Тема уроку.   Тематичне оцінювання з тем «Перпендикулярність прямих»,

                       «Перпендикулярність прямої і площини».

Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з тем «Перпендикулярність прямих», «Перпендикулярність прямої і площини».

Хід уроку

Тематичне оцінювання № 3 можна провести у вигляді тематичної контрольної роботи.

1. Тематична контрольна робота № 3

Варіант А

Варіант 1

1. Користуючись зображенням куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 180), запи­шіть ребра куба, які перпендикулярні до ребра АА₁ і перетинають його. (3 бали)
2. Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 10 см. Знайти відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 12 см. (3 бали)
3. З точки А, взятої поза площиною α, проведені до неї дві похилі, до­вжини яких дорівнюють 10 і 17 см. Різниця проекцій цих похилих на площину α дорівнює 9 см. Знайти проекції похилих. (3 бали)
4. Правильний трикутник розташований над площиною. Доведіть, що відстань від центра трикутника до даної площини дорівнює середньому арифметичному відстаней від вершин цього трикут­ника до цієї площини. (3 бали)

Варіант 2

1. Користуючись зображенням куба ABCDA₁B₁С₁D₁ (рис. 181), запишіть ребра, які перпендикулярні до грані ABCD. (3 бали)
2. Відстані від точки М до всіх вершин квадрата дорівнюють по 13 см, а до площини квадрата — 12 см. Знайдіть діагональ квадрата. (3 бали).
3. З точки А, взятої поза площиною α, проведено до неї дві похилі. Знайдіть довжини похилої, якщо одна з них на 13 см більша другої, а проекції похилих на площину α дорівнюють 6 і 20 см. (3 бали)
4. Паралелограм розташований над площиною. Доведіть, що сума від­станей від протилежних вершин паралелограма до даної площини однакова. (3 бали)

Варіанті. 3

1. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 182), запишіть грані, які перпендикулярні до ребра АА₁. (3 бали)
2. Відстані від точки S до всіх вершин пра­вильного трикутника дорівнюють по 5 см, а до площини трикутника – 3 см. Знай­діть висоту трикутника. (3 бали)
3. Із деякої точки проведено до даної площини дві похилі. Знайти дов­жини похилих, якщо проекції похилих дорівнюють 2 і 14 см, а по­хилі відносяться як 1 : 2. (3 бали)
4. Квадрат розташований над площиною. Доведіть, що відстань від центра квадрата до площини в чотири рази менша суми відстаней від вершин квадрата до площини. (3 бали)

 Варіант 4

1. Користуючись зображенням прямокутно­го паралелепіпеда ABCDA₁В₁C₁D₁ (рис. 183), запишіть ребра, які перпендикулярні до ребра DC і перетинають його. (3 бали)
2. Відстань від точки М до кожної вершини правильного трикутника дорівнює 10 см. Знайти відстань від точки М до площини трикут­ника, якщо медіана трикутника дорівнює 9 см. (3 бали)
3. Із деякої точки простору проведено дві похилі, проекції яких дорів­нюють 8 і 20 см. Знайти довжини похилих, якщо відомо, що їх різ­ниця дорівнює 8 см. (3 бали)
4. Через вершину D паралелограма ABCD проведено площину, яка не перетинає його. Доведіть, що відстань від точки В до площини до­рівнює сумі відстаней від точок А і С до даної площини. (3 бали).

Відповідь.  Варіант 1. 1. А₁В₁, A₁D₁, AB, AD. 2. 8 см. 3. 6 см і 15 см.

Варіант 2. 1. АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ 2. 10 см. 3. 7,5 см і 20,5.см. Варіант 3.1. ABCD, A₁B₁D₁. 2. 6 см. 3. 8 см і 16 см.

Варіант 4. 1. DD₁, DA, BC, CC₁. 2. 8см. 3. 25 см і 17см.

Варіант Б

Варіант 1

1. Через центр О правильного трикутника АВС проведено перпендику­ляр SO до площини АВС.

а) Яка величина кута SOA? (2 бали)

б) Доведіть, що SA = SB . (2 бали)

в) Знайдіть відстань від точки S до площини АВС, якщо SC = 5 см, 0В = 3 см. (2 бали)

2. Сторона квадрата ABCD дорівнює 8 см. Точка S знаходиться на від­стані 16 см від його вершин. Знайдіть відстань від точки S до пло­щини квадрата. (3 бали)

3. У прямокутному паралелепіпеді АВСDА₁В₁С₁D₁ АВ₁ = см, АС₁ = см, АВ = 2 см. Знайдіть відстань між прямою A₁D₁ та площиною АВ₁С₁. (3 бали)

Варіант 2

1. Через центр О квадрата ABCD проведено перпендикуляр SO до пло­щини АВС.

