Презентація до підсумкового уроку по темі "Арифметична і геометрична прогресії"

Розпочалося вже століття двадцять перше,то, може, люди будуть прагнуть знати менше?Здається, вивчені вже космос і моря,зірок будова і уся Земля!

Чи варто зайвий раз ризикуватизаради того, щоб нове щось взнати?

Такі питання математиків дратують, вони сьогодні, як завжди, д о с л і д ж у ю т ь, р о з в' я з у ю т ь, р а х у ю т ь.

І не бояться математики ні труднощів, ні перешкод, ані тенет. Бо знають точно, що "Прогресіо - це рух вперед!"

Умови, яких слід дотримуватись в математиці1. Бути точним2. Бути чітким3. Бути простим (наскільки це можливо)

Тема уроку. Арифметична і геометрична прогресіїТип уроку: урок узагальнення. Девіз уроку:«Недостатньо мати добрий розум, головне – це раціонально застосувати його».

На зв’язок між прогресіями вперше звернув увагу великий АРХІМЕД ( 287–212 рр. до н.е)

Папірус Рінда"Сто мір хліба слід розділити між п'ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий більше від третього і п'ятий - більше від четвертого. Крім того, двоє перших повинні одержати в 7 раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?"

Очевидно, що кількість хліба, отриманого чоловіками, являє собою зростаючу арифметичну прогресію. Де перший її член х, а різниця y. Тоді отримаємо: доля першого х, доля другого х + у, доля третього х + 2y, доля четвертого х + 3y, доля п'ятого х + 4y. Отримаємо систему рівнянь і після її розв'язування отримаємо відповідь Розв'язання: Хліб має бути розділений на такі частини:

Папірус Рінда. Ось іще одна дуже відома задача з того ж папірусу: «У семи людей по сім кицьок; кожна кицька з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоска може вирости по сім мір ячменю. Наскільки великі числа цього ряду та їх сума?»

Розв’язанняb1 =7, q = 7 Людей – 𝑏1=7 Котів – 𝑏2=𝑏1𝑞=72 = 49 Мишей – 𝑏3=𝑏2𝑞=73 = 343 Колосків –𝑏4=𝑏3𝑞= 74 = 2 401 Мір ячменю – 𝑏5=𝑏4𝑞=75 = 16 807 Сума цього ряду 𝑆5=𝑏1(𝑞5−1)𝑞−1𝑆5=7(75−1)7−1=19 607 

Легенда про шахи

Розв’язок задачі - легендиn = 64 Дано ; 1, 2, 4, 8, 16…Знайти18 446 744 073 709 551 615 Чи варто було сміятись царю?

Вавилонські тексти. Збільшення освітленої частини місячного диска протягом перших п'яти днів відбувається за законом геометричної прогресії зі знаменником 2, у наступні 10 днів - за законом арифметичної прогресії з різницею 16

Знайти зв’язок між епізодом з біографії цього вченого-математика і задачею на прогресію

Теоретичний блок «ПІЗНАЙ СЕБЕ»{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Арифметична прогресія. Геометрична прогресія1 Означення 2 Формула п-го члена3 Сума перших п членів прогресії 4 Сума перших п членів прогресії5 Характеристична властивість6 Як знайти різницю (знаменник)?{00 A15 C55-8517-42 AA-B614-E9 B94910 E393}Виконував. Перевірявba𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+𝑑 𝑎𝑛 =𝑎1+𝑛−1𝑑 𝑆𝑛= 𝑎1+ 𝑎𝑛2 · n 𝑆𝑛= 2𝑎1+𝑛−1𝑑2 · n 𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+12 d = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 𝑏𝑛= 𝑏𝑛−1 ·𝑞 𝑏𝑛 =𝑏1·𝑞𝑛−1 𝑆𝑛 =𝑏𝑛𝑞 − 𝑏1𝑞−1 𝑆𝑛= 𝑏1(𝑞𝑛−1)𝑞−1 𝑏𝑛= 𝑏𝑛−1  ·𝑏𝑛+1 𝑞= 𝑏𝑛+1𝑏𝑛 

Із запропонованих послідовностей вибрати ті, які є арифметичною або геометричною прогресією і назвати два наступні члени{69012 ECD-51 FC-41 F1-AA8 D-1 B2483 CD663 E}1, 13, 25, 27, …8, 4, 0, -4, …1, 2, 3, 5, 8, …13, 16, 19, 22, …3, 9, 27, …Не є прогресія. А. -8, -12 Числа Фібоначчі. 13, 21 А. 25, 28 Г, 81, 243

