Презентація "Цікаві задачі в “Арифметиці Л.П. Магніцького " (1)

Цікаві задачі в “Арифметиці”Л. П. Магніцького (1)Магніцький Л. П. – російський математик, автор першого російського друкованого курсу математики „Арифметика сиречь наука числительная” (1703 р.). Керівник гуртка «Розвиток математичних здыбностей Т.І. Єрьоміна

“Арифметика сіреч наука числительная”Цей підручник став підручником нового європейського зразка. Це основний підручник з математики до середини ХVІІІ ст. Підручник мав характер прикладного, власне утилітарного плану для навчання всім основним математичним діям, включаючи алгебраїчні, геометричні, тригонометричні і логоритмічні.

Всі завдання в підручнику можна розділити на 6 розділів: Життєві історії. Подорожі. Грошові розрахунки. Відгадування предметів. Цікаві властивості чисел. Старовинний спосіб вирішення завдань на змішання речовин. У самій «Арифметиці» наводяться дуже оригінальні рішення. Багато задач в сучасних книгах на кмітливість за змістом схожі на ті, які є у Магніцького.

Життєві історіїЗадача1. Одна людина випиває діжку квасу за 14 днів, а разом з дружиною випиває таку ж діжку квасу за 10 днів. Потрібно дізнатися, за скільки днів дружина випиває таку ж діжку квасу.

Рішення 1. За 140 днів людина вип'є 10 діжок квасу, а удвох з дружиною за 140 днів вони вип'ють 14 діжок квасу. Тоді за 140 днів дружина вип'є 14-10 = 4 діжки квасу, а одну діжку квасу вона вип'є за 140: 4=35 днів. Відповідь: за 35 днів. Рішення 2. Людина за 1день випиває 1/14 частину діжки квасу. Нехай його дружина вип'є цю діжку за х днів. Тоді за 1день вона вип'є 1 / х частину діжки. Знаючи, що за 10 днів вони разом випивають діжку, складемо рівняння: 10 (1/14 + 1 / х) = 1 10 (х + 14) = 1 14х 10х + 140 = 14х 4х = 140 х = 35 Відповідь: 35 днів .

Життєві історіїЗадача 2. У жаркий день 6 косарів випили діжку квасу за 8 годин. Потрібно дізнатися, скільки косарів за 3 години вип'ють таку ж діжку квасу. Рішення. Оскільки за 8 годин 6 косарів випивають діжку квасу, то за 1 годину таку ж діжку квасу вип'ють 48 осіб, а тоді за 3 години цю діжкуквасу вип'ють 16 осіб. Відповідь: 16 косарів.

Життєві історіїЗадача 3. Собака побачила зайця в 150 сажнів від себе. Заєць пробігає за 2 хвилини 500 сажнів, а собака - за 5 хвилин 1300 сажнів. За якийсь час собака наздожене зайця?

Життєві історіїРішення 1. За 1 хвилину заєць пробігає 250 сажнів, а собака 260 сажнів. Отже, за 1 хвилину відстань між собакою і зайцем зменшитися на 10 сажнів. Собака наздожене зайця через 150: 10 = 15 хвилин. Відповідь: через 15 хвилин. Рішення 2.  Заєць: за 2 хв. - 500 сажнів, тоді за 1хв. - 250 сажнів. Собака: за 5 хв. - 1300 сажнів, тоді за 1 хв. - 260 сажнів. Нехай собака наздожене зайця за х хв. тогда за цей час заєць пробіжить 250х сажнів. Знаючи, що між ними 150 сажнів, складемо рівняння: 260х - 250х = 150 10х = 150 х = 15.  Відповідь: через 15 хвилин.

Задачі з сучасних книг на кмітливість (самостійно)Задача 1.3 землекопи за 2 години вирили 3 ями. Скільки ям вириють 6 землекопів за 5 годин? Задача 2. Мать прибирає квартиру за 2 години, а дочка – за 4 години. За сколько часу вони зможуть прибрати квартиру разом?Задача 3. Між лисицею і зайцем 10 метрів. Коли лисиця зловить зайця, якщо вона біжить зі швидкістю 8 м / с, а він - зі швидкістю 7 м / с?

