Посібник для уроків алгебри ІІ семестр 10 класу

Ківерцівська експериментальна школа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Навчальний посібник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___________________________________

___________________________________

 

 

 

 

 

 

 

Тема №3 Тригонометричні функції

Урок №1

«Не буде ледачий пекти свого полову,

а людина трудяща набуде маєток цінний»

Книга приповістей Соломонових 12 : 27

Тригонометричні функції

Питання

1. Радіанне вимірювання кутів. Тригонометричні функції числового аргументу.
2. Періодичні функції.
3. Графіки тригонометричних функцій.

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, §§7 – 9, стор. 68 – 94; §12, стор. 109 – 121.

1. Радіанне вимірювання кутів. Тригонометричні функції числового аргументу
1.1	Тригонометрія – наука про вимірювання трикутників (з грецької «тригонон» – трикутник, «метріо» – міра)
1.2	Поняття кута
	У геометрії	У тригонометрії
	Кут – геометрична фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки         А   О                           В утворений променями ОА і ОВ	Кут – фігура, утворена при повороті променя на площині навколо його початку       А О                           В утворений при повороті променя ОА навколо точки О
1.3	Вимірювання кутів
	Градусна міра кута ( частина розгорнутого кута)
	Кожному куту ставиться у відповідність градусна міра	Кожному куту як фігурі ставиться у відповідність кут повороту α, за допомогою якого утворений цей кут (поворот проти годинникової стрілки – α > 0; поворот за годинниковою стрілкою – α < 0)
	Радіанна міра кута
	1 радіан – це центральний кут кола, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. ∠АОВ = 1рад. Це означає,що    АВ=ОА=R   ∠АОС – розгорнутий          ∠АОС=180°=π рад                1° =    радіан                                 1 радіан = ≈ 57º
1.4	Одиничним колом називається коло                             з центром у початку координат і радіусом 1.
1.5	Косинусом кута повороту α називають абсцису x точки М (x; y) одиничного кола, отриманої внаслідок повороту точки на кут α радіан ()
1.6	Синусом кута повороту α називають ординату  y точки         М (x; y) одиничного кола, отриманої внаслідок повороту точки на кут α радіан ()
1.7	Тангенсом кута повороту α називають відношення синуса цього кута до його косинуса
1.8	Котангенсом кута повороту α називають відношення косинуса цього кута до його синуса
1.9	Функції називають тригонометричними функціями
1.10	Знаки тригонометричних функцій ,
1.11	Функція косинус є парною, а функції синус, тангенс і котангенс – непарним , Всередині косинуса живе панда, а панда голодний. Тому він зїдає знак мінус. Функція косинус – парна.
2. Періодичні функції
2.12	Функцію називають періодичною, якщо існує таке число , що для будь – якого х з області визначення функції f виконуються рівності
2.13	Головним періодом функцій є число 2π; головним періодом функцій є число π ; ;

3. Графіки тригонометричних функцій

14. . Графіки тригонометричних функцій

 

15.  Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів

 

α	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°
	0
	0				1				0
	1				0					0
	0		1		–				0	–
	–		1		0				–	0

 

 

 

Урок №2

«Зібратися разом – це початок,

                                           триматися разом – це процес,

                                           працювати разом – це успіх».

Генрі Діорд

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Радіанне вимірювання кутів

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 1.4 блоку №3.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Наука, що в перекладі з грецької означає «Вимірювання трикутника».
2. 1/180 частина розгорнутого кута.
3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу кола.
4. Коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці.
5. Запишіть формули переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки.                                                                                                                                                                         

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Письмово виконайте вправи, стор. 80 – 82 підручника: 8.1, 8.3, 8.16, 8.19, 8.22.

 

 

 

ІІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування нестандартних задач і вправ

 

Завдання 3.

Самостійно виконайте завдання: накресліть таблицю в зошиті і заповніть її.

 

 

 

Урок №3

«Зібратися разом – це початок,

                                           триматися разом – це процес,

                                           працювати разом – це успіх».

 Генрі Діорд

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Тригонометричні функції числового аргументу

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 1.9 блоку №3.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Що таке тригонометрія?
2. Що називають 1º?
3. Що називають 1 радіаном?
4. Яка різниця між кутом в геометрії та тригонометрії?
5. Що таке одиничне коло?
6. Запишіть формули переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки.
7. Що називають тригонометричними функціями?
8. Дати означення тригонометричних функцій.                                                                                                                                                                        

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

1. Письмово виконайте вправи, стор. 75, 76 підручника: 7.15, 7.27.
2. Письмово виконайте вправи, стор. 81  підручника:  8.14, 8.24, 8.33.
3. Знайдіть значення виразу:

1. 
2. 
3. ;
4. .
   4. Який знак має:

Завдання 3.

