Презентація "Декартові координати в просторі"

Система координат у просторі

Рене Декарт  (1596-1650) Народився у Франції в дворянській родині. Навчався в привілейованомунавчальному закладі – єзуїтському коледжі Ла Флеш. Брав участь в 30-річній війні в якості офіцера. Довгий час прожив у Голландії, потім у Швеції

Координатна(числова) пряма. Зобразимо довільну пряму; х 0 1 М а Тоді будь-якій точці цієї координатної прямої відповідає дійсне число a. І навпаки, довільне дійсне число може бути зображено відповідною точкою, для якої це число є координатою. Записують: M(a). Дамо їй напрямок; Оберемо довільну точку за початок відліку; Визначимо довжину одиничного відрізка (масштаб).

Координатна площина. Для того, щоб її отримати треба добудувати вертикальну вісь, що проходить через початок відліку. у х 0 1 1 М а b M(a; b)

x y z 0 1 Ox  Oy  Oz Ox – вісь абсцис Oy – вісь ординат Oz – вісь аплікат Координатні осі: В просторі оберемо три попарно перпендикулярні координатні прямі x, y, z, що перетинаються в точці 0, що відповідає початку координат. 1 1 Пунктиром показані від‘ємні частини осей.

xz xy yz x y z 0 1 1 1 Координатні площини: Oxz Oxy Oyz

Координатні площини: xz  xy  yz

xy x y z 0 1 1 A Axy 1

x y 1 1 A Ayz Axz Axy Ax Ay z 1 2) в площині Oxy, з точки Axy опустимо перпендикуляри на координатні осі цієї площини; 3) Побудуємо пряму перетину AxAxz площин Оxz и (AAxуAx) , За властивісю вона паралельна AAху; аналогічно, Оуz  (AAxуAу)= AyAyz; 0

yz xz x y 1 1 A Ayz Axz Axy Ax Ay z 1 Таким чином, отримали ортогональні проекции точки A на координатні площини – точки Axz и Ayz; Опустимо перпендикуляри з точок Ayz и Axz на координатну вісь аплікат; 0 Az

x y 0 1 1 1 A Ayz Axz Axy Ax Az Ay z Тоді, AAx  Ox, AAy  Oy и AAz  Oz (чому?). Числа a; b; c, що відповідають координатам точок Ax, Ay и Az на числових осях и є координатами точки A. Записують: A(a; b; c). Очевидно, що початок координат в просторі - O(0; 0; 0). c b a

x y 0 1 1 1 A Ayz Axz Axy Ax Az Ay z Координати точки можно приймати як лінійні розміри |a|  |b|  |c| прямокутного паралелепіпеда (якщо координата від‘ємна, то береться модуль числа), ОТЖЕ, модуль кожної координати дорівнює відстанні від даної точки до однієї з координатних площин. |a| |b| |c| a c b

1 x y z 0 1 1 2 3 2 Приклад 1. Зобразити точки A(1; 2; 3), B(−2; 2; 1) C(2; −2; − 3). A(1; 2; 3) Для зображення точки A побудуємо ламану, що складається з трьох послідовних ланок. Від початку координат відкладаємо 1 од відр. Вздовж осі Ox. Друга ланка довжиною 2 од відр. паралельно осі Oy. І останній відрізок довжиною 3 од відр. паралельно осі Oz.

x y z 0 1 1 A 1 2 3 2 A(1; 2; 3) B −2 B(−2; 2; 1) C(2; −2; − 3) C −2 2 −3 Побудуємо точки В і С.

x y z 0 1 1 1 Деякі властивості координат точок Якщо дві координати точки дорівнює 0, то точка належить одній з координатних осей; (наприклад, POx, SOy, ROz). −2 −2 3 3 M(0; −2; 3) N(−2; 0; 1) K(1; 3; 0) 2 2 −2 P(2; 0; 0) R(0; 0; −2) S(0; 2; 0)

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) −a −b −c A0 Побудуємо точку A0, симетричну даній точці відносно точки O. Тоді координати точки A0(−a; −b; −c). Центральна симетрія

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) −c −b A1 Побудуємо точку A1, симетричну даній точці відносно осі Ox. Тоді кординати точки A1(a; −b; −c). Осьова симетрія

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) −c −a A2 Побудуємо точку A2 симетричну даній точці відносно осі Oy . Тоді координати точки A2(−a; b; −c). Осьова симетрія

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) −a −b A3 Побудуємо точку A3, симетричну даній точці відносно осі Oz. Тоді координати точки A3(−a; −b; c). Осьова симетрія

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) −c A4 Побудуємо A4, симетричну даній точці відносно площини Oxy. Тоді координати точки A4(a; b; −c). Дзеркальна симетрія

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) −b A5 Побудуємо точку A5, симетричну даній точці відносно площини Oxz. Тоді координати точки A5(a; −b; c). Дзеркальна симетрія

x y z 0 1 1 A 1 a b c Нехай A(a; b; c) A6 Тоді координати точки A6(−a; b; c). Дзеркальна симетрія Побудуємо точку A6, симетричну даній точці відносно площини Oyz. −a

у х 0 1 1 A A(x1;y1) Відстань між точками A(x1; y1) и B(x2; y2) B B(x2;y2)

x y 0 1 1 A z 1 Відстань між точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) B x1 x2 y1 y2 z1 z2 |x1–x2| |y1–y2| |z1–z2| C

x y 0 1 1 A z 1 Координати середини відрізка АВ, де A(x1; y1; z1) і B(x2; y2; z2) B x1 x2 y1 y2 z1 z2 M