Про правила «фальшивих» і «гадательних»Ззадача 1. Знайди число таке, що якщо до нього додати його третю частину і від отриманої суми відняти її шосту частину, то буде 100. Такі завдання є в наших підручниках алгебри в темі «Рішення задач за допомогою рівнянь»

Про правила «фальшивих» і «гадательних»За правилом, яке носило назву «фальшиве», або «ворожильна», це завдання слід вирішувати так: Рішення 1. Припустимо, що невідоме число 144. Проробивши з ним описані в завданні операції, отримаємо 1/3 * 144 = 48, 144 + 48 = 192, 1/6 * 192 = 32, 192 - 32 = 160. Так як вийшло не 100, то не вгадали.

Про правила «фальшивих» і «гадательних» Припустимо тепер, що невідоме число есть108. Маємо послідовно: 1/3 * 108 = 36, 108 + 36 = 144, 1/6 * 144 = 24, 144 - 24 = 120. Знову не вгадали.

Про правила «фальшивих» і «гадательних»Виявляється, що за результатами двох невдалих спроб можна знайти шукане число. Це робиться в такий спосіб. Обчислюємо, наскільки ми помилилися у першому випадку та у другому випадку: 160 -100 = 60 120 - 100 = 20. Потім малюємо таблицю: 144 60 108 20

Про правила «фальшивих» і «гадательних»Перемножимо числа, які стоять навхрест: 108 * 60 = 6480, 144 * 20 = 2880. Різниця творів (6480 - 2880 = 3600) розділимо на різницю помилок (60 - 20 = 40) 3600: 40 = 90 Отримане число дає відповідь - шукане число дорівнює 90. Правильна чи ця відповідь? Числа 144 і 108 взяли навмання, але обидва рази результат обчислень виявився більше, ніж 100. Правило говорить, що так само потрібно поступати і в разі, якщо обидва результату виявляться менше даного числа. Якщо один з результатів виявиться менше даного числа, а інший більше, то шукане число можна знайти, розділивши суму творів на суму різниць.

Сучасне рішення. Рішення1. Відповідь знайдена вірно. 1/3 * 90 = 30 90 + 30 = 120, 120 * 1/6 = 20, 120 - 20 = 100. Рішення2. Нехай х - шукане число. Тоді (х + 1 / 3х) - 1/6 (х + 1 / 3х) = 100 х + 1 / 3х - 1 / 6х - 1 / 18х = 100 18х + 6х - 3х - х = 100 18 20х = 1800 х = 90 Перевірка: (90 + 30) - 20 = 100 (вірно!)

Про правила «фальшивих» і «гадательних»Задача 2. Запитав хтось вчителя: «Скажи, скільки у тебе в класі учнів, так як я хочу віддати до тебе в вчення свого сина». Учитель відповів: «Якщо прийде ще учнів стільки ж, скільки маю, і полстолько і чверть стільки і твій син, тоді буде у мене учнів 100». Питається, скільки учнів у класі?

Про правила «фальшивих» і «гадательних»Рішення. Припустимо, що в класі було 24 учня. Якщо ще прийде стільки ж учнів і потім половина цього, потім чверть стільки і ще один учень, то все вийде 24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учнів. Чи не вгадали? Якщо припустити, що в класі 32 учні, то, виконавши такі ж викладки, отримаємо 32 + 32 +16 +8 +1 = 89 учнів. Знову не вгадали. Діючи відповідно до «фальшивого» правилу, знаходимо 24, 33 100 - 67 = 33, 100 - 89 = 11, 24 * 11 = 264, 33 * 32 = 1056. 32 11 1056 - 264 = 792, 33 - 11 = 22. Отже, в класі було 792: 22 = 36 учнів. Правильна чи ця відповідь?

Сучасне рішення. Рішення1. Відповідь знайдена вірно. 36 + 36 + 1/2 * 36 + 1/4 * 36 + 1 = 100 Рішення2. Нехай х учнів в класі. Тоді х + х + х / 2 + х / 4 + 1 = 100 8х + 2х + х = 99 4 11х = 396 х = 36 Відповідь: 36 учнів.

ДО НОВИХ ЗУСТРІЧЕЙ