Виконати самостійно:

1. В які чверті лежать кути?

 

2. Вставити пропущене число:

	?

3. Обчислити .

 

 

Уроки №4, 5

«Я можу все в Тім, Хто

мене підкріпляє, – в Ісусі Христі»

Послання ап.. Павла до филипʼян 4:13

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Властивості і графіки тригонометричних функцій

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть блок № 3.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Яка наука називається тригонометрією?
2. Дайте визначення кута у тригонометрії.
3. 1 радіан – це…
4. Що називають одиничним колом?
5. Дайте визначення всім тригонометричним функціям.
6. Які знаки мають тригонометричні функції у кожній періодичній чверті?
7. Розкажіть про парність тригонометричних функцій.
8. Які періоди мають тригонометричні функції?
9. Як називаються графіки функцій ?
10. Які перетворення графіків вам відомі?

 

Завдання 2.

За допомогою презентації, запропонованої вчителем, визначте властивості функцій                          .

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Виконайте письмово вправи:

1. Знайдіть найменший додатний період функцій: 1) ; 2) .
2. Побудувати графік функції .
3. Побудуйте графік функції . Вкажіть множину значень та нулі цієї функції.

 

Завдання 4.

1. Обчисліть:  1) ;  2) .
2. Побудувати графік функції y = 0.5cos x + 2.
3. Побудуйте графік функції   
4. Знайдіть найменше значення функції:  .

 

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Встановіть відповідність між виразами (1 – 4) та їх значеннями (А – Д).

        

          1                А    – 1                      Д   

          2                     Б      0

          3 c                     B       1

          4           Г       значення виразу не визначено

2. Обчисліть  .
3. Знайдіть значення виразу  ;    2)  .
4. Визначте знак виразу: 1) ; 2) .
5. Побудуйте графік функції . Вкажіть множину значень та нулі цієї функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок  №7

«Серце розумне шукає знання,

а уста безумних глупоту пасуть»

Книга приповістей Соломонових 15:14

 

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Тригонометричні функції

 

І. Систематизація та узагальнення теоретичних знань

 

Завдання 1.

1. Повторіть блок № 3, особливу увагу зверніть на тези 1.1; 1.3 – 1.8; 1.11; 2.12; 2.13 .
2. Дайте письмово відповідь на питання, запропоновані вчителем.

 

ІІ. Систематизація та узагальнення практичних умінь та навичок

 

Завдання 2.

Усно виконати вправи:

1. Записати у радіанній мірі кут 300°.

 

А	Б	В	Г	Д

 

2. Обчислити .

 

А	Б	В	Г	Д

 

3. Вкажіть область значень функції .

 

А	Б	В	Г	Д

 

Завдання 3.

Виконати письмово вправи:

 

1. Знайти значення виразу  .
2. Визначити знак виразу    .
3. Визначити парність функції .
4. Обчислити найбільше і найменше значення функції .
5. Побудувати графік функції і зазначити область значень функції.

 

 

Тема №4. Тригонометричні формули

Урок №1

Тригонометричні формули

«У математиків існує своя мова – це формули»

С.В.Ковалевська

Питання

1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.
2. Формули зведення.
3. Формули додавання.
4. Формули подвійного аргументу.
5. Формули половинного аргументу.
6. Формули суми і різниці тригонометричних функцій.
7. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
8. Обернені тригонометричні функції.
9. Найпростіші тригонометричні рівняння

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, §§10, 11, стор. 94 – 109; §§13 – 16, стор. 121 – 158.

1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу
1.1	– основна тригонометрична тотожність                                            ,                                                          5)                                                                                                                        6)   4)
2. Формули зведення
2.2	Формулами зведення називають формули, за допомогою яких тригонометричні функції від аргументів виду зводять до тригонометричних функцій аргументу α
2.3	Правила для запису формул зведення У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що α – гострий кут. Якщо у лівій частині формули аргумент має вигляд   , то синус міняється на косинус, тангенс – на котангенс, і навпаки. Якщо у лівій частині формули аргумент має вигляд  , то зміни функції не відбувається. Чверть    знак   функція
3. Формули додавання
3.4
4. Формули подвійного аргументу
4.5	2)
5. Формули половинного аргументу
5.6	3)
6. Формули суми і різниці тригонометричних функцій
6.7	4)
7. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
7.8	3)
8. Обернені тригонометричні функції
8.9	Арккосинусом числа b, де , називають таке число α з проміжку , косинус якого дорівнює b arсcos b = α, якщо і
8.10	Арксинусом числа b, де , називають таке число α з проміжку , синус якого дорівнює b arcsin b = α, якщо і
8.11	Арктангенсом числа b називають таке число α з проміжку, тангенс якого дорівнює b arctg b = α, якщо і
8.12	Арккотангенсом числа b називають таке число α з проміжку, котангенс якого дорівнює b arcctg b = α, якщо і
8.13	Деякі властивості обернених тригонометричних функцій
9. Найпростіші тригонометричні рівняння
9.14		Рівняння виду називаються найпростішими тригонометричними рівняннями.
9.15		Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
9.15.1		,
9.15.2
9.15.3

