Позакласний захід:"Відоме та невідоме про тригонометричні функції"

 

      10 клас

 

 

« Відоме та невідоме про  тригонометричні функції»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ведучий1 (на фоні відео «Музичний фонтан у Вінниці»)

Зима за літом, ніч за днем

Плюс змінюється мінусом,

 Все у природі і в людей

 Йде за законом синуса.

     Проста гармонія буття

Повторення й повторення

То вверх крокуємо то вниз,

Удачі за невдачами,

По синусоїді кудись

Всі пливемо неначе ми. Г.П. Бевз

Ведучий2.Цей вірш написав Бевз Григорій Петрович (1926 р.н) - кандидат педагогічних наук, автор понад 200 наукових праць та підручників з математики для 5-11 класів.

Складно уявити, але з тригонометр. функціями  ми зустрічаємося не тільки на уроках математики, але і в нашому щоденному житті. Ви не підозрюєте про це, що вони  присутні в таких науках, как фізика, біологія, технічна механіка, електротехніка, не останню роль вони відіграють і в медицині, і, що найцікавіше, без них не обійшлося навіть в музиці і архітектурі.

Ведучий1.Як ви думаєте, що пов’язує між собою звучання струни, рух маятника, явище резонансу, поширення електромагнітних хвиль, найрізноманітніші біоритми живих організмів? Це окремі приклади коливальних рухів.

Ведучий2 . А щоб описати їх, вивчити їх властивості, поставити на службу людям, треба побудувати математичну модель таких явищ.

Саме теорія тригонометричних функцій, яку ми вивчаємо, є однією з найдавніших моделей періодичних явищ.

Сьогодні ми побуваємо в чарівному світі гармонії і краси, поринемо в загадковий світ різноманітних процесів і явищ, які відбуваються навколо нас, спробуємо показати, що ми всі живемо за властивостями тригонометричних функцій, навколо нас оточує багато речей, які підвладні цим законам.

 Ведучий1. Почнемо із зародження поняття тригонометрії, тобто з історії.

 Учень . Історія тригонометрії.

Виникнення тригонометрії пов’язане з потребами: астрономії , землемірства та будівельної справи.

Слово тригонометрія вперше зустрічається в 1505 році в працях німецького математикаПітіскуса.

“Тригонометрія” (від грецьких слів “тригонон” – трикутник і “метріо” - вимірюю) означає “вимірювання трикутників”.

В цьому випадку вимірювання трикутників потрібно розуміти як знаходження невідомих сторін,кутів та інших елементів трикутника

Хоча назва науки виникла порівняно недавно, багато фактів, що мають відношення до тригонометрії, були відомі ще дві тисячі років назад.

Вперше способи розв‘язування трикутників були знайдені давньогрецькими астрономамиГіпархом та Клавдієм Птолемєєм. Пізніше залежність між відношеннями сторін трикутника та його кутами почали називати тригонометричними функціями.

   Виникнення тригонометрії пов'язане з розвитком

астрономії, яка зародилась та розвивалась у Вавилоні,

Єгипті, Китаї, Індії та інших древніх країнах.

Давньогрецькі вчені склали перші тригонометричні

таблиці довжин хорд, що відповідають різним центральним

кутам кола, які вони використовували для розв'язування

трикутників. Перші таблиці було складено давньогрецьким математиком Гіппархом з Нікеї (ІІ ст. до н.е.).

Астроном-математик був засновником математичної географії, склав зірковий каталог, досить точно визначив відстань від Землі до Місяця і ввів географічні координати (широту і довготу), використовуючи складені ним тригонометричні таблиці хорд.

Найбільшим досягненням грецької тригонометрії є відомий тракат “Мегісте” Клавдія Птолемея.

Гіпотенузу прямокутного трикутника, яка дорівнює діаметру кола, він записував на основі теореми Піфагора. В сучасному трактуванні: Cos² α + Sin² α =1

Довгу історію має поняття синуса. Різні відношення відрізків трикутника і кола (тобто тригонометричні функції) зустрічаються вже в ІІІ столітті до н. е. в працях великих математиків Стародавньої

Греціі – Евкліда, Архімеда, Аполонія Пергського.

Сучасний синус кута α, розглядався як півхорда, на яку спирається центральный кут величиноюα, або як хорда подвоєнної дуги.

В подальшому математика найбільш активно розвивалась індійськими та арабськими вченими. В ІV-Vстолітті з‘явився спеціальний термін. Відрізок АМ називали архаджива. Арабськими математиками в ІХ столітті це слово було замінено на джайб (випуклість). При перекладі арабських математичних текстів воно було змінено на латинське слово синус (кривизна)

Слово косинус є молодшим.