а) Яка величина кута SOD? (2 бали)

б) Доведіть, що <SAO = <SCO. (2 бали)

в) Знайдіть відстань SC, якщо відстань від точки S до площи­ни АВС дорівнює 5 см, a OD = 12 см. (2 бали)

2. Точка S знаходиться на відстані 6 см від вершин прямокутника і на відстані 4 см від його площини. Знайдіть сторони прямокут­ника, якщо одна з них вдвічі більша за другу. (3 бали)

3. Три відрізки SA, SB, SC мають однакову довжину а, <ASB= <BSC = <CSA = 60° . Знайдіть відстань від точки S до площини АВС. (3 бали)

Варіант З

1. Через центр О правильного шестикутника ABCDEF проведено пер­пендикуляр SO до площини АВС.

а) Чому дорівнює кут між прямими SO і AD? (2 бали)

б) Доведіть, що <ASO = <FSO . (2 бали)

в) Знайдіть сторону шестикутника, якщо відстань від-точки S до площини АВС дорівнює 4 см, а SC = 5 см. (2 бали)

2. Сторона правильного трикутника АВС дорівнює 12 см. Точка S зна­ходиться на однаковій відстані від його вершин і віддалена від пло­щини трикутника на відстань 4 см. Знайдіть відстань від точки S до вершин трикутника АВС. (3 бали)

3. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює а. Знайдіть відстань від точ­ки А, до площини AB₁D₁. (3 бали)

Варіант 4

1. Через точку О перетину діагоналей АС і BD прямокутника ABCD проведено перпендикуляр SO до площини АВС.

а) Чому дорівнює кут між прямими SO і АС? (2 бали)

б) Доведіть, що SA = SC. (2 бали)

в) Знайдіть відстань від точки S до площини АВС, якщо SC = 10 см, OD = 6 см. (2 бали)

2. Точка S знаходиться на відстані 10 см від вершин рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) і на відстані 6 см від його площини. Знайдіть сторони трикутника, якщо <ВАС = 30°. (3 бали)

3. Три відрізки SA, SB, SC попарно перпендикулярні, SA = SB = SC = а. Знайдіть відстань від точки S до площини АВС. (3 бали)

Тематичне оцінювання № 3 можна провести за допомогою тесту, текст якого подано нижче.

При оцінюванні виконання тестів враховуються тільки ті шість із виконаних завдань, яким відповідає найбільша кількість балів.

Тест

Перпендикулярність прямої і площини

Мета даного тесту — перевірити, чи вміє учень:

— зображати та знаходити на малюнку перпендикулярні прямі та площини;

— розв'язувати задачі, використовуючи ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Варіант 1

І рівень

1. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис. 184). Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої АА, і проходить через точку С. (1 бал)

а)АВ;         б) AC;         b)ad;          г) ас, .

2. Відомо, що різні прямі а і b перпендикулярні до площини α (рис. 185). Як розміщені прямі а і b? (1 бал)

  а) Перетинаються;  б) мимобіжні; в) паралельні; г) перпендикулярні.

3. Відрізок SB перпендикулярний до пло­щини прямокутника ABCD (рис. 186). Знайдіть відстань між точками S і D, якщо SB = 4 cm, BD = 3 cm. (1 бал)

а) 3 см; б) 4 см; в) 5 cm; r) 7 cm.

II рівень

1. Точка S лежить поза площиною три­кутника АВС, причому <SAC = 90°, <CAB = 90° (рис. 187). Які з вказаних тверджень правильні? (1 бал)

а) Пряма SA перпендикулярна до пло­щини АВС;       

б) пряма АВ перпендикулярна до пло­щини SAC;

в) пряма АС перпендикулярна до пло­щини SAB;

г) пряма ВС перпендикулярна до пло­щини ASC.

2. Точки А, В, С лежать на прямій, перпен­дикулярній до площини а , а точки А, М, N лежать у площині а (рис. 188). Які з вказаних кутів прямі? (1 бал)

a) <MAB ;     б) <MCA;   в) <CAN ;     г) <NBA.

3. У просторі дано пряму а і точку А поза нею. Скільки існує прямих, перпенди­кулярних до прямої а і які проходять через точку А? (1 бал)

а) Жодної;    б) безліч;   в) одна; г) визначити неможливо.

III рівень

1. Прямі АВ і CD перпендикулярні до деякої площини і перетинають її в точках В і D відповідно. Знайдіть АС, якщо АВ = 9 см, CD = 15 см, BD = 8 см і відрізок AC не перетинає даної площини. (2 бали)

а) 8 см;     б) 9 см;     в) 10 см;    г) 15 см.

2. Через вершину В квадрата ABCD проведено пряму BS, перпендикуляр­ну до його площини. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)

а) Пряма SD перпендикулярна до площини АВС;

б) пряма AD перпендикулярна до площини ASB;

в) пряма CD перпендикулярна до площини BSC;

г) пряма BD перпендикулярна до площини SBC.

3. Через точку О перетину діагоналей прямокутника ABCD проведено перпендикуляр МО. Знайдіть МО, якщо АВ = 6 см, ВС = 8 см, МА = 13 см. (2 бали)

а) 10 см;     б) 11 см;   в) 12 см;   г) визначити неможливо.

