ПРЕЗЕНТАЦІЯ ДО УРОКУ "Тригонометричні функції числового аргументу. Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу"

Немає жодної сфери математики, яка коли – не будь не знайде застосування для вивчення явищ реального світу М.І. Лобачевський

Тема заняття: Тригонометричні функції числового аргументу. Співвідношення між тригонометричними функціямиодного і того ж аргументу

План заняття Одиничне коло. Радіанна та градусна міра кута. Формули переходу від градусної міри до радіанної і навпаки. Означення синуса числового аргументу. Монотонність та знаки синуса на чвертях. Означення косинуса числового аргументу. Монотонність та знаки косинуса на чвертях. Означення тангенса. Вісь тангенсів. Означення котангенса. Вісь котангенсів. Таблиця значень тригонометричних функцій для деяких кутів. Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу

Вавілоняни вже на початку III тисячоліття до н.е. мали календар з розподілом року на 12 місяців. Отже вони вміли визначати положення сонця і зірок на небосхилі, тобто володіли певними знаннями тригонометричного характеру. Велике значення для розвитку тригонометрії в період її зародження мали праці грецьких учених. Протягом тисячі років тригонометрія була підсобною наукою у астрономії. Складалися нові таблиці, знаходилися нові залежності між тригонометричними функціями, за допомогою яких розв’язувалися складні задачі, але тригонометрія залишалася тільки частиною астрономії, самостійної науки не існувало.

Слово “тригонометрія” складається із двох грецьких слів: “триганон” – трикутник і “метрайн” – вимірювати. У буквальному значенні “тригонометрія” означає “вимір трикутників”. Астрономія, а разом з нею і тригонометрія виникли і розвивалися в народів з розвиненою торгівлею і сільським господарством: у вавілонян, греків, індійців, китайців. Зародилася вона багато століть тому. Про це ми можемо не тільки здогадуватись. В одному з китайських рукописів, що був написаний близько 2637 року до н.е., є відомості з астрономії, де застосовуються обчислення тригонометричного характеру.

Наприкінці ХV ст. італійський мандрівник Христофор Колумб відкрив узбережжя Америки. Слідом за ним туди зробив кілька подорожей інший італієць –Амеріго Віспуччі. Португалець Васко да. Гама відкрив морський шлях на Індію. Незабаром кораблі Магеллана вперше в історії зробили навколосвітню подорож. Почалася епоха великих географічних відкриттів, завоювань нових тери-торій, освоєння незліченних багатств нових земель. Не тільки окремі групи купців і мореплавців, алеі цілі держави боролися за право експлуатації нових земель. Потрібні були більш потужні і швидкохідні судна, точні географічні карти, досконалі способи орієнтування в відкритому океані. Такі послуги могла надати тригонометрія.

Завершальний етап у розвитку тригонометрії пов'язаний з ім’ям Леонарда Ейлера. Заняття астрономією, географією і морехідними науками неможливі без застосування тригонометрії. Але до початку XVIII ст. вона була наукою неопрацьованою, часто незручною в роботі, що іноді призводило до помилок через плутанину в знаках тригонометричних функцій у різних чвертях кола. Кожна формула виводилась з креслення і всі міркування записувалися словесно. Це змусило Ейлера переглянути доведення тригонометричних формул. Він упорядкував питання про знаки тригонометричних функцій у різних чвертях, ввів однакове позначення сторін трикутника: а, в, с і протилежних кутів А, В, С. У працях Ейлера тригонометрія набула сучасного вигляду. На підставі його робіт були укладені підручники з тригонометрії, що викладають її в строгій науковій послідовності.

Математика. Тригонометричні функції числового аргументу. Геометрія. Розв’язування трикутників. Розв’язування прямокутних трикутників. Вища математика. Комплексні числа. Аналітична геометрія Диф. рівняння. Фізика. Динаміка. Оптика Гармонійні коливання. Астрономія. Астрономічні дослідження

Актуалізація опорних знань. Встановити відповідність: А) sinα А) відношення протилежного катета до прилеглого. Б) cosα Б) відношення протилежного катета до гіпотенузи. В) tgα В) відношення прилеглого катета до протилежного. Г) ctgα Г) відношення гіпотенузи до прилеглого катета Д) відношення прилеглого катета до гіпотенузиcαabstyle.colorfillcolorstroke.colorfill.type

Питання №1 Одиничне коло. Радіанна та градусна міра кута. Формули переходу від градусної міри до радіанної і навпаки. (метод проектів, презентація, тренувальні вправи)

Питання №2 Означення синуса числового аргументу. Монотонність та знаки синуса на чвертях. (методи – пояснення, ілюстрації, інформаційно - комунікативний)

PСинусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної поворотом точки Рo (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається sin α) Синус визначений для будь-якого числа α. Значення синуса змінюється від (-1) до 1, тобто Монотонність синуса в чвертях: I чверть – зростає від 0 до 1 II чверть – спадає від 1до 0 III чверть – спадає від 0до (-1) IV чверть – зростає від (-1) до 0 0sinαsinβsinγyx. Oα