Косинус – це скорочення латинського виразу complementy sinus, тобто «додатковий синус» (або «синус додаткової дуги»).

Назва «тангенс», від латинського tanger (дотикатися), з‘явилося в 1583

Tangens перекладається як «дотична» (лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола).

Тангенси виникли з розв‘язуванням задачі про визначення довжини тіні.

Тангенс (котангенс) введені в X столітті арабським математиком Абу-ль-Вафою, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсів і котангенсів

  Учень. Вимірювання кутів.

У геометрії термін “кут” вживають для позначення двох понять:

геометричної фігури, утвореної двома променями із спільним початком (00<α≤1800);

2) величини, що характеризує міру відхилення одного променя від іншого , або кута повороту (-∞<α<+∞).

Якщо розгорнутий кут розділити на 180 рівних частин і одну частину прийняти за одиницю вимірювання, то ця одиниця буде називатися градусом.

Градус (10) – це 1/180 частина розгорнутого кута.

Учень.Радіанне вимірювання кутів

У математиці, астрономії, фізиці використовують радіанну міру вимірювання кутів. Перше видання яке містило термін “радіан”, вийшло в 1873 р в Англії.“Радіан” походить від латинського radian (спиця, промінь).

Градусне вимірювання і його частини (мінути, секунди) виникло в Стародавньому Вавилоні задовго до нової ери. Жерці вважали, що свій денний шлях Сонце проходить за 180 “кроків”, і, отже, один

“крок” дорівнює 1/180 розгорнутого кута.

В геометрії як одиницю вимірювання кутів використовують прямий кут (d). Якщоα=300, в одиницях прямого кута позначають так α=⅓ d.

В астрономії за одиницю вимірювання кутів взято кутову годину. Це величина кута, який становить 1/6 частину прямого.

В техніці за одиницю вимірювання кутів взято повний оберт.

В артилерії кути вимірюють в “поділках кутоміра”. Велика поділка – це 1/60 частина повного оберту, мала поділка – 1/100 частини великої поділки (28-32, що означає 28 великих і 32 малих поділок кутоміра).

Моряки вимірюють кути в румбах.Ця одинця дорівнює 1/16 частині величини розгорнутого кута.

В картографії в деяких країнах за одиницю вимірювання кутів взято град.(g) 1g дорівнює 1/200 частині величини розгорнутого кута (α=5g)

Кут 1 радіан – це такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

1800=π радіан; 1 радіан ≈ 570; 10 ≈ 0,01745рад

 В радіанній системі не введено позначення одиниці вимірювання. Під знаком тригонометричної функції записують тільки числове значення величини кута. Cos π/6; sin2.

Одиниця вимірювання радіанної міри міститься у розгорнутому куті не ціле число разів, а ірраціональне: π ≈ 3,14.

Для малих кутів, виміряних у радіанах виконуються наближені рівності sinα≈α, tgα≈α.

 Ведучий1.Для того, щоб зрозуміти і навчитися досліджувати всі   процеси необхідно знати властивості тригонометричних функцій.

Про окремі з них нам розкаже …

  Учень.Тригонометричні функції числового аргументу.

Розглянемо одиничне коло і довільний гострий кут повороту , який ми отримуємо в результаті повороту точки Р₁ (1;0) навколо центра кола на кут  п рад.

Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа в одиничному колі.

Отже, маємо залежність між дійсним числом і абсцисою та ординатою відповідної точки одиничного кола, на яку відображується початкова точка (1;0) під час повороту навколо центра кола на кут рад.

Ці залежності дістали назву тригонометричних функцій числа, або тригонометричних функцій числового аргументу.

 Значення тригонометричних функцій окремих значень можна

знайти за таблицею

Рухаючись по колу із точки Ро (0º) в напрямі проти годинникової стрілки маємо додатний напрям відкладання кутів, а за

годинниковою стрілкою – від'ємний.

Можна визначити знаки тригонометричних функцій у кожній з чотирьох координатних чвертей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учень.Властивості тригонометричних функцій.