 

Урок №2

«Знання лише тоді знання, коли воно отримане

                   зусиллям розуму, а не пам’яті»

Л.М.Толстой

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.3 блоку №4
2.  Наука, що в перекладі з грецької означає «Вимірювання трикутника»
3.  1/180 частина розгорнутого кута.
4.  Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.
5.  Як називається коло з центром в початку координат і радіусом один?
6.  Ордината точки Рα одиничного кола
7.  Абсциса точки Рα одиничного кола.
8.  Відношення синуса числа до косинуса цього числа.
9.  Відношення косинуса числа до його синуса.
10.     Продовжте формули:

2. 
3. 

                                                          

5)

Завдання 2.

Встановити відповідність між тригонометричними виразами

	А)
3)
4)	Г)
5)
6)	Е)

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

3.1. Спростити вираз  .

3.2. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу , якщо

3.3. Спростіть вираз:

а) ;

б) .

3.4. Доведіть тотожність: .

Домашнє завдання: підготуйте 3 твердження, пов’язані з нашим блоком, два з них правдиві, а одне – брехня. На уроці потрібно буде озвучити ці твердження, а ваші однокласники повинні вгадати правда це чи брехня.

 

 

Урок №3

«Алгебра і геометрія — єдині

країни, де панують тиша й мир»

Марія  Аньєзі, італійський математик

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Формули зведення

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.3 блоку № 4.
2. Дайте відповіді на питання:

1. Які формули називаються формулами зведення?
2. Розкажіть схему застосування формул зведення.
3. Встановіть відповідність між заданими виразами (1 – 4) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А – Д).

1                                  A  

2    Б  

3                                 B  

4                                  Г            

                                                     Д              

 

Завдання 2.

1. Знайдіть і виправте, де необхідно, помилки:

 

 1)                       y                               2)                    у                                    3) у

                                                                              

                 – +                                  +                 +                           –          +

 

                       0                   х                        0                х                           0                 х     

                 –            +                                  –               –                             –           –

         

                                                                                          

2. Визначити знак виразів:

1. tg 170º;     2)   cos 200º;   3)   ctg 185º;   4)  sin 240º.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

1. Розгляньте приклади 1 – 3, стор. 103 – 104 підручника.
2. Користуючись розглянутими прикладами, письмово виконайте вправи, стор. 105 – 107 підручника: 11.3 (1, 3, 5, 7), 11.5 (2, 4, 6, 8), 11.15, 11.17, 11.19.

 

 

 

Урок №4

Найвище призначення математики – знаходити

порядок у хаосі, який нас оточує.
Н. Вінтер (американський математик)

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Формули додавання

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 3.4 блоку №4.
2. Дайте відповіді на питання:

• Повторення  значень тригонометричних функцій (усно, колективно):

1. sin 45⁰  =                   4. cos 45⁰ =              7. cos 75⁰ =

2. cos 30⁰ =                   5. tg 30⁰    =

3. tg 60⁰    =                   6. sin 60⁰  =

• Які функції називаються періодичними? Чому дорівнює період функцій у = sin х; у = cos х; у = tg х; у = сtg х?
• Які з тригонометричних функцій є парними, а які непарними?
• Дописати тотожності:

                     

• Дайте означення cos α і sin α для одиничного кола.
• 
• 
• 
• 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

2.1. Обчисліть:

               4             

2) tg 15⁰   

      3) tg 75⁰

 

2.2. Знайти значення виразів

1) sin 20⁰ cos 40⁰ + cos 20⁰ sin 40⁰                         

      2) cos 70⁰cos 10⁰ + sin 70⁰ sin 10⁰                              

          

 

3. Обчислити:

1) sin 21⁰ cos 9⁰ + cos 21⁰ sin 9⁰ ;      3) ;     

2) sin 80⁰ cos 20⁰ – cos 80⁰ sin 20⁰ ;  4

 