М а т е м а т и ч н и й к а л е й д о с к о п{638 B1855-1 B75-4 FBE-930 C-398 BA8 C253 C6}a9 = a1 + 9da6 =a3 + 3d𝒂𝟏=𝟓;  𝒂𝟓=−𝟓; 𝑺𝟓=𝟎𝒃𝟓= 𝒃𝟑·𝒃𝟒𝑺𝟐𝟑=𝒂𝟏+𝟐𝟐𝒅 𝟐·23 𝒒𝟐=𝒃𝟔𝒃𝟒5; 9; 13; 17;….. , тоді d=42; 6; 18; 54;…..,тоді q=4𝒂𝟏=𝟐;  𝒅=-3; тоді 𝒂𝟑=−𝟔1; 2; 4; 8; …. , тоді 𝑺𝟓=30{638 B1855-1 B75-4 FBE-930 C-398 BA8 C253 C6}a9 = a1 + 9da6 =a3 + 3d5; 9; 13; 17;….. , тоді d=42; 6; 18; 54;…..,тоді q=4ab𝑎9=𝑎1+8𝑑 Т а к. Т а к. Т а ка3 = -4 𝑺𝟐𝟑=𝟐𝒂𝟏+𝟐𝟐𝒅 𝟐·23 b8 = b1q7b10 = b7q2b10 = b7q3𝒃𝟓= 𝒃𝟒·𝒃𝟔 Т а к. Т а кq = 3𝑺𝟓=𝟏(𝟐𝟓−𝟏)𝟐−𝟏=31 

Цікаві факти. Хімія. При підвищенні температури за арифметичною прогресією швидкість хімічних реакцій зростає за геометричною прогресією

Задача . В 1689 році на Плещєєвому озері було побудовано 3 перші російські кораблі петровської епохи. За три наступні роки Петром були збудовані ще суда. При цьому за кожний наступний рік було збудовано на 13 кораблів більше, ніж за попередній. Скільки кораблів брало участь в параді першої російської флотилії в кінці 1692 року? І с т о р і я17 століття. Цар Петро І. Будівництво російського флоту і задача на прогресію. Розв’язанняа1 = 3d = 13n = 4 S4 = ? 𝑺𝟒=𝟐𝒂𝟏+𝟑𝒅𝟐·4=𝟐·𝟑+𝟑·𝟏𝟑𝟐·𝟒=𝟗𝟎(кораблів) 

Фізика. Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. Наприклад, тіло, що вільно падає, рухається рівноприскорено. Відрізки шляху, пройдені цим тілом за першу, другу, третю, четверту,… секунди, становлять арифметичну прогресію.

При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо камінець досяг її дна через 8с після початку падіння. Задача. Розв’язання. Маємо арифметичну прогресію, у якоїа1 = 4,9, d = 9,8, n = 8 𝑺𝟖=𝟐𝒂𝟏+𝟕𝒅𝟐·𝟖= 𝟐·𝟒,𝟗+𝟕·𝟗,𝟖𝟐𝟖=𝟑𝟏𝟑,𝟔м r

Задача. Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15м, а за кожну наступну - на 3м менше, ніж за попередню. Знайти гальмівний шлях автомобіля. Б у д ь т е у в а ж н і н а д о р о з і !а1=15, 𝑑=−3, 𝑎𝑛=0, 𝑎𝑛=𝑎1+𝑛−1𝑑,   0=15−3𝑛−1,  𝑛=6 𝑆6=2𝑎1+5𝑑2·6, 𝑆6=2·15−5·32·6=45(м) Розв’язання:

Задача. Кількість еритроцитів ( з розрахунку на 1мм3) в крові людини становить на рівні моря – 5 мільйонів. Через кожні 600 м підняття вгору їх кількість збільшується на 1 мільйон. Яка кількість еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори висотою 4800 м . Чому це відбувається? Розв’язання: Біологія. ВИСНОВОК. Отже на вершині даної гори кількість еритроцитів в крові людини становитиме 12 мільйонів У зв’язку з розрідженим повітрям в легені повинно більше потрапляти кисню, відповідно цьому збільшується кількість еритроцитів.а1=5, d=1n=4 800 : 600=8𝑎8=𝑎1+7𝑑, 𝑎8=5+7·1=12(млн) 

Задача. У банку помістили одну бактерію, яка розмножувалась так швидко, що за одну секунду з однієї бактерії ставало дві. За 60 с наповнилась уся банка. а) У скільки разів збільшується кількість бактерій за 1 с? б) Скільки бактерій стало у банці за 3 с? в) За скільки секунд цими бактеріями наповнилось півбанки?

