Підготовка до ЗНО. Відсотки. Задачі на відсотки.

Про матеріал

Матеріал може бути використаний під час підготовки до ЗНО. Надається основний теоретичний матеріал, а також основні типи задач на відсотки та приклади їх розвязання.

Перегляд файлу

Підготовка до ЗНО. Відсотки.Задачі на відсотки.

Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком (процентам). Слово «відсоток» замінюють знаком %, тобто 1% = = 0,01.

Наприклад: 1 копійка — один відсоток від гривні, 1 см — один відсоток від метра, тобто

1 коп. = 1 % грн. 1 см = 1 % м.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100.

Наприклад: 30 % = 0,3; 53 % = 0,53; 1,58 % = 0,0158.

Основні задачі на відсотки.

Знаходження відсотка від числа.

Для того щоб знайти р відсотків від даного числа а, треба:

1) перевести р відсотків у десятковий дріб;

2) помножити число а на одержаний десятковий дріб.

Приклад 1. Знайти 20 % від числа 120.

Розв'язання. 20 % = 0,2,120 ∙ 0,2 = 24.

Відповідь: 24.

Знаходження числа за його відсотками.

Для того щоб знайти все число за відомою частиною b і числом відповідних відсотків р. треба:

1) перевести р відсотків у десятковий дріб;

2) розділити b на одержаний десятковий дріб.

Приклад 2. Знайти число, 12 % якого складає 60.

Розв’язання. 60 : 0,12 = 6000 : 12 = 500.

Відповідь: 500.

Знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Щоб знайти відсоток числа b від числа а, треба дріб помножити на 100 %.

Приклад 3. Скільки відсотків складає число 0,3 від 20?

Розв’язання.

∙ 100% = = 0,3 ∙ 5% = 1,5%.

Відповідь: 1,5 %.

Збільшення (зменшення) числа на декілька відсотків. Формула складних відсотків

Задача 1. Число спочатку збільшили на 20%, а потім зменшили на 20%. Як змінилося число?

Розв’язання:

Нехай х – число. Тоді після збільшення його на 20% воно дорівнюватиме 1,2х. 1,2х*0,8 = 0,96х – становить число після зменшення;

х – 0,96х = 0,04х – зміна числа.

Оскільки 0,04 = 4%, то це значить що число зменшилося на 4%.

Відповідь. На 4% зменшиться.

Задача 2. На скільки відсотків зменшиться площа квадрата, якщо його сторону зменшити на 10% ?

Розв’язання:

Нехай початкова сторона квадрата буде , тоді . Після зменшення сторони на 10% матимемо площу . Очевидно, що площа зменшилася на .

Відповідь. Зменшиться на 19%.

Задачі на розчини та суміші

Якщо - маса розчину, - маса розчиненої речовини, то відношення , подане у відсотках, називають концентрацією розчину.

Відсотковою концентрацією розчину називають виражене у відсотках відношення маси розчиненої речовини до маси всього розчину.

Задача 1. До 80% розчину кислоти масою 6 кг вливають воду, масою 4 кг. Яка стала концентрація утвореного розчину?

Розв’язання:

Знайдемо масу кислоти в 80% розчині. Для цього складемо пропорцію

Звідси, кислоти в даному розчині. Якщо до цього розчину долили воду, то 6 кг + 4 кг = 10 кг – маса утвореного розчину. Оскільки маса кислоти в розчині залишилася тією ж самою, то можемо знайти її відсоткову концентрацію в новому розчині. Складемо пропорцію

Звідси, . Отже, концентрація нового розчину становить 48%.

Відповідь. 48%.

Задача 2. Вода містить 5% солі. Скільки треба долити до цього 30-кілограмового розчину води, щоб сіль у воді становила 1,5% ?

Розв’язання:

Щоб знайти скільки кг солі міститься у 5% розчині, складемо пропорцію

Звідси, . Очевидно, що 1,5% розчин містить 1,5 кг солі. Знайдемо скільки кг води у цьому ж розчині

Отже, води в утвореному розчині 98,5 кг, а було 30 – 1,5=28,5 кг. Щоб знайти, скільки долили, потрібно 98,5 – 28,5 = 70 кг.

Відповідь. Долили 70 кг.

Задача 3. Змішали 60% - й розчин сірчаної кислоти з 25% - м її розчином і отримали 700 г 40% - го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?

Розв’язання:

Нехай 60% - го розчину взяли г, тоді 25% - го взяли (700 - х) г.

У 700 г 40% - го розчину міститься г сірчаної кислоти, в г розчину 0,6 г кислоти, а в (700 - х) гкислоти буде г. Маємо рівняння:

Отже, взяли 300 г 60% - го розчину. Тоді 25% - го розчину взяли 700 – 300 = 400 (г).

Відповідь. 300 г, 400 г.

Задачі на сплави

Задачі на сплави розв’язуються аналогічно до задач на змішування.

Задача 4. Сплав вагою 450 кг містить 40% цинку і 180 кг міді. Який відсотковий вміст домішок у цьому сплаві?

Розв’язання:

1) (кг) – цинку у сплаві.

2) (кг) – домішок у сплаві.

3) домішок.

Відповідь. 20%.

Задача 5. Сплав олова і свинцю масою 12 кг містить 45% свинцю. Скільки чистого олова потрібно додати до цього сплаву, щоб отримати новий сплав, який містить 40% свинцю?

Розв’язання:

Очевидно, що вміст олова у сплаві масою 12 кг становить 55%, а у новому сплаві - 60%. Якщо до сплаву додати кг олова, то олова в ньому стане кг. А з іншої сторони, у новому сплаві кг олова.

Маємо рівняння:

Отже, до сплаву треба додати 1,5 кг олова.

Відповідь. 1,5 кг.

Задача 6. Сталь двох видів містить нікель 5% - ий і 40% - ий. Скільки сталі кожного виду треба взяти, щоб отримати 140 т сталі, яка містить 30% нікелю?

Розв’язання:

Нехай візьмемо т сталі, яка містить 5% нікелю, та т сталі, яка містить 40% нікелю. Тоді нікелю у сплавах буде та т. У 140 т сталі нікелю буде т. Отже, можемо скласти систему

Отже, потрібно взяти 40 т одного виду сталі і 100 т іншого.

Відповідь. 40 т, 100 т.

Інші задачі на відсотки

Задача 7. Початковий капітал 20 000 грн поклали в банк під 7% річних. Яка сума грошей буде на рахунку через 5 років?

Розв’язання:

Щоб розв’язати цю задачу використаємо формулу складних відсотків:

де - майбутня сума, - початковий капітал, - відсоток річних, - кількість років.

За формулою маємо: грн..

Відповідь. 28 060 грн.

Задача 8. Два туристи за два дня пройшли 72 км. Після того як перший турист збільшив швидкість на 15%, а другий – на 25%, то за наступні два дні вони пройшли 86 км. Скільки кілометрів пройшов кожен з них після збільшення швидкості?

Розв’язання:

Нехай перший турист пройшов км шляху, а другий км шляху. Після збільшення швидкості перший турист пройшов км, а другий - км. Отже, можемо скласти систему: