Презентація для вивчення і систематизації теми "Відсотки"

Тема уроку: Відсотки. Задачі економічного змісту

<<назад далее>> Із історії відсотків ( процентів) Слово «процент» походить від латинських слів pro centum, що буквально означає «зі ста». Відсотки (проценти) дають можливість легко порівнювати між собою частини цілого, спрощують обрахунки і тому дуже поширені. Широко почали використовувати проценти в Стародавньому Римі, але ідея процентів виникла набагато раніше — вавілонські ростовщики вже вміли знаходити проценти (але вони рахували не «зі ста», а «із шістдесяти», так як у Вавілоні користувались шістдесятковими дробами). Знак % виник, як припускають, завдяки друкарській помилці. В рукописах pro centum часто заміняли словом «cento» — сто і писали його скорочено — cto.

<<назад содержание У 1685 році у Парижі була надрукована книжка — посібник з комерційної арифметики, де помилково наборщик замість cto набрав %. Після цієї помилки багато математиків також стали застосовувати знак % для позначення відсотків, і поступово він одержав загальне визнання. Для задоволення зростаючих вимог до точності обчислення малих частин крім кванта( частини) 1% вводиться квант 0,1%=1‰— так зване проміле(« із тисячі»). Проміле можна часто зустріти на сторінках книг з медицини і фармакології. В операціях с цінними металами використовується інша назва кванта – проба. Так, золото 750-й проби — це сплав з 75-відсотковим вмістом золота.

<<назад далее>> Задача 3 Антикварний магазин, купив дві старовинні вази на загальну суму 3600 грн., продав їх, отримав 25% прибутку. За скільки було продано кожну вазу, якщо націнка на першу вазу була 50%, а на другу – 12,5%? Розв'язання 25% - це четверта частина від загальної суми 3600 р. 3600:4=900 – прибуток. Нехай х грн. коштувала перша ваза, у грн. коштувала друга ваза. 1,5х грн. – за стільки гривень продали першу вазу, 1,125у грн. – за стільки продали другу вазу. 3600+900=4500(грн.) – вартість двох ваз. Звідси маємо рівняння : 1,5х+1,125у=4500. 0,5х (грн.) – прибуток з першої вази, 0,125у (р) – з другої вази. Так як прибуток 900 грн., то маємо рівняння 0,5х+0,125у=900. Розв'яжемо систему рівнянь. Маємо: у=2400, х=1200. 2400∙1,125=2700 (грн.) – за стільки було продано другу вазу. 1200∙1,5=1800 (грн.) – за стільки було продано першу вазу.

<<назад далее>> Вологість Задача 1 Фермер здав на елеватор 2000 т зерна, вологість якого 25%. Перед тим як засипати зерно на довгострокове зберігання, його сушать, доводячи його вологість до 14%. Знайти масу зерна, яку елеватор засипає на довгострокове зберігання (округлити до 0,1 т). Розв'язання . Приймемо 2000 т зерна за 100%. Сухе зерно в ньому складає 100%—25% =75%. Позначимо масу сухого зерна через х. Запишемо умову задачі у вигляді 2000 т — 100% , х т —75%. Звідси Масу зерна, яку елеватор засипає на довгострокове зберігання, позначимо через у т. Тепер її приймемо за 100%. Тоді сухе зерно складає 100% —14% =86%. Запишемо : у т - 100% , 1500 т- 86%.

<<назад далее>> Розпродаж Задача 2 Ціну на пилосос знизили на 10%, в результаті чого він коштує тепер 387 грн. Скільки коштував пилосос до зниження ціні? Розв'язання : Нехай пилосос коштував х гривень, а 0,9 гривень він став коштувати після зниження ціни на 10 %. Звідси маємо рівняння: 0,9х=387; х=430 гривень.

<<назад содержание Задачі для самостійного розв‘язування Задача 1 За пересилку грошей поштою з відправника беруть 2% від суми переводу. Яку суму грошей треба мати , щоб перерахувати 120 гривень ? Відповідь: 122 грн. 40 коп. Задача 2 Ціна товару після знижки зменшилась від 125 до 105 грн. На скільки відсотків знизилась ціна? Відповідь: ціна знизилась на 12,5%. Задача 3 В осінньо – зимовий період ціна на свіжі фрукти зростала тричі : на 10%, на 20% і на 25%. На скільки відсотків зросла зимова ціна в порівнянні з літньою ?

<<назад далее>> Банківські операції Задача 1 За зберігання грошей ощадбанк нараховує вкладнику 8% річних. Вкладник поклав на рахунок в банку 5000 грн. і вирішив протягом п'яти років не знімати гроші з рахунку і не брати відсоткові нарахування. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через рік, через два роки, через п'ять років? Розв'язання : Перший спосіб: Так як8% від 5000 грн. складає 400 грн., то через один рік на рахунку виявиться 5000 + 400 = 5400 (грн.). В кінці другого року банк буде нараховувати відсотки вже на нову суму. Так як 8% від 5400 грн. складає 432 грн., то через два роки на рахунку виявиться 5400 + 432 = 5832 (р.). Обчислюючи послідовно, знайдемо, що через п'ять років на рахунку вкладника буде 7346 грн. 64 к.

<<назад далее>> Другий спосіб. Через рік початкова сума вкладу збільшиться на 8%, значить, нова сума складатиме від початкової 108%. Таким чином, через рік вклад збільшиться в 1,08 рази і складатиме 5000∙ 1,08 (грн.). Ще через рік утворена на рахунку сума знову збільшиться в 1,08 рази. Таким чином, через два роки на рахунку буде (5000 • 1,08) • 1,08 = 5000 • 1,082 (грн.). Аналогічно через три роки — 5000 • 1,083 (грн.) і т.д. Тепер видно, що вклад зростає в геометричній прогресії і через п'ять років сума на рахунку вкладника складатиме 5000∙ 1,085(грн.), т. т. 7346,64грн. Варто звернути увагу учнів, що в розглянутій ситуації нараховувались так звані складені відсотки, т. т. при обчисленні відсотків виходили з величини, отриманої на попередньому кроці, — нараховувались «відсотки на відсотки».

<<назад содержание Задачі для самостійного розв'язування Задача 1 Робітник поклав на зберігання в Ощадбанк 5000 грн. на кінець року до його вкладу були добавлені відсоткові гроші, і в то й самий час він збільшив свій вклад ще на 5000 грн., а на кінець ще одного року попросив видати йому накопичені відсоткові гроші. Скільки відсотків в рік нараховує Ощадбанк, якщо робітник отримав 14062,5грн. Відсоткових грошей, залишивши вклад в 10000 грн. на новий строк? Відповідь: 25%. Задача 2 Через скільки років залишок вкладу під 20 % річних перевищить 16 000грн., якщо стартова сума вкладу 10 000грн. і якщо вкладник берет 1000 грн. в конці кожного року? відповідь: через 3 роки.

<<назад далее>> Штрафи. Позичальник отримав в банку 1 січня кредит в сумі 4860 грн. на строк в 3 роки з умовою його щомісячного погашення рівними частинами в останній день місяця, починаючи з 31 січня , і одночасною сплатою 3% за місяць користування кредитом. При несвоєчасному внесенні платежу позичальник сплачує штраф в розмірі 0,2% від простроченого платежу за кожний день несплати. Своєчасно сплативши кредит в січні і лютому, в березні позичальник затримався і прийшов в банк 11 квітня. Яку суму він повинен сплатити? Розв'язання: позичальнику треба виплачувати кредит 36 місяців. Значить, його щомісячний платіж складає 4860 : 36 = 135 (грн.). В січні і лютому було погашено 270 грн. кредиту. Тоді в березні борг складав 4590 грн. От цієї суми заплатити заплатить 3%, що складає 137 грн. 70 коп. Крім того, позичальник повинен сплатити штраф за 10 днів по 0,2% в день із суми 135 грн., що дає 27 грн. Загальна сума платежу на 11 квітня: 135 + 137,7 + 27 = 299,7 (грн.).

<<назад содержание Задачі для самостійного розв'язання Задача 1 Яку суму заплатить за користування кредитом позичальник із задачі 1.10, якщо всі 3 роки буде своєчасно виконувати початкові умови договору? Відповідь: 2697,3 (грн.). Задача 2 Скільки відсотків боргу залишилось після того, як боржник перші три місяця виплачував по 10% від залишку боргу щомісяця? Відповідь: 72,9%.

<<назад Голосування Задача В місті N відбулись вибори в міську раду, в яких взяли участь 75% виборців. Тільки 10% від числа тих, що взяли участь в виборах , голоси партії «зелених». Скільки жителів проголосували за цю партію, якщо в місті всього 1 мільйон виборців? Розв'язання : За умовою, у виборах взяли участь 0,75 • 1000 тис. = 750 000 чол. З них 10% - це 0,1 • 750 тис. = 75 000. Відповідь: 75 000 чоловік. Задача для самостійного розв'язування За А, В, С збираються голосувати 15%, 20%, 25% виборців відповідно. Решта не визначились. Скільки відсотків виборців, які ще не визначились, повинен залучити А, щоб не програти В і не програти С? Відповідь: не менше 62,5%.

<<назад Література Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Математика, 5 клас, Київ, “Зодіак - ЕКО” , 2005. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Математика, 6 клас, Київ, “Зодіак - ЕКО” , 2006. И. Депман, Мир чисел, Ленинград. “Детская литература”, 1975 Журнал “Математика в школах України”, Харків, Основа №10,№12 2007р. Газета “Математика”, Київ, Шкільний світ, №47(203) 2002р.