендикуляр до площини α, а точка В — відмінна від С точка цієї площини, то відрізок АВ називають похилою, проведеною з точки А на площину α. Точка В — основа похилої. Відрізок, що з'єднує основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією похилої. На рис. 162 відрізок ВС — проекція похилої АВ на площину α.
Прикладами матеріальних моделей перпендикулярів є: стовпи, телевізійні вежі тощо.
Слід зазначити, що перпендикуляр, опущений з точки, коротший за будь-яку похилу, проведену через дану точку.
Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.
Рис. 163
Вивчення взаємозв'язку між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекції доречно провести шляхом розв'язування задач.
Задача.
Із деякої точки проведено до площини дві похилі і перпендикуляр. Доведіть, що якщо:
1) похилі рівні, то рівні і їх проекції;
2) проекції похилих рівні, то рівні і похилі.
3) похилі нерівні, то більша похила має більшу проекцію.
Нехай АВ α (рис. 165); AC і AD — похилі; AC > BD .
Із ΔAСВ AC =
.
Із ΔАDB AD = .
Згідно з умовою AC > AD , тоді
>
;
АВ2 + ВС2 > АВ2 + BD2, або ВС2 > BD2; отже, ВС > BD . 4) Доведіть: якщо похилі нерівні, то більшій проекції відповідає більша похила.
III. Закріплення та осмислення знань учнів
1. Задача № 22 із підручника (с. 36).
2. Задача № 23 із підручника (с. 36).
Нехай АВ α (рис. 165); AC = 17 cm, AD = 10 cm, СB – BD = 9 cm. Нехай BD = x cm, тоді CB = (x + 9) cm.
Із ΔАВD: АВ2 = AD2 – BD2 = 100 – x2.
Із ΔАСВ: АВ2 = AC2 – BC2 = 289 – (x+ 9)2. Тоді 100 – x2 = 289 – (x + 9)2; 100 – x2 = 289 – x2 – 18x – 81; 18x = 108; x = 6.
Отже, BD = 6 cm, CB = 6 + 9 = 15 (см).
Відповідь. 6 см і 15 см.
3. Задача № 25 із підручника (с. 36).
Розв'язання
Нехай АВ α (рис. 165); AD = 23 см, AC = 33 см, BD : CB = 2 : 3.
Нехай BD = 2x см, CB = 3х см. Із ΔАВD: АВ2 = AD2 – BD2 = 232 - 4x2.
Із ΔАВС: АВ2 = AC2 – BC2 = 332 – 9x2. Тоді 232 – 4x2 = 332 – 9x2;
5x2 =332 – 232; 5x2 = (33 – 23)(33 + 23); x2 =112 і АВ = =
= =
= 9 (см). Отже, довжина перпендикуляра дорівнює 9 см.
Відповідь. 9 см.
§ 3, п. 18; контрольні запитання № 7—9; задача № 24 (с. 36).
V. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
а) рівні; б) не рівні?