Презентація до уроку алгебри у 9 класі "Арифметична та геометрична прогресії навколо нас".

«Жодне людське дослідження не може називатись істинною наукою, якщо воно не пройшло через математичні доведення». Леонардо да Вінчі

Прогрес – це рух, це велич, це зростання,Як Україні зараз він потрібний,Прогресії – його сестриці рідні,Це школа, математика, навчання.І кожен з нас як аксіому знає: Без математики на ноги нам не стати. Тож хай лунає лозунг наш крилатий:«Прогресу без прогресій не бувати!»

Вправа «Рука взаємодопомоги»

Тестування платформа «Test Pad» Тест «Арифметична прогресія» Тест «Геометрична прогресія»

Тема уроку:  

Епіграф уроку:«Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому» М. П. Єругін

Вправа «Хмара очікувань»

План діяльності Робота з матеріалами кейсів. Розв’язування проблеми. Самооцінювання та взаємооцінювання роботи групи.

Алгоритм роботи Опрацюйте матеріали кейса. Виступіть із пропозиціями щодо розв'язання задачі. Виконайте обчислення. Оцініть результати та зробіть висновки.

Кейс І«Історія виникнення числових послідовностей»

Проблемні питання: Скільки грошей отримав багатій у задачі «Милостиня» і чи вигідні були йому такі умови? (задача 1) Скільки ран мав отримати воїн із задачі «Винагорода воїна», щоб залишитися живим і мати винагороду? (задача 2) Скільки грошей повинен був заплатити за дорогу бідняк і хто залишився у виграші? (задача 3)

І група. Задача «Милостиня» Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на 2 тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого – 2 крб., третього 3 крб., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш давати мені милостиню: Першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., третього – 4 коп., і т.д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи, що умови вигідні для нього. Скільки грошей отримав багатій?

Розв’язання Сума, яку має сплатити бідняк за 14 днів, складає арифметичну прогресію, в якій а1 = 1 і d =1, S14= 105, тобто 105 крб., а багатій сплачує суму, яка складає суму геометричної прогресії, в якій а1 = 1, q = 2. Тому S14 =214-1= 16383 коп. або 163 крб.83 коп. Відповідь: Отже, багатій, отримавши від бідняка 105 крб., заплатив йому 163 крб.83 коп., тобто, за те, що бідняк у нього проживав 2 тижні, багатій заплатив йому 58 крб.83 коп. (вернувши при цьому і ті гроші, які одержав від бідняка).

ІІ група. Задача «Винагорода воїна» Воїну, що служив, дано винагороду: за першу рану –1 коп., за другу – 2 коп., за третю – 4 коп. і т.д. Виявилося, що він одержав винагороду 655 руб. 35 коп. Скільки ран було у воїна?

Розв’язання Маємо геометричну прогресію, в якій в1= 1, в2 = 2, в3 = 4, в4=8 і т.д., q = 2, Sn = 65535. Тоді 1+2+4+ 8+ ….+2n-1 = 65535. 2n - 1 = 65535, n = 16. Відповідь: Тобто, за такої «великодушної» системи нагородження, воїн повинен одержати 16 ран і залишитися живим, щоб «удостоїтися» винагороди 655 руб. 35 коп.

ІІ група. Задача «Скнара» Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли у нього були справи в повітовому місті, розташованому за 25 км від цього містечка, він звичайно шукав сусідів, які б підвезли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його за спасибі додому. Але цього разу нікого не було, і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними і порівнюючи ціни. Один просив 250 руб., другий - 200 руб., третій -150. Усі ці ціни здалися йому занадто високими. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав у нього, скільки він візьме за дорогу, той подивився на землю, почухав потилицю і відповів: "за 1-й кілометр заплати мені 1 коп., за другий - 2 коп, за 3-ій - 4, за 4-ий - 8 і так до кінця шляху." "От дурний, - подумав скнара, ледве стримуючи сміх, - лічить на копійки." Поспіхом він заліз у візок і гукнув:"Згідний! Поїхали!" Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?

Розв’язання1; 2; 4; 8; 16;... - геометрична прогресія.в1= 1, q = 2, Sn = 33554431 (коп.)=335544 руб. 31 коп. Відповідь: 335544 руб. 31 коп.

