Презентація до теми "Формули подвійного аргументу. Формули зниження степеня"

Наші завдання: Закріпити вивчені тригонометричні формули. Вчитися застосовувати вивчені формули для перетворення і спрощення тригонометричних виразів та для обчислень. Вивчити формули подвійного аргументу та формули зниження степеня

Перевірка домашнього завдання

с. 107 №494 Спростіть вираз:𝑎) 𝒕𝒈𝟑𝝅𝟐+𝜶= ІV чв. –−ctg 𝜶 б) 𝒄𝒐𝒔𝟑𝝅𝟐−𝜶= ІII чв. –− 𝒔𝒊𝒏 𝜶 в) ctg5𝜋2+𝛼= ІI чв. – −𝒕𝒈𝜶 Формули зведення. Тригономет-ричне коло

с. 107 №494г) ctg5𝜋2−𝛼= I чв. +𝒕𝒈𝜶 ґ) tg3𝜋+𝛼= ІII чв. +𝒕𝒈𝜶 д) cos𝜋+𝛼= −𝒄𝒐𝒔𝜶 ІII чв. – е) ctg3𝜋−𝛼= II чв. – −𝒄𝒕𝒈𝜶 є) cos(𝛼+5𝜋)= cos⁡(5𝜋+𝛼) = ІII чв. – −𝒄𝒐𝒔𝜶 Формули зведення. Тригономет-ричне коло

с. 128 №586a) 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟖𝟎cos 𝟑𝟐𝟎 − sin 𝟓𝟖𝟎sin 𝟑𝟐𝟎 =  𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷−𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶+𝜷 =𝒄𝒐𝒔(𝟓𝟖𝟎+ 𝟑𝟐𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎𝟎 = 0 б) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝟓𝟎cos 𝟓𝟓𝟎 + cos 𝟔𝟓𝟎 𝒔𝒊𝒏𝟓𝟓𝟎 =  𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+ 𝒔𝒊𝒏𝜷∙𝒄𝒐𝒔𝜶=𝒔𝒊𝒏𝜶+𝜷 =𝒔𝒊𝒏(𝟔𝟓𝟎+ 𝟓𝟓𝟎) = 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟐 Формули додавання

с. 128 №586в) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝟒𝟎𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟗𝟎 + 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟒𝟎𝒄𝒐𝒔𝟏𝟗𝟎 =  =𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟒𝟎− 𝟏𝟗𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓𝟎 = 𝟐𝟐 г) 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎𝟎cos 𝟐𝟎𝟎 − s𝒊𝒏 𝟐𝟎𝟎 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎𝟎 =  =𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎+ 𝟐𝟎𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝟎 =𝟑𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶−𝜷 𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷−𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶+𝜷 Формули додавання

Cпростіть вираз:𝐬𝐢𝐧𝟕𝝅𝟐+𝜶−𝐜𝐨𝐬𝟓𝝅−𝜶+𝒕𝒈𝟔𝝅+𝜶−𝒄𝒕𝒈𝟗𝝅𝟐−𝜶= IV чв. – ІІ чв. – І чв. +І чв. +=−𝒄𝒐𝒔𝜶 +𝒄𝒐𝒔𝜶 +𝒕𝒈𝜶 −𝒕𝒈𝜶 = 0𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅𝟐+𝜶∙𝐜𝐨𝐬𝝅−𝜶+𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅−𝜶∙𝐜𝐨𝐬𝟏𝟏𝝅𝟐+𝜶= IV чв. – ІІ чв. – ІІ чв. + IV чв.+=−𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶+𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶= 1 Формули зведення. Тригономет-ричне коло∙−𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒔𝒊𝒏𝜶 ∙𝒔𝒊𝒏𝜶= Основні тригонометричні тотожностіstyle.colorfillcolorfill.typefill.on

𝒄𝒐𝒔𝝅𝟔−𝜶+𝒄𝒐𝒔𝝅𝟔+𝜶= Cпростіть вираз:𝒄𝒐𝒔𝝅𝟔𝒄𝒐𝒔𝜶+𝒔𝒊𝒏𝝅𝟔𝒔𝒊𝒏𝜶 + + 𝒄𝒐𝒔𝝅𝟔𝒄𝒐𝒔𝜶−𝒔𝒊𝒏𝝅𝟔𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝝅𝟔𝒄𝒐𝒔𝜶 =3 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝐬𝐢𝐧𝛑𝟒−𝛂−𝐬𝐢𝐧𝛑𝟒+𝛂= 𝒔𝒊𝒏𝝅𝟒𝒄𝒐𝒔𝜶−𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝝅𝟒 − −𝒔𝒊𝒏𝝅𝟒𝒄𝒐𝒔𝜶+𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝝅𝟒 =𝒔𝒊𝒏𝝅𝟒𝒄𝒐𝒔𝜶−𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝝅𝟒− −𝟐∙𝟐𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶= =−𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶 −𝒔𝒊𝒏𝝅𝟒𝒄𝒐𝒔𝜶−𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝝅𝟒 Формули додавання. Значення тригонометричних функцій деяких кутів= 𝟐∙𝟑𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶 =−𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝝅𝟒= 

Тема: Формули подвійного аргументу. Формули зниження степеня.