2.4. Доведіть тотожність

sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α sin β

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Застосуйте формули зведення та спростіть вираз:  .
2. Знайти , якщо ; .
3. Обчисліть значення всіх тригонометричних функцій кута , якщо .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №6

«Працьовитість – душа

 будь-якої справи і запорука добробуту»
Чарльз Діккенс

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Формули подвійного аргументу

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 5.6 блоку № 4.
2.  Дайте відповіді на питання:

1. Записати основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.
2. Що називають формулами зведення?
3. Сформулювати правило для запису формул зведення.
4. Записати формули додавання.
5. Записати формули подвійного аргументу.
6. Записати формули половинного аргументу.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Користуючись розглянутими прикладами, виконайте вправи, стор. 133 – 136 підручника:          14.3 (1; 3; 5); 14.7 (2; 4; 6); 14.9; 14.23 (1, 3, 5).

 

Завдання 3.

Виконавши вправи, ви дізнаєтесь, який хімічний елемент дуже необхідний людям, і його багато у повітрі Карпат.

3.1.   (аргумент – номер букви алфавіту).

3.2. Обчислити: 18,5 +2 sin15°·cos15°  (номер букви алфавіту).

3.3. Знайти значення виразу: 6( – )  (номер букви алфавіту).

 

                                     

 

 

 

 

Урок №7

«Більше думай і тоді вирішуй»

Григорій Сковорода

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Формули суми і різниці тригонометричних функцій

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 6.7 блоку № 4.
2. Продовжте формули:

1. 
2. 
3. 
4. 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Усно виконайте вправи:

 

1. Перетворіть у добуток: .

 

А	Б	В	Г

 

2. Обчисліть: .

 

А	Б	В	Г
		1

 

Завдання 3.

      3.1. Перетворіть на добуток:

1)

2)

3) ;

4) .

2. Знайдіть значення виразу:

1)

2) ;

3. Доведіть тотожність:

1) ;

2) .

4. Виконайте вправи, стор. 141 – 143 підручника: 15.3 (1, 3); 15.17, 15.26 (1, 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №8

«Математика – дивовижна вчителька в

мистецтві спрямовувати думки, де вони невпорядковані, і

викорчовувати безглуздя, фільтрувати брудне і наводити ясність» 

Жорж Фавр, засновник Мануфактури Zenith

 з виробництва годинників, Швейцарія

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Обернені тригонометричні функції

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 8.9 – 8.13 блоку № 4.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Які функції відносяться до обернених тригонометричних функцій?
2. Дати означення arccos x,  arcsin x, arctg x, arcctg x?
3. Які властивості притаманні цим функціям?

 

Завдання 2.

Накресліть таблицю і заповніть її:

а	–1	–	–	–	0				1
arccos а
arcsin а

 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Письмово виконати вправи:

3.1. Перевірити чи є правильною рівність?

;

2) arcsin ∙ arcsin = ;

3) arccos² (–) = .

3.2. Обчислити:

1) arccos ∙ arccos (–);  2) arcsin + arcsin (–);  3) arcsin 0 + arcsin .

3.3. Обчислити:

1) sin (arсcos );   2) sin (2 arсcos (–).

3.4. Обчислити:

1) cos (arcsin );   2) cos (2 arccos ).

3.5. Обчислити:

1) arccos (cos );   2) arcsin (sin 4);   3) arcsin (sin 1,2);   4) arccos (cos 5).

3.6. Обчислити    1) sin (arсcos );  2) cos (arсsin ).

 

 

 

Урок №9

«Хто зневажає досягнення математики, той завдає

шкоди всій науці, бо той, хто не знає математики, не

може вивчати інші точні науки й не може пізнати світ»

Роджер Бекон, англійський філософ, учений, викладач

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Найпростіші тригонометричні рівняння

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 8.9 – 9.15 блоку № 4.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Рівняння яких видів називаються найпростішими тригонометричними рівняннями?
2. Як розв’язати рівняння виду ?
3. Як розв’язати рівняння виду ?
4. Як розв’язати рівняння виду ?
5. Як розв’язати рівняння виду ?

 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Письмово виконати вправи, стор. 155 – 156 підручника: 16.9 (1, 3, 5), 16.13 (2, 4), 16.15, 16.19.

 

 

 

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

 

1. Обчислити: 1) ; 2) .
2. Спростити вираз: .
3. Дано . Знайти .
4. Спростити вираз:
5. Доведіть тотожність:  

 

 

Урок №11

«Освіта — скарб; праця — ключ до нього»
     П’єр Буаст, французький лексикограф і поет.