Розв’язанняб)𝒃𝟏=𝟐,   q =2,𝒃𝟑=𝒃𝟏𝒒𝟐=𝟐·𝟐𝟐=𝟖 a) q=2в)Так як кількість бактерій щосекунди подвоюється, то пів банки бактерій буде через 59 секунд

ЗАДАЧА. В рівносторонній три-кутник, сторона якого до-рівнює 24см, вписано дру-гий трикутник, вершини якого є серединами сторін першого. В другий три-кутник таким же способом вписано третій і т. д. Знай-ти периметр п’ятого три-кутника Геометрія

Розв’язання𝒃𝟏=Р𝟏=𝟕𝟐, 𝒒=𝟏𝟐 𝒏=𝟓 𝒃𝟓=Р𝟓−? 𝒃𝟓=𝒃𝟏𝒒𝟒 𝒃𝟓=𝟕𝟐 (𝟏𝟐)𝟒=𝟕𝟐 𝟏𝟏𝟔=𝟗𝟐=𝟒,𝟓 (см) Р =3а=3·24=72(см)Отже, периметр п’ятого трикутникадорівнює 4,5см

Уявіть собі, що ви стоїте перед дилемою: отримати 100 тисяч доларів прямо зараз або протягом 28 днів отримувати монетки: за перший день – 1 цент, а кожного наступного дня кількість монет подвоюється. Що б ви вибрали?

Економіка. Один мешканець нашого маленького села відомий своєю скнарістю. Коли в нього були справи в районному місті Бобринець, розташованому за 25 км від нашого села, він, звичайно, шукав сусідів, які б підвезли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його «за спасибі» додо­му. Але цього разу нікого не було, і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов усіх таксистів, торгуючись з ними й порівнюючи ціни. Один просив 250 грн., другий — 200 грн., а третій — 150 грн. Усі ці ціни здалися йому занадто високими. Нарешті він помітив таксиста з стареньким горбатим «Запорожцем». Коли скнара запитав його, скільки він візьме за дорогу, той подивився на землю, почухав потилицю і відповів: «За перший кілометр заплатите мені 1 к., за другий — 2 к., за третій — 4 к., за четвертий — 8к., і так до кінця шляху». «От дурний, — подумав скнара, ледве стримуючи сміх, — лічить на копійки». Поспіхом він заліз у «Запророжець» і гукнув “Згоден! Поїхали!» Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу ?

Розв’язання. Це є геометрична прогресія, перший член якої дорівнює 1, а знаменник - 2. Треба знайти суму 25 членів цієї прогресії.𝒃𝟏=𝟏,  q = 2𝑺𝟐𝟓=? 𝑺𝟐𝟓=𝒃𝟏(𝒒𝟐𝟓−𝟏)𝒒−𝟏 𝑆25=1 (225−1)2−1=225−1=33 554 431коп=335 544,31грн 

Цікаво!35791113151719

91957111517313 Constanta = 33 Магічний квадрат

а+3d а+8dа+d а+2da+4da+6da+7daa+5d. Магічний квадрат. Constanta = 3а+12d

Ц І К А В О!Скласти листок вдвічі, потім іще раз і т. д. Площі – Г. q=𝟏𝟐  Товщина – Г. q=2 Кількість частин – Г. q=2 Яку послідовність будуть утворювати площі? товщина? кількості частин?

Домашнє завдання: Повторити §10, 11(п.11.1, 11.2)Розв’язати задачу: Як Лисиця та Вовк рибу ділили Вкрали Лисиця з Вовком риби багатенько, та й давай ділитись. -Я не дуже тямущий у математиці, - каже Вовк, - діли ти, але так, щоб порівну.-Ось тобі одна рибка, а мені дві, - каже Лисичка.-Чи не замало? – стривожився Вовк.-Та ні, - каже Лисичка, - слухай далі. –Ось тобі три рибки…-Так можна, - заспокоївся Вовк.-Мені чотири, а тобі п’ять, мені шість, а тобі сім…Так ділила Лисичка рибку, щоразу збільшуючи на одну рибину. Наостанку вона кинула собі 20 рибин і на цьому риба закінчилась. Вовк подумав, що Лисиця чесно поділила. А ти як гадаєш, у кого більше риби і на скільки?

Підсумок уроку. Доповніть фрази: Сьогодні на уроці я…- навчився(лась)...- зміг(змогла), тому що…Вдома треба потренуватися…- дізнався(лась)…

Дякую з. АУрок!