Кейс ІІ«Роль прогресій у прикладних задачах з біології, фізики, хімії та інших наук»

Проблемні питання: Скільки бактерій стане в організмі через добу? (задача 1) Скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960 м? (задача 2) Якою буде температура сплаву через 10 хвилин після початку хімічної реакції? (задача 3)

І група. Задача «Бактерії» Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі через добу?

Розв’язання.1, 2, 4, 8, 16, … - геометрична прогресія, b1 = 1, q = 2, час – 1 доба хвилин у добі 60 х 24 = 1440 (хв.), n = 1440 : 20 = 72, 𝑺𝟕𝟐=𝟏(𝟐𝟕𝟐−𝟏)𝟐−𝟏=𝟐𝟕𝟐 - 1. Відповідь: 𝟐𝟕𝟐 - 1 

ІІ група. Задача «Вільне падіння» Тіло, яке вільно падає, проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну – на 9,8 м більше, ніж за попередню. Встановити, скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960 м.

Розв’язання. Це арифметична прогресія , у якої а1 = 4,9; d = 9,8; Sn = 1960. Sn = 2𝑎1+ 𝑑 (𝑛 − 1)2∙n =  1960. Звідси n = 25 c. Відповідь: 25 с. 

ІІІ група. Задача «Температура» Під час хімічної реакції початкова температура сплаву була 2о. С, через хвилину вона стала 4о. С, ще через хвилину - 8о. С, потім - 16о. С і т.д.. Якою буде температура сплаву на 10 хвилині після початку хімічної реакції?

Розв’язання 2, 4, 8, 16, … - геометрична прогресія, b1 = 2, q = 2, n = 10 b10 = 2·29 = 210 = 1024 Відповідь: 1024 о. С

Валеохвилинка

Кейс ІІІ«Значення прогресій для повсякденного життя людини»

Проблемні питання: Яка довжину дроту, необхідна для виготовлення стержнів для теплиці? (задача 1) Чи укладете ви з фірмою договір не менш ніж на 20 днів за даних умов? (задача 2) Скільки глядачів проголосувало за своїх улюблених учасників протягом 30 хвилин від початку голосування? (задача 3)

І група. Задача «Побудова теплиці» Потрібно виготовити вертикальні стержні для теплиці з дроту так, щоб найменший мав довжину 5 м, а кожний наступний був на 2 м довший (до 7 стержня). Обчисліть довжину дроту, необхідну для виготовлення стержнів.

Розв’язання. Це арифметична прогресія , у якої а1 = а13; d = 2; S = S6 + S7 =60 + 77 = 137 (м) . Відповідь: 137 м

ІІ група. Задача «Кредит у банку» Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі 1к, за другий – 2 к, за третій – 4 к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів за таких умов?

Розв’язання Від фірми отримуємо - 2000 грн, а повинні будемо заплатити за це суму за геометричною прогресією, деb1 = 1, q = 2, n = 20 . Тобто: S20 = 1048575(коп.)=10485грн. 75к. Відповідь: 137 м

ІІІ група. Задача «Євробачення» На шоу талантів глядачі брали участь у голосуванні, надсилаючи смс-повідомлення. Після виступу всіх учасників глядачі протягом 30 хв могли віддати свій голос за улюбленого учасника. Протягом першої хвилини від початку голосування свою думку висловили 4800 глядачів. Протягом кожної наступної хвилини голосувало на 160 глядачів менше, ніж попередньої. Скільки глядачів проголосувало за своїх улюблених учасників протягом 30 хвилин від початку голосування?

Розв’язання. Це арифметична прогресія:а1 = 4800, d = -160, n = 30 S30=74400 Відповідь: 74400 глядачів.

Притча Плутарха.

Хто возив камені? Хто сумлінно працював? Хто будував храм?

Можуть всі – може кожний! Пробуй, якщо не вийде – пробуй ще! Неуспіх – недостатність зусиль!

Домашнє завдання. Обовязкове: Виконати завдання для підготовки до контрольної роботи на платформі «Мій клас». За бажанням: Дослідити застосування прогресій в галузях «Мистецтво» та «Література».

Урок на сьогодні завершено,Але кожен повинен знати: Прогресії неперевершені!Прогресу без прогресій не бувати!Дякую всім!