 

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Тригонометричні формули

 

І. Систематизація та узагальнення теоретичних знань

 

Завдання 1.

1. Повторіть блок № 4.
2. Дайте письмово відповідь на питання, запропоновані вчителем.

 

ІІ. Систематизація та узагальнення практичних умінь та навичок

 

Завдання 2.

Усно виконати вправи:

 

1. Вкажіть розв’язок рівняння: .

 

А	Б	В	Г	Д

 

2. Знайдіть значення виразу   .

 

А	Б	В	Г
1	0	– 1	0,5

 

3. Знайдіть значення виразу  .

 

А	Б	В	Г

 

Завдання 3.

Письмово виконати вправи:

 

1. Знайдіть значення виразу:  .
2. Подайте у вигляді добутку тригонометричних функцій вираз:  .
3. Відомо,що , . Знайдіть .
4. Спростіть вираз  та обчисліть його значення , якщо .
5. Доведіть тотожність    .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема №5. Похідна

Урок №1

Похідна

«Яка наука може бути благороднішою,

прекраснішою, кориснішою для людини, ніж математика?»

Б. Франклін

Питання

 

1. Геометричний та фізичний зміст похідної.
2. Таблиця похідних.
3. Правила обчислення похідних. Похідна складеної функції.

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, §§17 – 20 , стор. 160 – 190.

1. Геометричний та фізичний зміст похідної. Рівняння дотичної до графіка функції
1.1	Число називають границею функції  f  у точці a, якщо аргумент цієї функції прямує до числа a, а значення функції прямує до числа. Позначення:			Для функції Число 3 – аргумент функції для границі  - 2.
1.2	Границя функції  f  у точці дорівнює значенню функції в цій точці:
1.3	Якщо , то різницю називають приростом аргументу функції і позначають
1.4	Різницю називають приростом функції у точці .
1.5	Похідною функції в точці називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до 0:
1.6	Функцію, яка має похідну в точці , називають диференційованою в цій точці.
1.7	Механічний зміст похідної: похідна – це миттєва швидкість руху матеріальної точки у момент часу :
1.8	Геометричний зміст похідної: похідна – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці :
2. Таблиця похідних
2.9	2), – стала                             3)                                                                           4)   5)	6)   7) 8) 9)    10)
3. Правила обчислення похідних. Похідна складеної функції.
3.10	Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі похідних цих функцій
3.11	Похідна добутку диференційованих функцій дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу та першої функції на похідну другої
3.12	Сталий множник можна виносити за знак похідної
3.13	Похідна частки диференційованих функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків похідної першої функції на другу та першої функції на похідну другої, а знаменник дорівнює квадрату другої функції

 

 

 

 

 

 

Урок №2

«Наука складається з фактів, як будинок з каменів, але набір

фактів ще не наука, так само як купа каміння ще не будинок»

Анрі Пуанкаре, французький математик, фізик, філософ

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Задачі, що приводять до поняття похідної. Фізичний і геометричний зміст похідної

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 1.8 блоку № 5.
2. Усно дайте відповіді на питання:
   1. Сформулюйте означення границі функції у точці.
   2. Що називають приростом аргументу функції?
   3. Що називають приростом функції?
   4. Сформулюйте означення похідної функції в даній точці.
   5. В чому полягає геометричний зміст похідної?
   6. В чому полягає фізичний зміст похідної?
   7. Яка функція називається диференційованою?

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Розгляньте приклад розв’язування вправи:

Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно за законом , s(t) вимірюється в сантиметрах, час t – в секундах. Знайти діючу силу. Тіло рухається 2с.

Розв’язання

При  t = 2c,

,

 

Завдання 3.

Користуючись розглянутим прикладом, письмово виконайте вправи:

1. Точка рухається за законом s (t) = 6 - 4t +1² (м). У який момент часу швидкість руху точки дорівнює 10 м/с? (ЗНО 218)

А	Б	В	Г	Д
2с	3с	5с	6с	7с

2. Знайти миттєву швидкість руху точки у момент часу t = 2c, якщо вона рухається по прямій  згідно закону .
3.  Дотична до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х₀ утворює з додатним напрямом осі ОХ кут 45°. Знайдіть f'(х₀) (ЗНО 2018).
4. Закон руху матеріальної точки по прямій задано формулою , де – координата точки в момент часу . Знайдіть миттєву швидкість руху точки при
5. Тіло рухається прямолінійно за законом (м). Визначте його швидкість і прискорення в момент часу t = 3 с.
6. Знайдіть приріст функції у точці , якщо
7. Знайдіть приріст функції у точці , якщо
8. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці .
9. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці .

 

 

 

 

Урок №3

«Ми не можемо заборонити птахам пролітати над нашою головою, але

ми не дозволяємо їм сідати нам на голову і вити на ній свої гнізда. Подібно

 до цього ми не можемо заборонити поганим думкам інколи приходити

до нас в голову, але ми повинні не дозволяти їм гніздитися в нашому мозку»

Мартін Лютер, ініціатор руху в Церкві, пізніше названого Реформацією

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Похідні елементарних функцій. Похідні суми, добутку і частки функцій

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть блок № 5.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Дайте визначення границі функції в точці.
2. Дайте визначення похідної в точці.
3. Які функції називають диференційованими?
4. В чому полягає фізичний  і геометричний зміст похідної?
5. Сформулюйте правила знаходження похідної суми, добутку і частки.

 

 

3. Встановіть відповідність

 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

 

 

 

 

А)  

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Розгляньте приклад розв’язування вправи:

Знайдіть похідну функції: у =х ·sinx

Розв’язання

у’ = (x sin x)’ = x’ sinx +x (sin x)’ = 1 · sin x +x cos x = sinx +x cosx

 

Завдання 3.

Користуючись розглянутим прикладом, письмово виконати вправи:

1. Знайдіть похідну функцій:

1. у = 3х² - 5х + 6;  2) у = -2х³ + 3cosx;  3) y=5x²++3ctgx; 4) y=3x·x²+9.
   2. Знайдіть похідні функцій:

1) у =sinx;2) у =x²cosx;     3) у = x².

3. Знайдіть похідні функцій:

1) (x - 2)²·x³;    2) (x² - х)(х³ + x).

4. Знайдіть похідні функцій:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №4

«Не спішіть судити інших, а краще почніть з себе»

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Правила обчислення похідних

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.9 блоку № 5.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Дайте визначення границі функції в точці.
2. Дайте визначення похідної в точці.
3. Які функції називають диференційованими?
4. В чому полягає фізичний  і геометричний зміст похідної?
5. Сформулюйте правила знаходження похідної суми, добутку і частки.
   3. Пограти в гру «Навіщо». Дайте відповідь на питання: «Навіщо шкарпетка на математиці?»

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Письмово виконати вправи:

1. Знайти похідну функції:

1. ;                        4) ;
2. ;                                  5) .
3. ;

2. Обчислити значення похідної в точці , якщо:

1. ;
2. .

 

Завдання 3.

Письмово виконати вправи:

1. Знайти похідну функції:

1. ;                   3)   ;
2. ;                      
   2. Розв’язати рівняння , де .

 

Завдання 4.

Письмово виконати вправи:

1. Обчислити похідну функції:

1. ;                       
2. ;          
   2. Обчислити кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з абсцисою , якщо:

1. 
2. 
   3. Визначити, через скільки секунд після початку руху тіло зупиниться, якщо воно рухається за законом:

1. ;
2. .

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Обчисліть , якщо .
2. Запишіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у точці .
3. Задано рівняння руху точки , де s – шлях у метрах, t – час у секундах. Вивести формулу, що виражає швидкість руху в момент часу сек.
4. Знайдіть похідну функції: 1) .
5. Що більше:

1. чи якщо ;
2. чи якщо ?

6. Розв’язати рівняння: .

 

 

Урок №6

«І як бажаєте, щоб вам люди

чинили, так само чиніть їм і ви»

Євангелія від Луки 6:31

 

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Похідна

 

І. Систематизація та узагальнення теоретичних знань

 

Завдання 1.

1. Повторити блок № 5.
2. Письмово відповісти на питання, запропоновані вчителем.

 

ІІ. Систематизація та узагальнення практичних умінь та навичок

 

Завдання 2.

Усно розв’язати вправи:

 

1.         Знайдіть похідну функції .

 

А	Б	В	Г	Д

 

2.         Знайдіть похідну функції .

 

А	Б	В	Г	Д
				1

 

3.         Обчислити похідну функції: у =

А	Б	В	Г

 

Завдання 3.