 

                                        Sin a                                              cos a

Область визначення D(y)	R	R
Область значень E(y)	[-1;1]	[-1;1]
Періодичність функції	Періодична з головним періодом,  який довівнює  2π	Періодична з головним періодом,  який довівнює  2π
Нулі функції	Числа виду  πn, n є Z	Числа виду  π/2+πn, n є Z
Проміжки знакосталості	sin x>0 на проміжку (2πn; π+2πn), n є Z sin x<0 на проміжку (π+2πn; 2π+2πn), n є Z	cos x>0 на проміжку (-π/2+2πn; π/2+2πn), n є Z cos x<0 на проміжку (π/2+2πn; 3π/2+2πn),n є Z
Парність (непарність)	непарна	парна
Зростання/спадання	зростає на проміжку [-π/2+2πn; π/2+2πn] спадає на проміжку  [π/2+2πn; 3π/2+2πn]	зростає на проміжку [π+2πn; 2π+2πn] спадає на проміжку  [2πn; π+2πn]
Найбільше і найменше значення	Максимальне Ymak=1, при x=π/2+2πn, n є Z Мінімальне Ymin=-1, при x=-π/2+2πn, n є Z	Максимальне Ymak=1, при x=2πn, n є Z Мінімальне Ymin=-1, при x=π+2πn, n є Z

 

 

 

 

 

 Учень.Властивості функції у= tg α

 

Властивості функції у= ctg α

 

Ведучий1. Коливання пронизують все наше життя. Найпростішим прикладом є коливання математичного маятника (демонструємо математичний маятник).

Це є гармонічне коливання, за допомогою якого можна досліджувати складніші коливання, що складаються з певної кількості простих гармонічних коливань.

 Учень. Гармонічні коливання

У природі і техніці, повсякденному житті часто доводиться спостерігати коливальні рухи. Наприклад, рух маятника годинника, коливання струни музичного інструмента, коливання води від кинутого в неї предмета, коливання напруги в електричній мережі, зміна струму і напруги в коливальномуконтурі та ін.

Найпростішими механічними коливаннями є так звані гармонічні коливання.

Гармонічними вважають коливання, за яких зміни фізичних величин з часом відбуваються за законами синуса або косинуса.

Гармонічні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене по-

глинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад, у коливальному контурі та інші.

Гармонічні коливання математичного маятника.

Якщо кульку маятника змістити в бік від положення рівноваги та відпустити, то вона почне коливатися, тобто

здійснювати рухи, що повторюються, періодично проходячи через положення рівноваги.

Графічне зображення гармонічних коливань.

Впевнитись у тому, що коливання відбуваються за законом косинуса чи синуса, можна й на досліді.

У лійку з невеликим отвором насипають дрібний пісок. Пісок повинен висипатися з лійки тоненьким струменем. Підвісивши лійку над аркушем картону або цупкого паперу, її відводять убік і відпускають.

На папері залишатиметься слід — смужка піску (синусоїда).

 Іноді вимушені гармонічні коливання можуть призвести до негативних наслідків, нанести шкоду природі, людині. Одним із таких прикладів може бути коливання мостів під дією резонансу. Можна це явище побачити на прикладі Такомського моста.

1 липня 1940 року в штаті Вашингтон був відкритий висячий міст через протоку Такома довжиною 1810 м Через чотири місяці 7 листопада 1940 року при швидкості вітру близько 18 м/с сталася аварія, яка призвела до руйнування центрального прольоту моста. Руйнування мосту сприяло дослідженням в області аеродинаміки та аеро-пружності конструкцій і зміні підходів до проектування всіх великопрольотних мостів у світі.

Перегляд відео «Руйнування моста при резонансі».

 

Учень.Звукові хвилі (акустичні хвилі) — це повздовжні хвилі, які складаються із частинок, що коливаються вздовж напряму поширення хвилі, створюючи області високого і низького тиску (області розрідження і стиску). Вони можуть поширюватися в твердих тілах, рідинах і газах і мають широкий діапазон частот.

Радіохвилі випромінюються через антену в простір і розповсюджуються у вигляді енергії електромагнітного поля.

 Радіотелеграфний зв'язок , передача метеорологічних даних і сигналів точного часу, зв'язок з підводним човном, радіомовлення, радіотелеграфний, радіотелефонний зв'язок, зв'язок з космічними супу-

тниками, зв'язок радіоаматорства ,телебачення, космічна галузь. Винайдена радіотаблетка для визначення середовища шлунково-кишкового тракту.

 Ведучий1 Одна з фундаментальних властивостей живої природи - це циклічність більшості процесів, що в ній відбуваються. Коливальний рух є одним з найпоширеніших у природі видів руху. Послухаємо де спостерігав коливальні рухи в природі…

Учень . Гармоніки в природі.

Можна навести багато прикладів коливного руху навколо нас!

