Задача. В сім*ї 6 осіб, а за столом в їдальні 6 стільців. В сім*ї вирішили щовечора за вечерею сідати на ці 6 стільців по-новому. Скільки днів члени сім*ї зможуть робити це без повторень? - 6 варіантів вибору стільця - 5 варіантів вибору стільця (1 вже зайнятий) - 4 варіанти вибору стільця (2 вже зайняті) - 3 варіанти вибору стільця (3 вже зайняті) - 2 варіанти вибору стільця (4 вже зайняті) - 1 варіант вибору стільця (5 вже зайнято)
Приклад 3 Одинадцять футболістів шикуються перед початком матчу. Першим – обов*язково капітан, другим–обов*язко воротар, інші–випадковим чином. Скільки існує способів шикування. Дев*ять футболістів (всіх, крім капітана і воротаря потрібно розставити на дев*ять місць, з третього по одинадцяте.. Порядок розташування задається умовою 1-9. Це елементи множини, тоді число перестановок P9 = n! = 9! = 362 880. – (шукана кількість способів)
Позначається читають: «A з n по k» Відмінність від попередньої задачі: кількість кульок перевищує кількість комірок.Тобто неможливо застосувати теорему про кількість перестановок. Розміщенням з n елементів по k (k ≤ n) називається будь-яка множина, яка складається з будь-яких k елементів, взятих в певному порядку з заданих n елементів.
1 елемент 2 елемент 3 елемент 4 елемент K- елемент n способів n-1 способів n-2 способів n-3 способів n – (k-1) способів з n елементів множини з n-2 елементів множини з n-3 елементів множини з n-(k-1) елементів множини з n-1 елементів множини Міркуючи аналогічно, підрахуємо скільки можна скласти розміщень з n елементів по k , де k≤n.
В даному випадку k=2, тому кількість множників у формулі дорівнює 2,значить: Приклад 1 В групі 27 учнів. До дошки потрібно викликати двох. Скількома способами це можна зробити, якщо перший учень повинен розв*язати задачу з геометрії, другий – з алгебри? Порядок вибору двох елементів множини з 27 елементів важливий, тому:
В даному випадку k=3, тому кількість множників у формулі дорівнює 3,значить: Приклад 2 В групі 27 учнів, з яких потрібно вибрати трьох. . Перший учень повинен розв*язати задачу, другий – сходити за крейдою, третій – чергувати в їдальню. Скількома способами це можна зробити? Порядок у множині з 27 елементів важливий, тому:
Маємо п*ять гвоздик різного кольору: a, b, c, d, e. Потрібно скласти букет з трьох гвоздик. Якщо в букет входить гвоздика a, то можна скласти такі букети: abc, abd, abe, acd, ace, ade Якщо в букет не входить гвоздика a, але входить гвоздика b, то можна скласти такі букети: bcd, bce, bde Якщо в букет не входять ні гвоздика a, ні гвоздика b, можливий один варіант складення букета c, d, e
Розглянемо множину,яка складається з n елементів, і з його елементів складені всі можливі комбінації по k елементів. Число таких комбінацій дорівнює В кожній комбінації можно виконати перестановок Рk В результаті отримаємо всі розміщення , котрі можна скласти з n элементів по k Їх число дорівнює значить Звідси
Приклад 2: З вази з фруктами, в котрій лежать 9 яблук і 6 груш, потрібно вибрати 3 яблука і 2 груші. Скількома способами можно зробити такий вибір? Вибрати 3 яблука з 9 можна способами, А вибрати 2 груші з 6 можна способами. Таким чином, враховуючи правило добутку, вибір, що відповідає умові задачі, можна зробити