Письмово розв’язати вправи:

 

1. Тіло рухається прямолінійно за законом (S – шлях у метрах, t – час у секундах). Обчисліть швидкість руху точки в момент .
2. Знайдіть кутовий коефіцієнт параболи в точці з абсцисою .
3. Встановити відповідність між функцією та її похідною:

1.   ´	А.     Дорівнює:
2.   ´	Б.      Дорівнює:
3.   ´	В.      Дорівнює:
4.  ´	Г.       Дорівнює:
	Д.      Дорівнює:

 

4. Порівняти f´(x) з нулем, якщо , а
5. Розв’яжіть нерівність , якщо .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема №6. Застосування похідної

Урок №1

Застосування похідної

 

«…щоб стати математиком, треба захоплюватись

чарівністю закономірностей і логічною стрункістю законів»

У. Сойєр

Питання

1. Ознаки сталості, зростання і спадання функції. Екстремуми функції
2. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
3. Побудова графіків функцій.

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, §§21 – 24, стор. 190 – 221.

1. Ознаки сталості, зростання і спадання функції.
1.1	Ознака сталості функції. Функція є сталою на проміжку тоді і тільки тоді, коли для кожного з цього проміжку.
1.2	Ознака зростання функції. Якщо в кожній точці проміжку , то функція зростає на .
1.3	Ознака спадання функції.  Якщо в кожній точці проміжку , то функція спадає на .
1.4	Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, або не існує.
1.5	Алгоритм дослідження функції на зростання і спадання: Знайти область визначення функції; Знайти похідну функції; Знайти критичні точки функції; Поділити знайденими критичними точками область визначення функції на проміжки та з'ясувати знак похідної на кожному з них (для цього достатньо визначити знак похідної в одній довільній точці проміжку); За знаком похідної визначити проміжки зростання і спадання функції.	Знайти проміжки зростання і спадання функції
1.6	Околом точки називають будь-який проміжок, що містить цю точку.	Околом точки 2 є проміжок
1.7	Точку називають точкою максимуму функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх з цього околу виконується нерівність ().
1.8	Точку називають точкою мінімуму функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх з цього околу виконується нерівність ().
1.9	Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму функції.
1.10	Значення функції в точках екстремуму називають екстремумом функції().
1.11	Якщо точка є точкою екстремуму функції , то або , або похідна в цій точці не існує.
1.12	Ознака точок максимуму і мінімуму функції.  Якщо при переході через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то –  точка максимуму; якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то –  точка мінімуму.
1.13	Алгоритм дослідження функції на монотонність, екстремум: 1) знайти область визначення функції; 2) знайти похідну функції; 3) знайти критичні точки функції  (розв’язати рівняння  ); 4) позначити критичні точки на області визначення функції та знайти знак похідної на кожному з отриманих проміжків; 5) для кожної критичної точки за знаком похідної на проміжках зліва і справа від неї визначити, чи є вона точкою екстремуму, і якою саме, максимуму чи мінімуму. Записати результат.	Знайти точки екстремуму функції
2. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
2.14	Алгоритм пошуку найбільшого і найменшого значення функції на відрізку : 1) знайти область визначення функції; 2) знайти критичні точки функції і серед них вибрати ті, які належать заданому проміжку; 3) обчислити значення функції у вибраних критичних точках і на кінцях заданого відрізка; 4) з усіх знайдених значень обрати найбільше і найменше.
3. Побудова графіків функцій
3.15	Алгоритм дослідження властивостей функції: знайти область визначення функції; дослідити функцію на парність, непарність; знайти (якщо можливо) точки перетину графіка з осями координат: ; знайти похідну і критичні точки; знайти проміжки зростання і спадання функції; знайти точки екстремуму і екстремум функції; за даними дослідження властивостей функції побудувати її графік. Дослідити функцію і побудувати її графік.

 

 

Урок №2

«…бо мудрість увійде до серця твого,

і буде приємне знання для твоєї душі!»

Книга приповістей Соломонових 2:10

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Зростання і спадання функції. Екстремальні точки функції

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1.  Повторіть тези 1.1. – 1.13 блоку № 6.
2. Дайте відповіді на питання:

1. Яку точку називають точкою максимуму функції?
2. Яка ознака зростання функції?
3. Яка ознака спадання функції?
4. Яку точку називають точкою мінімуму функції?
5. Що називають екстремумом функції і точками екстремуму?
6. Які точки називають критичними?
7. Сформулюйте ознаку точок максимуму і мінімуму.                                    
8. За яким алгоритмом досліджують функції на монотонність?                   Рис. 1

 

Завдання 2.

Усно виконайте вправи:

1. На рисунку 1 зображено графік похідної функції.           

       Назвіть проміжки зростання функції.                                     Рис. 2

              

2. На рисунку 2 зображено графік похідної функції.

Назвіть проміжки спадання функції.

 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Виконати письмово вправи:

1. Знайдіть проміжки монотонності функції .
2. Знайдіть проміжки монотонності функцій: 1) ; 2) .

 

Завдання 4.