Розглянемо коливання в живій природі

 Розглядаючи графіки тригонометричних функцій, можна згадати, що в повсякденному житті ми бачили схожі криві та поверхні. Наприклад хвилі на морі мають форму, що нагадує синусоїду.

Хвилюва́ння, хви́ лі на воді́ — коливальні рухи поверхневих мас води у водоймах

(морях, океанах, озерах, річках) з утворенням водяних валів (хвиль), викликані вітром,зміною атмосферного тиску, землетрусами, рухом суден, різкою зміною профілю дна тощо.

Опис руху риб у воді. Рух риб у воді відбувається за законом синуса або косинуса, якщо зафіксувати точку на хвості, а потім розглянути траекторію руху.

При плаванні тіло риби приймає форму кривої, яка нагадує графік функції y=tgx. Більшість риб рухається за допомогою коливальних рухів у задній частині тіла. Летючі рибки Exocoetidae перед зльотом 70 разів швидко ворушить хвостом, перш ніж зробити ривок на поверхню.

Траєкторія руху – синусоїда.

Під час польоту траєкторія помаху крил птаха утворює

синусоїду. Людина вносить гармонію в своє життя. Прикладом може бути музичний фонтан у м.Вінниці.

Ведучий2. Самим зручним математичним апаратом для дослідження коливних  процесів є тригонометричні функції. Контрольовані людиною коливання корисні для науки і широко використовуються в нашому житті. Послухаємо …

Учень . Тригонометричні функції на службі людини.

Людина застосовує властивості тригонометричних функцій у різних приладах:

• Термографи – креслять графіки температури;
• Кардіографи зображують графічно роботу серця;
• Сейсмографи – попереджають про землетруси або фіксують їх…

Коливання також супроводжують і біологічні процеси, наприклад слух, зір,сприйняття ультрафіолету, передачу збудження по нервовій тканині, роботу серцята мозку. Записуючи роботу серця та мозку, лікарі отримують електрокардіограми та енцефалограми відповідно.

Через кожен стук серця лінії на кардіограмі повторюються. Серцебиття можна розглядати як гармонічні коливання.

Якщо говорити точніше, то воно обертається навколо своєї осі зліва направо. Це призводить до того, що воно щільніше притискається до грудної стінки з внутрішньої сторони. За допомогою апекскардіограми можна зареєструвати серцевий поштовх.

Прилади ультразвукового дослідження виявляють хвороби внутрішніх органів людини.

Тригонометрія відіграє важливу роль в медицині. За її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраічно-тригонометричну рівність, яка складається з 8 виразів, 32 коєфіцієнтів і 33 основних параметрів, включаючи декілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.

Графік біоритмів людини підлягає закону синусоїди. З його до-

помогою можна спланувати ефективну діяльність людини.

 Ведучий1.У красі – джерело любові, щастя, гармонії. – стверджував видатний український філософ Григорій Сковорода. Тому є природним бажання людини заповнити свій побут красою, а в красі є і гармонія, і спокій. Як саме гармонія проникає в духовний світ людини, її побут…

Учень. Гармонія в мистецтві, архітектурі, побуті

Сьогодні ми постійно зустрічаємося з періодичними функціями і гармонічними коливаннями в житті. Кожен день, розплющуючи очі, ми бачимо певний періодичний візерунок : на паркеті, площині,

витинанці, українській вищиванці тощо. Розглядати і розуміти малюнки, виконані в цій техніці, надзвичайно важко (часто саме з них роблять загадки і кросворди). Без них, на певно, ми вже не зможемо

уявити свого життя.

Елементи повторення окремих фрагментів можна спостерігати в ар-

хітектурі (наводяться приклади). Пройшовши історичними місцями  Вінниці.

Гармонічні коливання або гармоніки можна побачити на вишивках,

орнаментах, на тканинах, шпалерах, огорожах, в мозаїці.

Ведучий1  Тож коливання, які оточують нас, корисні людству чи ні?

Контрольовані людиною коливання корисні для науки, а неконтрольовані (вібрація, резонанс) —

можуть завдавати багато шкоди, тому потрібно вивчати їх, знати їхні властивості і навчитися контролювати їх.

 

Ведучий2.Ми з’ясували, що тригонометрія була введена необхідністю вимірювати кути, але з часом розвилася в науку про тригонометричні функції.

Ми довели, що тригонометрія тісно пов’язана з фізикою, електротехнікою , зустрічається в природі, музиці, архітектурі , медицині тощо.

Ми впевнені, що тригонометрія знайшла відображення у нашому житті, і сфери, в яких вона відіграє важливу роль, будуть поширюватися.