Презентація до роботи МАН "Дослідження діафантових рівнянь"

ДОСЛІДЖЕННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО СТЕПЕНЯ ТА МЕТОДІВ ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ Роботу виконала: Яременко Богдана Олександрівна, учениця 11 класу Малокобелячківської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Новосанжарської районної ради Полтавської областіНауковий керівник: Тимощук Ніна Олексіївна, учитель математики Малокобелячківської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Новосанжарської районної ради, спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, старший вчитель

Актуальність проблеми Діофантові рівняння, і задачі, що зводяться до діофантових рівнянь, часто пропонуються учасникам математичних змагань, олімпіад, турнірів, конкурсів. Алгебраїчні рівняння, розв’язками яких є цілі числа, використовують у моделюванні реальних ситуацій. Вище сказане визначає актуальність даної роботи.

Науковий апарат. Об’єкт дослідження – діофантові рівняння першого степеня. Предмет дослідження – методи розв’язування діофантових рівнянь першого степеня. Метою даної роботи є дослідження методів розв’язування діофантових рівнянь першого степеня, узагальнення і систематизація відомостей про основні методи розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах.

Завдання1) опрацювати літературу про діофантові рівняння першого степеня;2) ознайомитися з теоретичними відомостями, що стосуються даної теми;3) розглянути різні методи розв’язування діофантових рівнянь першого степеня;4) навести приклади розв’язування діофантових рівнянь;5) навести приклади задач та їх розв’язання з використанням рівнянь з двома змінними в цілих числах.

РОЗДІЛ 1 ЗНАЙОМСТВО З ДІОФАНТОВИМИ РІВНЯННЯМИ

Найпростіше діофантове рівнянняax + by = 1, де a, b – цілі взаємно прості числа. Розв’язоки рівняння знаходять за формулами x = x0 + bn, y = y0 – an (n є N). Лінійним діофантовим рівнянням із двома невідомими називається рівняння виду ax + by = c, де a, b, c – цілі числа, НСД(a, b ) = 1. Дане рівняння ще називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними.

РОЗДІЛ 2 ДОСЛІДЖЕННЯ ОСНОВНИХ МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯНЬ

Метод розв’язування в цілих числах Розв’язати рівняння в цілих числах: 7x+13y=27 Розв’язання НСД(7;13)=1. Методом підбору (x0;y0)=(2;1). Загальний розв’язок за формулами x=x0-bn, y=y0+an, де n є N , a=7, b=13. Отже, x=2-13n, y=1+7n, n є Z. Відповідь: x=2-13n, y=1+7n, n є Z.

Метод виділення цілої та дробової частини Розв’язати рівняння в цілих числах: 7x+13y=27 Розв’язання7x = 27 - 13y; x = . х = , y - 1=7n, n є Z. Маємо y=1+7n, x=4 - 2(1+7n)+ = 4 - 2 - 14n + n = =2 - 13n, n є Z. Відповідь: (2-13n; 1+7n), n є Z.

Алгоритм Евкліда За допомогою алгоритму Евкліда доведемо, що числа а і b взаємно прості. Знаходимо один із розв’язків рівняння ax + by = 1, позначимо його (k; l). Знаходимо один із розв’язків рівняння ax + by = с за формулами x0 = kc і y0= lc. Знаходимо всі розв’язки рівняння ax + by = с за формулами x = x0 - bn і y = y0 + an, n є Z.

Спосіб перебору варіантів. Аналіз умови задачі. Перебір варіантів. Оцінка результату. Метод «спуску». Цим методом розв’язували діофантові рівняння ще в Стародавній Індії. Цим способом іноді у наш час розв’язують такі рівняння.

РОЗДІЛ 3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ З ВИКОРИСТАННЯМ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯНЬ

Висновки1. Розв’язування діофантових рівнянь – одна з найдавніших математичних задач.2. У результаті дослідження були обґрунтовані основні теоретичні відомості про лінійні діофантові рівняння, представлені задачі, які розв’язуються з використанням лінійних діофантових рівнянь.3. Розкриті методи розв’язування та наведені нами складені завдання, що показують застосування цих методів на практиці.

Дякуємо за увагу!

Теорема 1. Якщо ( x1; y1 ) – пара цілих чисел, що задовольняє рівняння ax + by = c, де НСД(a, b)=1, то загальний розв’язок цього рівняння в цілих числах можна подати у вигляді x = x1 + bt, y = y1 + at, t є Z. Теорема 2. Загальний розв’язок у цілих числах рівняння ax + by = c, де a, b, c є Z і (a, b)= 1, можна подати у вигляді:x=(-1)n+1∙c∙qn-1+bty=(-1)n∙cpn-1-ab,де t є Z, pn-1, qn-1 – чисельник і знаменник ланцюгового дробу .