𝒄𝒐𝒔𝜶−𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒄𝒐𝒔𝜶+𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷−𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒔𝒊𝒏𝜶+𝜷=𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+ 𝒔𝒊𝒏𝜷∙𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒕𝒈𝜶+𝜷=𝒕𝒈𝜶+𝒕𝒈𝜷𝟏−𝒕𝒈𝜶𝒕𝒈𝜷 𝒕𝒈𝜶−𝜷=𝒕𝒈𝜶−𝒕𝒈𝜷𝟏+𝒕𝒈𝜶𝒕𝒈𝜷 𝒔𝒊𝒏𝜶−𝜷=𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷− 𝒔𝒊𝒏𝜷∙𝒄𝒐𝒔𝜶 

●  𝑠𝑖𝑛𝛼+𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑐𝑜𝑠𝛽  + 𝑠𝑖𝑛𝛽∙𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 α = β●  𝑐𝑜𝑠𝛼+𝛽=𝑐𝑜𝑠𝛼∙𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑠𝑖𝑛𝛽 𝛼 𝛼 𝛼 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 ●  𝑡𝑔𝛼+𝛽=𝑡𝑔𝛼+𝑡𝑔𝛽1−𝑡𝑔𝛼𝑡𝑔𝛽 𝛼 𝛼 𝛼 𝒕𝒈𝟐𝜶=𝟐𝒕𝒈𝜶𝟏−𝒕𝒈𝟐𝜶 

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶    −    𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒕𝒈𝟐𝜶=𝟐𝒕𝒈𝜶𝟏−𝒕𝒈𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 −𝟏 −𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝟏 (𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶) (𝟏−𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶) Формули подвійного аргументу𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏 −𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝟏 

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝟏 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶𝟐  𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶𝟐 Формули зниження степеня:

Основні тригонометричні тотожностіФормули додавання. Формули подвійного аргументу. Формули зниження степеня𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏 𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒕𝒈𝜶=𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶−𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷 𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=−𝑠𝑖𝑛2𝛼 1+𝑐𝑡𝑔2𝛼=1𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶=𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶=𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶𝟐 

Виразіть даний кут через кут в 2 рази менший за нього:6α4α7α5αα=2⋅2𝛼 =2⋅3𝛼 =2⋅52𝛼 3α=2⋅72𝛼 =2⋅32𝛼 =2⋅12𝛼 

Застосовуючи формули подвійного аргументу, знайдіть значення виразу:а)sin𝛼=sin2⋅𝛼2= ……...….. 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 2𝑠𝑖𝑛𝛼2𝑐𝑜𝑠𝛼2; б)sin3𝛼=sin2⋅32𝛼= ……………….. 2𝑠𝑖𝑛32𝛼𝑐𝑜𝑠32𝛼; в)sin4𝛼=sin2⋅2𝛼= ………………… 2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼 =4sin𝛼cos𝛼cos2𝛼; г)cos3𝛼=cos2⋅32𝛼= ……………… =1−2sin232𝛼; cos232𝛼−sin232𝛼 =2cos232𝛼−1 = д)cos4𝛼= ………….. = ………… cos2⋅2𝛼 =1−2sin22𝛼. cos22𝛼−sin22𝛼 = =2cos22𝛼−1 Формули подвійного аргументу

Спростіть вираз:а)sin2𝛼sin𝛼=………………..=………… 2cos𝛼; 2sin𝛼cos𝛼sin𝛼 б)2cos2𝛼sin2𝛼=………………..=……… 2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼2sin𝛼cos𝛼 𝑐𝑡𝑔𝛼; в)cos2𝛼−cos2𝛼=……………….………….….=  =…….…….…………….… =…….… cos2𝛼−(cos2𝛼−sin2𝛼 cos2𝛼−cos2𝛼+sin2𝛼 sin2𝛼 Формули подвійного аргументу111111

