Підготовеа до олімпіади з математики. Задачі на пошук закономірності

Пошук закономірностей

 

 

Закономірність – постійно повторюваний взаємозв’язок явищ, дій або властивостей предметів

 

Знаходження закономірностей часто є першою сходинкою до відкриття. Адже відкриття – це встановлення невідомих раніше об’єктивно існуючих закономірностей, властивостей і  явищ матеріального світу, що докорінно змінюють рівень пізнання

 

Закономірності, як і властивості предметів пов'язані з математикою і з логікою. Знаючи закономірність, ти точно можеш знати, що буде далі. Після четверга точно буде п'ятниця, після 10 години ранку буде 11 година ранку. Послідовність дій, явищ, властивостей або подій в закономірності завжди визначена, тобто ми точно знаємо що буде далі.

 

Існує кілька типів закономірностей: спадаючі, зростаючі, циклічні і складні закономірності.

 

Закономірність, у якій  числова властивість збільшується відповідно до деякого закону або формулою, називається зростаючою.

 

Наприклад, дерево росте і на його стовбурі щороку додається одне нове кільце. Цей процес називається простою зростаючою закономірністю. У цій закономірності легко обчислити, скільки кілець буде через 2 роки або через 10 років. Кількість кілець в стовбурі відповідає віку дерева.

 

Наведемо приклад зростаючої закономірності, яка складніше ніж в прикладі з деревом. Уявіть одноклітинний організм, який щохвилини ділиться на дві клітини.

На зображенні добре видно, що в першу хвилину ми бачимо 1 клітку, в другу - вже 2 клітини, а потім 4 клітини, 8, 16. Кожну хвилину кількість збільшується в 2 рази. Знаючи попередню кількість, можна дізнатися, скільки буде клітин в наступну хвилину. Цей процес називається теж зростаючої закономірністю.

 

Закономірність, у якій числова властивість зменшується відповідно до деякого закону або формулою, називається спадаючою.

 

 

 

Закономірність, яка повторюється кожного разу, називається циклічною. Повне коло циклічної закономірності називається циклом закономірності. Ті.

Прикладом закономірність такого типу є зміна пір року. Весна-Літо-Осінь-Зима і потім відбувається повторення.

 

 

Закономірності, які складаються з декількох видів закономірностей або мають кілька властивостей, називаються складними.

 

Розглянемо приклад закономірностей на одному і тому же ланцюжку

Закономірність за формою

Бачимо, як чергуються ланки ланцюжка. Точно знаємо, що за формою з фігур  наступним буде коло.

 

Закономірність за розміром

Бачимо, як чергуються ланки ланцюжка: велика і потім маленька фігури, тобто наступною буде маленька фігура.

 

Закономірність за кольором

Великі фігури мають тільки синій і зелений кольори. Маленькі фігури мають червоний і жовтий кольори.

Бачимо, закономірність залежить від властивостей елементів ланцюжка. Для одного і того ж ланцюжка ми знайшли різні закономірності в залежності від властивості. Об'єднаємо отримані результати і дізнаємося, яка ланка будуть наступною.

Алгоритм пошуку закономірностей

Давайте ще раз повторимо всі кроки для виявлення закономірностей.

1. Визначаємо кількість властивостей ланцюжка;
2. Визначаємо закономірність для кожної властивості;
3. Порівнюємо закономірності для визначення всіх властивостей наступної ланки в ланцюжку.

Пошук закономірностей - це дуже гарний навик для юного математика.

 

Задачі з поясненням.

І. Продовжити числовий ряд:

1.          18   20   24   32   ?

Бачимо, що а₂ – а₁ = 2;   а₃ – а₂ = 4;   а₄ – а₃ = 8; тоді  а₅  - а₄ = 16; а₅ = 48.

Відповідь: 48.

 

2.          212   179   146   113   ?

Бачимо, що 212 – 179 = 33;   179 – 146 = 33;  146 – 113 = 33; тоді 113 – 33 = 80.

Відповідь: 80

 

3.         7   13   24   45   ?

Бачимо, що а₂ = а₁∙ 2 - 1;   а₃ = а₂ ∙2 - 2;   а₄ = а₃ ∙2 - 3; тоді  а₅  = а₄ ∙ 2 – 4= 45 ∙2 = 4 = 86

Відповідь: 86

4.         64   48   40   36   34   ?

Бачимо, що 64 – 48 = 16;  48 – 40 = 8;  40 – 36 = 4;  36 – 34 = 2. Тоді 34 – х = 1;

х = 33.

Відповідь: 33.

 

5.          15   13   12   11   9   9   ?

Треба розглянути два числових ряди: 15   12   9… та 13   11   9… бачимо, що в першому ряді кожне число зменшується на 3, а в другому – на два. Значить наступні числа – 6 та 7.

Відповідь: 6, 7

 

 

ІІ. Вставити пропущене число.

 

1. 234  (333)  567

345  (   ?  )  678.

333 = 567 – 234, слідує, що невідоме число дорівнює 678 – 345 = 333.

Відповідь: 333.

 

2. 17  (112)  39

28  (  ?   )  49

112 = (17 + 39) ∙ 2. Таким чином невідоме число дорівнює (28 + 49) ∙ 2 = 144.

Відповідь: 154.

 

3. 341  (250)  466

282  (  ?  )  398

250 = (466 – 341) ∙ 2. Значить невідоме число дорівнює (398 – 282) ∙ 2 = 232.

Відповідь: 232.

 

ІІІ. Геометрична закономірність.

                                 

Бачимо, що в кожному рядку є коло, квадрат і трикутник. Тобто можна побачити закономірність за формою. Крім того кожен рядок містить фігури червоного, зеленого та жовтого кольорів, таким чином спостерігається закономірність і за кольором. Можна зробити висновки:

На першому малюнку у другому рядку повинен стояти трикутник жовтого кольору, а в третьому – коло червоного кольору. На другому малюнку у другому рядку повинно стояти  коло зеленого кольору, а на третьому – червоний трикутник.

 

 

 

 

Задачі для самостійного розв’язання

1. Продовжити числовий ряд:     6   8  10  11   14  14  ?
2. Продовжити числовий ряд:     4   5   7   11   19   ?
3. Продовжити числовий ряд:     6   7   9   13   21   ?
4. Продовжити числовий ряд:     172   84   40   18   ?
5. Продовжити числовий ряд:     1   5   13   29    ?
6. Продовжити числовий ряд:     7   19   37   61   ?
7. Продовжити числовий ряд:     5   41   149   329   ?
8. Продовжити числовий ряд:     4   7   9   11   14   15   19   ?
9. Вставити пропущене число:       12  (36)  14

                                                         15  ( ? )  16

 

10. Вставити пропущене число:        17  (102)  12

                                                         14  (  ?  )  11

 

11.  Вставити пропущене число:       447  (366)  264

                                                         262  (  ?  )  521

 

12.  Вставити пропущені числа:        9  (45)  81

                                                         6  (36)  64

                                                         10  ( ? )  ?

13. Вставити пропущені числа:    

                

  

14.  Знайди закономірність у фігурках:

                    

                   

                  

15.  Яка цифра повинна стояти замість знака питання?