знаки синуса на чвертях ++--yx

Вправа. Зобразити кут синус якого дорівнює 0 Oαβyxa

Означення косинуса числового аргументу. Монотонність та знаки косинуса на чвертях. (методи – пояснювально- ілюстративний, аналітичний)Питання №3

Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної по­воротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається cos α) Косинус визначений для будь-якого числа α. Значення косинуса змінюється від (-1) до 1, тобто Монотонність косинуса в чвертях: I чверть – спадає від 1 до 0 II чверть – спадає від 0до (-1)III чверть – зростає від (-1) до 0 IV чверть – зростає від 0 до 1cosαcosβyx. Oα

знаки косинуса на чвертях x +-+-Oy

Означення тангенса. Вісь тангенсів(метод – пояснювально - ілюстративний)Питання №4

ВІСь ТАНГЕНСІв. Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса: Тангенс визначений для всіх а, крім тих значень, для яких cos α = 0, тобто, α = + πn, n є Ζ. Для розв'язування деяких задач корисно мати уявлення про вісь тангенсів. Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці Ρо. Нехай α — довільне число, для якого cos α ≠ 0, тоді точка Рα (cos α; sin α) не лежить на осі ординат і пряма ОРα перетинає t в деякій точці Тα з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Тα із ОРо. Тα. ; у = tgα. Таким чином, ордината точки перетину прямих ОРα і t дорівнює тангенсу числа α. Тому пряму t називають віссю тангенсів. t. Тα

Вправа. Зобразити кут тангенс якого дорівнює 1,5t1,5yx0

Означення котангенса. Лінія котангенсів(методи – пояснювально – ілюстративний, навчальний тренінг)Питання №5

Котангенсом числа α називається відношення косинуса числа α до його синуса: Котангенс визначений для всіх α, крім таких значень, для яких sin α = 0, тобто, α = π n, n є Ζ. Qαq. Введемо поняття осі котангенсів . Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці Для довільного числа α, якщо sin α ≠ 0 і відповідно точка Рα (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма ОРα перетинає пряму q у деякій точці Qα з ординатою, що дорівнює 1. Із трикутника маємо: , звідси х = ctg α. Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОРα і q дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають віссю котангенсів.

знаки тангенса і котангенса на чвертях x +--+Oy

Завдання на закріплення №1. Якій чверті належить Рα, якщо: а) sin α cos α > 0; б) sin α cos α < 0; в) tg α cos α > 0; г) ctg α sin α < 0? Відповідь: а) І або III; б) II або IV; в) І або II; г) II або III. №2. Визначте знак добутку: а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1; б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4. Відповідь: а) мінус; б) плюс.

Питання №6 Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів(метод – ілюстративний, тренувальні вправи)

Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}α0°30°45°60°90°180°sin α010cos α10-1tg α01---0ctg α---10---

Завдання на закріплення №3. Обчисліть: а) 3sin + 2cos – tg ; б) 5sin +3tg – 5cos – 10ctg Відповідь: а) б)-7

Питання №7 Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу(метод – доведення формул, тренувальні вправи)

1. Співвідношення між синусом і косинусомcos2 α + sin2 α = 1- основна тригонометрична тотожність(тригонометрична одиниця)2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом, . Звідки, перемноживши ці рівності, матимемо 3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і синусом

Завдання на закріплення №4. Знайти решту функцій, якщо: Чверть Функція. IIIIIIIVsinαcosαtgαctgα

Узагальнення та систематизація знань

сканворд “тригонометричний”

1. Наука, що в перекладі з грецької означає “Вимірювання трикутника”{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

1. Наука, що в перекладі з грецької означає “Вимірювання трикутника”{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}тригонометрія

2. 1/180 частина розгорнутого кута. {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

2. 1/180 частина розгорнутого кута. {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}градус

3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}радіан

4. Як називається коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці?{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

4. Як називається коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці?{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}одиничне

5. Ордината точки одиничного кола {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

5. Ордината точки одиничного кола {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}синус

6. Абсциса точки одиничного кола{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

6. Абсциса точки одиничного кола {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}косинус

7. Відношення синуса числа до його косинуса{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

7. Відношення синуса числа до його косинуса{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}тангенс

8. Відношення косинуса числа до його синуса{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

8. Відношення косинуса числа до його синуса{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}котангенс

9. Дотична до одиничного кола в точці {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

9. Дотична до одиничного кола в точці {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}вісь{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}котангенсів

10. Як ще називають основну тригонометричну тотожність?{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}

10. Як ще називають основну тригонометричну тотожність?{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}тригонометрична{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}одиниця

Підведення підсумків заняття (Рефлексія)Продовжіть речення:1. Сьогодні я узнала…2. Було цікаво…3. Було важко…4. Я зрозуміла, що…5. Тепер я можу…6. Я навчилась…7. У мене вийшло…8. Я змогла….9. Мене здивувало… 10. Урок дав мені для життя…style.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

Домашнє завдання. 1. Вивчити конспект заняття. 2. М.І. Шкіль. Алгебра і початки аналізу. Розділ1, §§2-4 3. Заповнити картки із значеннями тригонометричних функцій.

Бажаю всім успіхів!style.colorfillcolorfill.type