Правила обчислення похідних

Тема уроку: Правила обчислення похідних.

Правила обчислення похідних. Знайдемо, користуючись означенням, похідну функції у = х2 + х в точці x0 ∈ R.

Теорема (похідна суми). У тих точках, у яких є диференційованими функції у = f(x) i y = g(x), також є диференційованою функція у = f(x) + g(x), причому для всіх таких точок виконується рівність (f(x) + g(x))ʹ = fʹ(x) + gʹ(x). Коротко кажуть: Похідна суми дорівнює сумі похідних.

Теорема (похідна добутку). У тих точках, у яких є диференційованими функціїу = f(x) i y = g(x), також є диференційованою функція у = f(x)·g(x), причому для всіх такихточок виконується рівність (f(x)·g(x))ʹ = fʹ(x) · g(x) + gʹ(x) · f(x).

Наслідок. У тих точках, у яких є диференційованими функціїу = f(x), також є диференційованою функція у = k·f(x), де k – деяке число, причому для всіх таких точок виконується рівність (k · f(x))ʹ = k · fʹ(x). Коротко кажуть: Постійний множник можна виносити за знак похідної.

Теорема (похідна частки). У тих точках, у яких є диференційованими функціїу = f(x) i y = g(x), також є диференційованими та значення функції у = g(x) не дорівнює нулю, функція у = f(x)g(x) також є диференційованою, причому для всіх таких точок виконується рівність f(x)g(x)ʹ= fʹ(x) · g(x) − gʹ(x) · f(x)g(x)𝟐.  

Похідна частки. tg xʹ = sinxcosxʹ = (sinx)ʹ· cosx − (cosx)ʹ· sinxcosx𝟐= = cosx · cosx + sinx · sinxcosx𝟐 = 1cos𝟐x,  tg xʹ = 1cos𝟐x, ctg xʹ = - 1sin𝟐x. 

Теорема (похідна складеної функції). Якщо функція t = g(x) диференційовнa в точці x0, а функція у = f(t) диференційовнa в точці t0, де t0 = g(x0), то складена функція h(x) = f(g(x)) єдиференційовною в точці x0, причомуhʹ(x0) =fʹ(t0) · gʹ(x0).  

Згадай! Агрументи складених функцій називають внутрішніми функціями, а остання дія при обчисленні значень складених функцій задає зовнішню функцію. Наприклад.у = 2x − 5𝟑t𝟑−  зовнішня, 2x − 5 - внутрішня.  

Приклад. Знайти похідну функції у = 2x − 5𝟑. Розв’язування. Дана функція у = 2x − 5𝟑 є складеною. Зробимо заміну: 2x − 5 = t. Тоді (за теоремою про похідну складеної функції) будемо мати: уʹ = t𝟑ʹ · 2x − 5ʹ= = 3t𝟐 · 2 = 62x − 5𝟐.  

Приклад. Обчисліть значення похідної функції у=13 − 3х у точці x0 = 3. [Завдання ЗНО 2016]. 9,28%Розв’язування. Оскільки маємо складену функцію, то зробимо заміну. Позначимо внутрішню функцію через t: 13 – 3х = t. Тоді зовнішня функція матиме вигляд: у = t. Оскільки маємо складену функцію, то використаємо теоремупро похідну складеної функції.у ʹ = (t) ʹ · (13 - 3х) ʹ = 12t· (− 3) = − 3213 − 3х. у ʹ (x0) = − 3213 − 3x0 = − 3213 − 9 = - 0,75. Відповідь: - 0,75. 

Зауваження. Потрібно розрізняти: у = sin x2  і у = sin 𝛑2.у = sin x2 - функція , а у = sin 𝛑2 - константа.уʹ = sin x2ʹ = 12 cos x2, а у =sin 𝛑2ʹ = 0.  

Приклад. Знайти похідну функції у = x𝟒sinx. Розв’язування. Дана функція у = x𝟒sinx є добутком двох функцій. Тоді (за теоремою про похідну добутку) будемо мати: уʹ = x𝟒ʹ · sinx + sinxʹ· x𝟒= = 4x𝟑· sinx + cosx· x𝟒.  

Приклад. Знайти похідну функції у = 2x + 11− 2x. Розв’язування. Дана функція у = 2x + 11− 2x є часткою двох функцій. Тоді (за теоремою про похідну частки) будемо мати: уʹ = 2x + 11− 2xʹ =(2x + 1)ʹ· (1− 2x) − (1− 2x)ʹ· (2x + 1)1− 2x𝟐 = = 2· (1− 2x) − (− 2)· (2x + 1)1− 2x𝟐 = 2− 4x +  4x + 21− 2x𝟐 =41− 2x𝟐. 

Приклад. Матеріальна точка рухається за законом s(t) = t2 + 4t + 2 (час t вимірюють у годинах, шлях s – у кілометрах). У який момент часу швидкість точкидорівнює 7 км/год? [Завдання ЗНО 2008]. Розв’язування. Оскільки sʹ(t) = v(t), то v(t) = (t2 + 4t + 2)ʹ == 2t + 4. Враховуючи, що за умовою v(t) = 7, маємо рівняння 2t + 4 = 7, звідки t = 1,5. Відповідь: 1,5 год. 

Приклад. Функція f(х) має в точці х0 похідну f '(х0) = - 4. Визначте значення похідної функції g(х) = 2 · f(х) + 7x – 3 в точці х0. [Завдання ЗНО]. Розв’язування. gʹ(х) = (2 · f(х) + 7x – 3)ʹ = 2 · f ʹ(х) + (7x – 3)ʹ = 2 · f ʹ(х) + 7. gʹ(х0) = 2 · f ʹ(х0) + 7 = 2 · (− 4) + 7 = - 1. Відповідь: - 1. 

Похідна складеної функції.у = arcsin x. Маємо: sin(arcsin x) = x. Продиференціюємо ліву і праву частини рівності: (sin(arcsin x))ʹ = (x)ʹ. Використовуючи теорему про похідну складеної функції, будемо мати:cos(arcsin x) · (arcsin x) ʹ = 1. Оскільки cos(arcsin x) = 1 − х𝟐 і 1 − х𝟐 ≠ 0 для всіх х ∈ (- 1; 1), то arcsin xʹ = 11 − х𝟐.  arcsin xʹ = 11 − х𝟐, arccos xʹ = - 11 − х𝟐. 

arctg xʹ = 11 + х𝟐, arcctg xʹ = - 11 + х𝟐 . Теорема (зв’язку між похідними обернених функцій). Нехай оборотна функція у = f(x) має в точці x0 похідну відмінну від нуля, а обернена до неї функція х = g(y) є неперервною у точці у0, де у0 = f(x0). Тоді функція g є диференційовною в точці у0 і g ʹ(у0) = 1f ʹ(х0). 

Розв’язуємо самостйно:§ 7, п. 45 № 45.1(1), № 45.3(2,3), № 45.5(1), № 45.7(2), № 45.9(1), № 45.18.

Домашня робота:§ 7, п. 45 № 45.2(1,2), № 45.4(1,2), № 45.6(1),№ 45.10(1,3), № 45.13.

4 Здобувайте знання дистанційно із задоволенням!Бережіть себе!Мийте руки!Слухайте маму!

4 Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею №1 ЖМРПанським Володимиром Анатолійовичем2021