г)cos2αcosα+sinα=…………………...==…….……..…………………….…=………… cos2𝛼−sin2𝛼cos𝛼+sin𝛼 Спростіть вираз:cos𝛼+sin𝛼cos𝛼−sin𝛼cos𝛼+sin𝛼 𝑎2−𝑏2 𝑎+𝑏𝑎−𝑏 cos𝛼−sin𝛼 Формули скороченого множення. Формули подвійного аргументу11

с. 133 №613 Обчисліть значення виразу:a) 2sin150𝑐𝑜𝑠150 = б) cos2𝜋8 −sin2𝜋8 = в) sin𝜋12cos𝜋12 = г) 1 −2sin2150 =  𝟏𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟒 𝟑𝟐 Значення тригонометрич-них функцій деяких кутів. Формули подвійного аргументу

с. 134 №615 Спростіть вираз:а) cos𝜋−𝛼2𝑠𝑖𝑛𝜋−𝛼2 =  б) cos2𝜋−𝛼2 - sin2𝜋−𝛼2 = в) sin2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥sin2𝑥 = г) 2cos2𝑥𝑡𝑔𝑥cos2𝑥−sin2𝑥 = 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝟐 𝒕𝒈𝟐𝒙 Формули зведення. Тригономет-ричне коло. Формули подвійного аргументу

с. 133 №616 Спростіть вираз:a) sin2𝛼1+cos2𝛼 =  2sin𝛼cos𝛼2cos2𝛼 =𝑡𝑔𝛼 б) 1−cos4𝑥2sin2𝑥= 2sin22𝑥2sin2𝑥 =𝑠𝑖𝑛2𝑥 в) 1+cos2𝛽1−cos2𝛽= 2cos2𝛽2sin2𝛽 =𝑐𝑡𝑔2𝛽 Формули зниження степеня. Формули подвійного аргументу111cosαОсновні тригономет-ричні тотожності111sin2𝒙 11

с. 134 №620 Доведіть тотожність:а) 2sin2𝛼2+cosα = 1; 1 – cosα + cosα = 1б) 2cos2α −cos2α=1; 1 + cos2α − cos2α  = 1в) (1+𝑐𝑡𝑔2α)sin2α=2ctgα; 1sin2𝛼 2sinαcosα⋅ = 2cosαsinα =2ctgα Формули зниження степеня. Формули подвійного аргументу. Основні тригономет-ричні тотожності

Домашнє завдання:с. 128 № 614, 617 (Бевз, 10 клас)

Формули скороченого множення(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – квадрат суми;(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 – квадрат різниці;a2 – b2 = (a + b)(a – b) – різниця квадратів;a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) – сума кубів;a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) – різниця кубів;(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – куб суми;(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – куб різниці.

Значення тригонометричних функцій деяких кутів:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}00300450600900sin 0221cos 1220tg 013-ctg -310{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}00300450600900sin 01cos 10tg 01-ctg -1012 12 32 32 33 33 

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏−𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶−𝟏=−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝟏=−𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝟏+𝒄𝒕𝒈𝟐𝜶=𝟏𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝟏+𝒕𝒈𝟐𝜶=𝟏𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒕𝒈𝜶=𝟏 𝒕𝒈𝜶=𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 c𝒕𝒈𝜶=𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝜶 Основні тригонометричні тотожності

Якщо гострий кут 𝜶 добудовується до горизонтального діаметра, то назва функції не змінюється. Якщо гострий кут 𝜶 добудовується до вертикального діаметра, то назва функції змінюється на кофункцію. У правій частині виразу ставиться знак, який має функція, що задана в умові. Правила зведення

r = 1 6p 11p2 5p 9p2 7p2 5p2 3p 4p 2p 3p2 p p20 Вісь косинусів. Вісь синусів+-Тригонометричне коло

𝒄𝒐𝒔𝜶−𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒄𝒐𝒔𝜶+𝜷=𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷−𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒔𝒊𝒏𝜶+𝜷=𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷+ 𝒔𝒊𝒏𝜷∙𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒕𝒈𝜶+𝜷=𝒕𝒈𝜶+𝒕𝒈𝜷𝟏−𝒕𝒈𝜶𝒕𝒈𝜷 𝒕𝒈𝜶−𝜷=𝒕𝒈𝜶−𝒕𝒈𝜷𝟏+𝒕𝒈𝜶𝒕𝒈𝜷 𝒔𝒊𝒏𝜶−𝜷=𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒄𝒐𝒔𝜷− 𝒔𝒊𝒏𝜷∙𝒄𝒐𝒔𝜶 Формули додавання

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒕𝒈𝟐𝜶=𝟐𝒕𝒈𝜶𝟏−𝒕𝒈𝟐𝜶 Формули подвійного аргументу𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶−𝟏 

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶𝟐  𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶𝟐 Формули зниження степеня