Виконати письмово:

Для функцій, графіки яких зображено на рисунках а – г знайдіть точки максимуму і мінімуму функції:

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 5.

Виконати письмово:

Завдання 6.

Письмово виконати вправи:

1. Знайдіть критичні точки функції .
2. Знайдіть точки екстремуму функції та екстремум функції .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №3

«…в порівнянні з Біблією всі людські

книги, навіть найкращі, є тільки планетами,

які запозичують  своє світло і сяйво від Сонця»

Роберт Бойль англійський хімік, фізик і філософ

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Найбільше та найменше значення функції на відрізку

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.14 блоку № 6.
2. Дайте відповіді на питання:

1. Яка ознака точок максимуму і мінімуму функції?
2. Які точки називають критичними?
3. Які точки називають точками екстремуму функції?
4. Сформулюйте ознаки зростання і спадання функції.
5. Сформулюйте алгоритм дослідження функції на монотонність.
6. Назвіть основні кроки алгоритму пошуку найбільшого і найменшого значення функції на проміжку.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Письмово виконати вправи:

1. Знайти найбільше та найменше значення функції  f(x) = x² – 4x на проміжку [ -3; 3].
2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції ,.
3. Подайте число 60 у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

 

Завдання 3.

Письмово виконати вправи:

1. Якими мають бути сторони прямокутника, периметр якого дорівнює 60 см, щоб його площа набувала найбільшого значення?
2. Знайти найменше значення функції , на проміжку .
3. Знайти найбільше значення функції ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уроки №4, 5

«…а ті, хто надію складає на Господа, силу

відновлять, крила підіймуть, немов ті орли, будуть

бігати і не потомляться, будуть ходити і не помучаться!»

Книга пророка Ісаї 40:31

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Дослідження функцій за допомогою похідної та побудова графіків функцій

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези блоку № 6.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Сформулюйте ознаки сталості, зростання і спадання функції.
2. Які точки називаються точками максимуму і мінімуму функції?
3. Які точки називаються критичними точками функції?
4. Яка ознака точок максимуму і мінімуму функції?

 

Завдання 2.

Чи вірне дане твердження:

1. Дана функція має дві критичні точки;
2. Функція має мінімум в точці ;
3. Функція має максимум в точці
4. Функція зростає на проміжках: і [11; +];                           
5. Функція cпадає на проміжках: [ і [ 5; 11];
6. Її графік симетричний відносно осі ОУ;
7. Нулі функції: ;
8. На проміжках (-∞; -5) і ( 5; 11)   f  '(х) < 0;
9. На проміжках (-5; 5) і ( 11; ∞)  f  '(х) > 0.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

1. Встановити відповідність між властивістю функції (1 – 3) та проміжками (А – Г), на яких виконується ця властивість.

 

1.	Область визначення функції	А
2.	Значення , при яких функція набуває додатних значень	Б
3.	Значення , при яких функція зростає	В
		Г

 

2. Побудуйте схематичний графік функції , визначеної на множині дійсних чисел, користуючись її властивостями, наведеними у таблиці.

				2
		0	+	0
				2

 

3. Дослідити функцію за допомогою похідної та побудувати її графік:

1. ;
2. .
3. 
4. 

 

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.
2. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

 

 

Урок №7

«Шукайте ж найперш

царства Божого й правди Його…»

Євангелія від Матвія 6:33

 

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Застосування похідної

 

І. Систематизація та узагальнення теоретичних знань

 

Завдання 1.

1. Повторити блок № 6.
2. Письмово відповісти на питання, запропоновані вчителем.

 

ІІ. Систематизація та узагальнення практичних умінь та навичок

 

Завдання 2

Письмово виконайте вправи:

1. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції   в точці дорівнює:

 

А	Б	В	Г	Д
6	4	– 6	0	Інша відповідь

 

2. Знайдіть проміжок спадання функції  .

 

А	Б	В	Г	Д

 

3. Функція   на відрізку має найбільше та найменше значення, що відповідно дорівнюють:

 

А	Б	В	Г	Д
2 і – 2	0 і – 4	– 2 і – 3	4 і – 3	Інша відповідь

 

Завдання 3.

Письмово виконайте вправи:

1. Функцію задано формулою . Встановіть відповідність між завданнями (1 – 4) та відповідями (А – Д) на них.

1  Розв’яжіть рівняння           3  Знайдіть проміжки спадання функції

2  Знайдіть координати точок               4  Знайдіть проміжки зростання функції

    екстремуму функції

 

А	Б	В	Г	Д

 

2. За допомогою похідної дослідіть функцію і побудуйте її графік.