IV рівень

1. Дано паралелограм ABCD і площину α, яка його не перетинає. Че­рез вершини паралелограма проведено прямі, перпендикулярні до площини і які перетинають площину відповідно в точках А₁, В₁, С₁, D₁. Знайдіть довжину відрізка DD₁, якщо АА₁ = 3 см, ВВ₁ = 4 см, СС₁ =5 см. (3 бали)

а) 2 см;    б) 3 см;    в) 4 см;    г) 5 см.

2. Прямі АВ, АС і AD попарно перпендикулярні. Знайти площу трикут­ника BCD, якщо АВ = см, АС = см, AD = см. (3 бали)

а) 25 см²;     б) 16 см²;   в) 15 см²;   г) 12 см².

3. Побудовано переріз куба ABCDA₁В₁C₁D₁ площиною, що проходить через точки В₁ і D₁ і середину ребра CD. Знайдіть периметр перері­зу, якщо ребро куба дорівнює а. (3 бали)

a) ; б) ; в) ; г)  .

Варіант 2

І рівень

1. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис. 189). Укажіть площину, яка перпендикулярна до прямої AA₁ і проходить через точку А. (1 бал)

a) DCC₁;      б) А₁B₁С₁;     в) BCD;         г) ВСС₁.

2. Як розташовані площина α і пряма b, якщо a α, а || b (рис. 190)? (1 бал)

а) Не перетинаються;  б) паралельні;

в) перпендикулярні;  г) визначити неможливо.

3. Відрізок SA перпендикулярний до площини трикутника АВС (рис. 191). Знайдіть відстань від точки А до точки С, якщо SA = 3 см, SC = 5 см. (1 бал)

а) 3 см;    б) 4 см;    в) 5 см;   г) 6 см.

II рівень

1. Точка S лежить поза площиною ромба ABCD, причому SB BC, SB AS. <BAD = 30° (рис. 192). Які з вказаних тверджень правиль­ні? (1 бал)

а) Пряма SB перпендикулярна до площини ADC;

б) пряма АВ перпендикулярна до площини SBC;

в) пряма BC перпендикулярна до площини ABS;

г) пряма SB перпендикулярна до прямої BD.

2. <ABC=90°, точка М лежить поза площи­ною АВС, МА = MB = МС. З точки М про­ведено відрізок ОМ, який перпендикуляр­ний до площини АВС, точка О лежить у пло­щині АВС (рис. 193). Які з вказаних тверд­жень правильні? (1 бал)

а) Точка О лежить усередині трикутника АВС;

б) точка О лежить поза трикутником АВС;

в) точка О лежить на відрізку АС, причому АО не дорівнює ОС;

г) точка О лежить на гіпотенузі АС, причому АО дорівнює ОС.

3. У просторі дано пряму а і точку А на ній. Скільки існує прямих, перпендикулярних до прямої а, які проходять через точку А? (1 бал)

а) Жодної; б) безліч; в) тільки одна; г) визначити неможливо.

III рівень

1. Прямі АВ і CD перпендикулярні до деякої площини і перетинають її в точках ВІЛ відповідно. Знайдіть BD, якщо АВ = 6 см, CD = 9 см, AC = 5 см і відрізок АС не перетинає даної площини. (2 бали)

а) 1 см;   б) 2 см;    в) 3 см;     г) 4 см.

2. Через точку О перетину діагоналей прямокутника ABCD проведено перпендикуляр МО до площини АВС. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)

а) Пряма МО перпендикулярна до прямої АС;

б) пряма МО перпендикулярна до площини BCD;

в) пряма AC перпендикулярна до площини МАВ;

г) пряма АС обов'язково перпендикулярна до площини MBD.

3. Через вершину В квадрата ABCD проведено пряму BS, перпендику­лярну до його площини. Знайдіть відстань від точки S до верши­ни А квадрата ABCD, якщо АС = 2 cm, SB = 1 cm. (2 бали)

а) см;     б) 1 см;        в) см;       г) 2 cm.

IV рівень

1. Точка О — точка перетину медіан трикутника АВС, α — площина, яка не перетинає трикутник АВС. Через точки А, В, С, О проведено прямі, перпендикулярні до площини α, які перетинають площину відповідно в точках А₁, В₁, С₁, О₁. Знайдіть довжину відріз­ка OO₁, якщо АА₁ = 1 см, ВВ₁ = 2 см, СС₁ = 3 см. (3 бали)

а) 1 см;       б) 2 см;        в) 3 см;         г) 1,5 см.

2. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, в якому BD = 13 см, DC = 5 см, СС₁ = см. Знайдіть площу трикутника ADC₁. (3 бали)

а) 25 см²;     б) 36 см²;   в) 72 см²;   г) 18 см²,

3. У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ побудовано переріз площиною, що проходить через точки А, С, К, де К — середина ребра C₁D₁. Знайдіть пери­метр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а. (3 бали)

а) 2а;      б) ;        в) ;       г) .

Відповіді до тестових завдань

II. Домашнє завдання

Якщо в класі виконувалася тематична контрольна робота № 3, то вдома можна запропонувати виконати тест, і навпаки.

III. Підведення підсумку уроку

У ході фронтальної бесіди з'ясувати, які завдання викликали труд­нощі, та відповісти на запитання учнів.